淺談“一題多解和多題一解”在初中數(shù)學教學中的作用 論文

教學中的運用摘 趣，調(diào)動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維.一題多解率，中的運用.關鍵詞：一題多解，多題一解，課堂教學，數(shù)學能力引 言指出其中一個原因，那就是近些年在基礎教育中頗為流行的“變式教學”.“一題多解和多題一解”更加具體的詮釋了我們在日常數(shù)學教學中應該怎么樣去變，怎么樣把這種教學模式的優(yōu)勢轉(zhuǎn)化成學生學習數(shù)學的優(yōu)勢.一．一題多解的教學運用系去解決同一個數(shù)學問題，是為“一題多解”.一題多解能快速整合所學知識，能培養(yǎng)學生細致的觀察力、豐富的聯(lián)想力和創(chuàng)造性的思維能力.1.一題多解之通法與特法性格，知識架構，思維方式的不同，導致學生解決問題的方法也千差萬別.題的時候其實可以從特法中尋求通法的思路.例題1，方程組的解滿足x+y=0，求a的值.a看成常數(shù)用a表示x和y,其后把x,y代入x+y=0解關于a的方程.解法二：直接把兩個方程相加得4(x+y)=2+2a,得2+2a=0.x或y的系數(shù)可能解法二就不適用了，但解法一仍然可以使用.前者是通法，后者是特法.但二者并不孤立存在，而是相輔相成.這就是由一般到特殊，再從特殊到一般的學習方法.例題2（17年合肥瑤海區(qū)三模第23題第3線的交點叫做三角形的內(nèi)心.過I作直線交AB于M，交AC于N.AI交BC于D.11 若∠BAC=60°,AI=4,求AMA

AN的值. A30303030NMI3030NICB解法一：

B圖1圖2 的取值與如圖11 的取值與AM ANAI垂直MN,構造出含有30°角的直角三角形，此時AI亦平分MN.所以AMAN 81所以AMAN , , .雖然這種“特值3AM AN

8 AM AN 4有30°角的直角角形.解法二：如圖3，作IE,IF⊥AB,AC于點E,F.NG⊥AB于點G.設AM=x,AN=y,IE=IF=2,NG3y,S2

AMI

x,S

ANI

y,S

AMI

SANI

xy,同時S

AMN

＝1AM21x

3y3xy.xy3xy,所以113.2 2 4

4 x y 4解法三：如 圖 4， 作 ME,NF⊥ AD于 點 E,ME1x,NF1y,IEIAAE43x,2 2 21x

43xIFAFAI3yMEIE

2 ,整理可得113.2 NF IF

1y 3y423023030EMINFB

x y 4A303030FEMINCB圖3圖4例題1和例題2的多種解法之間蘊含著特殊和一般的深刻哲理關系，和學生一道去感悟，體會一題多解的美妙之處.2.一題多解之思維發(fā)散要求學生有求簡意識，敢于質(zhì)疑.這樣才能達到優(yōu)化學生思維品質(zhì)，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維及聯(lián)想能力的目的.例題3（2013分別是銳角△ABC中邊上的高線，垂足為DE，則△AED與△ABC能相似嗎？說說你的EDBEDBOCADEB DE圖5 圖6證法一：證法二：如圖6，以BC中點O為圓心OD為半徑作圓，則點D,E,C,B均在⊙O上，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得∠AED＝∠ABC又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC證法一證明了兩次相似，能從較多的相似三角形中分離出我們所需要的信圖中共有幾對相似三角形從而加深對“雙高圖”的認識.證法二是建立在學生掌解法，感受了知識點的聯(lián)系，同時也復習了圓的相關知識.例題4（2017武漢）已知一個三角形的三邊長為5,7,8,求其內(nèi)切圓的半徑.解法一：如圖7，設內(nèi)切圓半徑為r,作AD⊥BC于點D,設BD=x,CD=5-x則82x272(5x)2，解得 x=4所以 AD＝1

43，

SABC

10

3又∵SABC

SAOCSBOCSAOB∴10

3= (abc)r10r，r=3.2解法二：海倫－秦九韶公式S

ABC

p(pa)(pb)(pc),(其中pabc)2∴SABC

10

3，從而r=38，設OD=OC=OF=r,直接利用經(jīng)驗，7所對的角是60°，即∠3ABC=60°由切線長定理可知∠DBO=∠EBO=30°∴BD=BE=

3r，AE＝AF=8

3r,CD=CF=5

3r,又∵AF+CF＝7∴8A

3r+5

3r＝7，解得r=3.A87EF87EFB C5 D圖7圖8解法一和解法二都用到了三角形的內(nèi)切圓面積與三角形三邊的關系，即1SABC

(abc)r2九韶公式的強大.解法三則基于三個“明星三角形”當中的一個.（它們的邊長分別是3,5,7;5,7,8;和3,7,8.第一個三角形7所對的角是120°,后面兩個三角形7所對的角都是60°.它們的特殊之處就在于邊長為整數(shù)，角又是特殊角，所以自然而然也就成為了老師們出題的首選）顯而易見，一題多解的教學極大地開闊的魅力所在.二．多題一解的教學運用同一種數(shù)學思想方法解決不同的數(shù)學問題我們稱之為“多題一解”.經(jīng)過間內(nèi)在的聯(lián)系。1.多題一解之模型教學新課程標準明確提出要注重學生的模型建立和使用意識.模型教學的使用能夠有效避免數(shù)學課堂的枯燥乏味,讓課堂變得高效，生動.例題5.平面內(nèi)互不重合的n條直線最多有幾個交點？

