命題“拆合”之間數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與發(fā)展 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選命題“拆合”之間數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與發(fā)展摘要：類比幾何圖形性質(zhì)與判定的關(guān)系，對“三線合一”進(jìn)行探究，生成新知識，讓學(xué)生經(jīng)歷命題拆分—重組的過程，體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與發(fā)展,激發(fā)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新精神。關(guān)鍵詞：拆與合,類比探究,發(fā)散思維,創(chuàng)造性章建躍提出：“教師要為學(xué)生設(shè)計(jì)合情合理的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)程，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考等方面的能力；要在使學(xué)生學(xué)會抽象數(shù)學(xué)對象，發(fā)現(xiàn)值得研究的問題，構(gòu)建研究筆者在滬科版八年級上冊第十五章“軸對稱圖形與等腰三角形”的復(fù)習(xí)階段，有學(xué)生在總結(jié)所學(xué)知識時(shí)指出：垂直平分線、等腰三角形和角平分線的判定定理都是在其性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，通過寫出逆命題、猜想、論證的過程得出的。而等腰三角形除了等邊對等角之外，還有一個(gè)定理：三線合一，這個(gè)定理是否可以用類似的方法探究？筆者整理思路，安排了一節(jié)“拆與合”的探究課。本文梳理該課的實(shí)際教學(xué)流程并提出相關(guān)思考，以供商討。一、總體分析1．學(xué)情分析八年級的學(xué)生具備一定的學(xué)習(xí)能力，操作、觀察、猜想的能力較強(qiáng)，但推理論證的意識還停留在初步階段；學(xué)生可以熟練使用幾何證明中的常用工具：全等三角形來導(dǎo)線段、導(dǎo)角；在研究垂直平分線、等腰三角形和角平分線判定定理的過程中積累了一定的活動經(jīng)驗(yàn)。2．內(nèi)容分析等腰三角形中通過對“等邊對等角”的再探究得出“等角對等邊”，而“三線合一”并沒有深入分析，本課便是對三線合一進(jìn)行類比探究。二、過程設(shè)計(jì)和分析12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選1．創(chuàng)設(shè)情境課前準(zhǔn)備：一個(gè)樂高顆粒玩具，拆開后重新合成另一個(gè)玩具，拍出三張照片（如圖1）。圖1教學(xué)分析：按順序依次展示三幅圖片，學(xué)生觀察圖片，分別用一個(gè)字描述兩幅圖片之間的變化，引出關(guān)鍵詞:“拆”與“合”，接著點(diǎn)出課題：數(shù)學(xué)命題中的“拆2．知識回顧問題1：本章我們研究了三種幾何圖形：垂直平分線、角平分線、等腰三角形，我們是沿著什么思路去研究的？問題2：線段垂直平分線性質(zhì)定理的條件和結(jié)論分別是什么？垂直平分線的判定定理呢？角平分線和等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理呢？后得到了對應(yīng)的判定定理。問題而“三線合一”卻未做處理。通過“拆”與“合”的方式，我們能否得到一些書上沒有介紹的數(shù)學(xué)知識呢？教學(xué)分析：通過問題串的設(shè)置，在回顧“軸對稱圖形與等腰三角形”相關(guān)知識的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，并借助三個(gè)問題的鋪墊提出新的問題：“三線合一”拆分后重新組合能否得到一些真命題？22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選3．遷移探索展示課本133頁定理2：等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊。問題1：這個(gè)命題可以“拆”成哪些零件？教學(xué)分析：通過之前的情境，引導(dǎo)學(xué)生將定理2拆成若干“零件”。通過交流、平分底邊。筆者畫出圖2，引導(dǎo)學(xué)生將此四個(gè)“零件”用符號語言表述如下:①AB=AC，②AD平分∠BAC③AD⊥BC④BD=CD圖2問題2：定理2是以哪些“零件”為條件，哪些“零件”為結(jié)論的命題？教學(xué)分析：引導(dǎo)學(xué)生分析定理2是以其中兩個(gè)“零件”作為條件，另外兩個(gè)2另外兩個(gè)“零件”為結(jié)論進(jìn)行重新組合得到新命題。4．探究發(fā)現(xiàn)這樣的命題，你還能寫出幾個(gè)？有的同學(xué)雖然全部列舉出來，但不能確定是否已經(jīng)列舉完成。教師適時(shí)引導(dǎo)，通過展示不同學(xué)生的組合結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生按照一定的順序進(jìn)行組合，培養(yǎng)學(xué)生有序分類的意識，以達(dá)到不重不漏的效果，比如本課中部分同學(xué)給出的以下組合方式：①②→③④①③→②④①④→②③②③→①④②④→①③③④→①②5．