2 用.我們只要掌握它的實際含義，注意對比聯(lián)想，會收到意想不到的效果.比如一個班級有n名同學，要求每兩個同學之間都通一次電話，那么這個班級共通了2 次電話.在此基礎之上，我們可以演變出握手問題，送賀卡問題，籃球小-"組賽問題等一系列的問題.可見

"2 這個模型的作用真的是非同一般.例題年安徽第10ABCD動點P滿足S△PAB=S矩形P到兩點距離之和PA+PB的最小值. 圖9圖10圖11②如圖10，Rt△OAB，∠BAO=90°，∠B=60°，OA=6，點C是OA邊上一點，OC=1，點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為③如圖11，圓柱形容器高14cm，底面圓的周長為24cm，在杯子內(nèi)壁最底端B2cm的A處，點A與點BA處到達內(nèi)壁B處的最短距離．作為安徽17年選擇題的壓軸題，第①題當時確實難住了不少的學生.我15名同學做錯了這題，而這15名同學中有14名同學不知道它就是我們的老朋友“將軍飲馬”模型，在告訴他們這是“將軍飲馬”模型之后幾乎都能獨立完成這道題.這說明模型的識別和應用對于解題的作用之大.緊接著我再拋出②③兩道題目，相信學生一定感悟頗深.“一線三等角”等等.這里的“一解”指的是應該是思想方法上的統(tǒng)一，在這多轉(zhuǎn)化問題的能力.2.多題一解之思維集中例題是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，求線段CP長的最小值.記得參考答案是這樣寫的：∵∠PAB=∠PBC，∴∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90°所對邊ABP在以AB為直徑的圓上運動，如圖13，∴當點P在CO連線段上時，CP最短

32425，∴CP最小值為5-3=2.圖12 圖13這種解法如果照搬交給學生是不太負責任的，因為這種解法并沒有揭示這道題的本質(zhì)，下次再碰到類似的題學生會的可能性不大.比如下面兩道例題：例題8.（2017P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，求線段PB長度的最小值.例題9.（2017的半徑為P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，求△ABC的最大面積.﹒OA圖14 圖15 圖16把例題一起拋給學生，它們的本質(zhì)終于浮出水面，我們的思維應該AB的同一側(cè)的一點是一個定角，那么滿足條件的點P的運動軌跡是什么？在點P的軌跡上的無數(shù)根本上解決此類型的問題.（例題7定邊是AB=6,定角∠P=90°,如果教學時說以AB為直徑作圓，會給學生以誤導，應該更正為作△ABP的外接圓,點P的軌跡為半圓8的定邊是AC=2,定角為∠P=120°，作△ACP的外接圓,點P的運動軌跡為劣弧AC；例題8定邊是AB=2,定角為∠C=60°，作△ABC的外接圓,點C的軌跡為優(yōu)弧AB）定邊對定角問題的解題步驟大至如下：①找到定邊和定角,并過線段的兩個端點，以及定邊所對定角的一個角的頂點做三角形的外接圓.②找到滿足條件的動點的運動軌跡，并求出三角形外接圓的半徑③根據(jù)需要找到符合條件的動點，并求出最值（最大值或最小值）.三．教學中一題多解和多題一解的關系及教學建議1.教學聯(lián)系“一題多解”注重培養(yǎng)解題方法，“多題一解”講究題目的設置.前者開闊養(yǎng)創(chuàng)造性思維的有效途徑.數(shù)題目：例題10（2017BC上方的拋物線上是否存在一點P（不與重合），使得△BPC的面積最大？若存在，求出點P的坐標和△BPC的最大面積；若不存在，說明理由．y6yC35P42CPC3P1E2–3–2 –1AO–112B3H4x1BEA–3–2–1AO12B34x–2–1–2圖17圖18圖19本題可以采用設點法，如圖17，作PE平行于y軸交BC于點E即E（m，﹣m+3），P（m，﹣m2+2m+3），用m表示△BPC的面積;也可以采用平移法，如圖18，即當直線BC向上平移并和拋物線有唯一交點P時即為所求;還可以直接利用“xP

=1(x2

B)?

PE最大?”的結論來解題.但如果我們作PH⊥BC交BC于點H,如圖19，線段PE最大同樣會導致在直線PE左最大.稍做思考不難發(fā)現(xiàn)，PE面積最x=1(x

)

P 2 B C.養(yǎng)成科學的數(shù)學思維．2.教學建議(1)選題原則過于簡單。過于復雜會挫傷學生的積極性，太過簡單學生就沒有興趣.保持學生的興趣和積無意義。(2)一切從教學目標出發(fā)教師要以完成課堂教學目標為根本，根據(jù)學生和教材制定合適的“一題多教