推理論證問題1：這些命題都是真命題嗎？教學(xué)分析：多數(shù)學(xué)生不假思索，認(rèn)為它們是真命題。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧，說明一個(gè)命題是假命題只需要一個(gè)反例，說明一個(gè)命題是真命題則需要證明。遇到一個(gè)32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選新的命題，可以先嘗試舉出反例，如果舉不出反例，則可以嘗試證明。問題2：獨(dú)立思考，如何證明這些命題？教學(xué)分析：學(xué)生獨(dú)立思考，捋清思路，再小組合作交流，嘗試逐一證明。由于④→①③”上出現(xiàn)了分歧，有些同學(xué)認(rèn)為，條件中所給條件在證明全等時(shí)兩邊一角不能構(gòu)成SAS，而當(dāng)同學(xué)們嘗試畫出反例時(shí)，又無法找到可以說明其不成立的反例。問題SSA不能證明三角形全等，我們可以改變思路，首先，看到角平分線，你想到了什么？角平分線除了平分角之外，還可以指向角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，由此分析出證法如下：已知：如圖3，AD平分∠BAC，BD=CD；求證：AB=AC,AD⊥BC.證明：過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F；∴∠BED∠CFD=°.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB；∴DE=DF.又∵BD=CD，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）∴∠B=∠C.∴AC=AB.又∵AD平分∠BAC，圖3∴AD⊥BC.問題4：同學(xué)們根據(jù)角平分線這一條件，發(fā)散聯(lián)想到作出這樣的輔助線給予證明，那還有別的證明方法嗎？看到中線你又能想到什么方法呢？教學(xué)分析：在經(jīng)歷了發(fā)散角平分線作輔助線的過程后，學(xué)生通過交流，從中線這一條件發(fā)散思維，想到“倍長中線”這一常用輔助線作法，以及中線平分三角形面積這一特性，并依此得出兩種證法如下：42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選已知：如圖，AD平分∠BAC，BD=CD；求證：AB=AC,AD⊥BC.證法1：（倍長中線法）如圖4，延長AD至點(diǎn)E，使AD=ED.又∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴∠BED=∠CFD，CA=BE.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BED.∴∠BAD=∠BED.∴BE=BA.∴BA=CA.∵在△ABC中，BA=CA，∠BAD=∠CAD，圖4∴AD⊥BC.證法D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為∵AD平分∠BAC，∴DE=DF.∵BD=CD，∴S△ABD=S△ACD.∴AB·DE=AC·DF.∵DE=DF，∴AB=AC.圖5問題5：通過證明，上述命題都是真命題，你能用文字語言總結(jié)一下這些命題嗎？教學(xué)分析：觀察、猜想、論證之后，學(xué)生進(jìn)行總結(jié)：在一個(gè)三角形中，如果同一邊上的高、中線、角平分線這三條線，有任意兩條重合，那么這個(gè)三角形是等腰52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選三角形。6．課堂小結(jié)問題1：本節(jié)課我們研究了什么內(nèi)容？問題2：我們是沿著怎樣的思路來研究的？問題3：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有何體會？教學(xué)分析：學(xué)生自我總結(jié)，自我反思，重新整理本節(jié)課的研究思路，在進(jìn)一步體會分析問題、解決問題的基礎(chǔ)上，更能體會本節(jié)課想要傳遞的重心：如何發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。通過數(shù)學(xué)一般性研究思路的操作體驗(yàn)，讓學(xué)生逐漸發(fā)展為主動研究數(shù)學(xué)而不是被動的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。三、教學(xué)感悟“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，九年級所學(xué)的垂徑定理等，都可以沿著同樣的思路去探究。在本節(jié)課中，知識不是以定論的方式給出，而是以問題的形式作引導(dǎo)，學(xué)生通過觀察，猜想、論證不僅僅是知識，更重要的是研究數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的一種一般性方法。創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。”教師在教學(xué)活動中起到的作用更多是組織者、引導(dǎo)者和設(shè)計(jì)者，如何在教學(xué)活動中讓數(shù)學(xué)知識自然產(chǎn)生而不是教師生