例談年高考圓錐曲線一題多解 論文

例談2022年高考圓錐曲線一題多解散思維，有利于課堂教學(xué)質(zhì)量的提升。本文結(jié)合2022高考圓錐曲線題目探究一題多解。關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué) 圓錐曲線一題多解2022年新高考Ⅰ卷中的圓錐曲線習(xí)題進行一題多解，以供參考。例年全國卷甲卷）設(shè)拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點為F，點D(p，0)過F的直線交C于M，N兩點。當(dāng)直線MD垂直于x軸時，|MF|=3。(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另-一個交點分別為的傾斜角分別為，。則當(dāng)-取得最大值時，求直線AB的方程。解題過程：(1)直線MD垂直于x軸時，|MF|=3，易得p=2，拋物線C的方程為：y2=4x；(2)方法一：線參法y2 y2 y2 y2根據(jù)題意設(shè)M(1，y1)，N(2，y2)，A(3，y3)，B，(4，y4)。設(shè)直線MN的方程4 4 4 4my1為x=my+1，由

，得到y(tǒng)2-4my-4=0，=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4。y24xty2設(shè)直線MD的方程為x=ty+2，由2y4x

=16t2+32＞0，y1y3=-8，4 4 4 4 1則kMN= kAB= = =y2

y3y41

y3y4

2(y2) 2的傾斜角分別為，，kAB=tan= kMN=tan。當(dāng)-取得最大2 tantan k 1值時(0， tan(-)= = =1 ≤2k2 1tantan2221 1222

12k2k = 。當(dāng)且僅當(dāng) =2k，k= 時取等號，此時kAB= 214 k 2 22k222設(shè)直線AB的方程為x=

2yny2-4 y-4n=0，=32+16n＞0，y24x2y3y4=-4n=4y1y2=-16，則n=4，則直線AB的方程為x= y+4。2方法二：點參法y2因M、F、N三點共線，則kMF=kFN， 12

y=22 ，整理得到：(y1-y2)(y1y2+4)=0，=214

y214因y1-y2≠0，則y1y2=-4。同方法一中的（*）4 y2

4xyy

4xyy因直線AB的方程為y-y3= (x-3)，整理得到y(tǒng)= 34= 34=y3y4 4

y3y4

2(y2)4x4yy

4x1622 12= ，即，直線AB的方程為x= y+4。222(y2)

2(y2) 2x2 y2例年高考天津卷）已知橢圓C： + =1(a＞b＞0)的右焦點為F，右頂點a2 b23|BF|3為為A，上頂點為點B， = 。|AB| 2（1）求橢圓C的離心率；3l和橢圓C有唯一交點l交y軸于點的面積為 ，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。3解題過程：36|BF|36（1）由橢圓定義以及 = ，容易得到橢圓C的離線率e= 。|AB| 2 3（2）方法一：常規(guī)法3y2a2根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為y=kx+m，則N(0，m)，由

得到：ykxm(1+3k2)x2+6kmx+3m2-a2=0，因直線l和橢圓C=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-a2)=0，m得到xM=- 33m33

13k2

13k2

1 3km)2+( k=± 的面積為 13k2

13k2 3

2 13k23，解得m2=4，又由3m2=a2(1+3k2)，可得2a2=12，a2=6，則橢圓C3x2 y2即， + =1。6 2方法二：求導(dǎo)法a2x23設(shè)M(x0，y0)，橢圓C的方程為：x2+3y2=a2。當(dāng)y0＞0時，點a2x23x x x則y'=- M處直線l的斜率為k=- 0 =-0y0＜0時，axa2ax33

2 23 0 3

3y0x x直線l的斜率k=-0。直線l的方程為y-y0=-0(x-x0)，整理得到：x0x+3yy0=x0+3y0=a，3y0

3y0

2 2 2a2 a2 a2點N(0， +y0=( )=( )-3y0

2 2 23y0

2 2 23y0a2a22a2a2a22a2)(6y0-ay0= 0＜ -a=± ，22 2 223 3 6 22 31 a a 3由△MON的面積為 ，可得 ×|

3，解得a2=6，即，橢圓C)2 3(a 2)6x2 y2+ =1。6 2x2 y2例C： - la2 a21交C于P、Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0。(1)求l的斜率；2(2)若tan∠PAQ=2 ，求△PAQ的面積。2解題過程：(1)解法一：常規(guī)法x2 y2由點A(2，1)在雙曲線C： - =1(a＞1)上，代入易得a2=2，雙曲線Ca2 a21x2-y2=1。由題意可知直線l的斜率存在，方程設(shè)為y=kx+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由2x2y21

4km

2(m22 x1+x2= ，ykxm2m

4k

12k2

12k2y1+y2= 的斜率之和為12k2 12k2y1

y11 +2 2

x22化簡得到：8k2+4k-4+4m(k+1)=0，即，(k+1)(2k-1+m)=0，則k=-1或m=1-2k。當(dāng)m=1-2k時，直線l：y=kx+m=k(x-2)+1，過點A(2，1)與題意不符，因此k=-1。解法二：平移法假設(shè)將點A(2，1)平移到A'(0，0)，直線l平移后的方程為：mx+ny=1，則雙曲線C平(x2)2移后的方程為： (y1)21，整理得到x2+4x-2y2-4y=0，即，-x2+2y2+(4y-2y2 ykx2 x

A'P

'+k

A'Q

4(mn)'= =0，4n2即，m=n，則平移后的直線斜率為-1，則平移前的也為-1，即，k=-1。解法三：同構(gòu)法x2 x24

(x2)(x

2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則1-y1=1，則1 -y1+1=0，即，1 1 -(y1-2 22 2 2y1

1 x2

1 x2

1 x21 = (1 (1 kBP= (2 2

2 1

2 1

2 y21y1

1x21 (2

)0的斜率之和為 0，可得

x12

2y21

，整理得到：y1

1x22

(1 )0x22

21y2y2)2(x1x2)x260y2y2)2(x1x2)x260

，4(y1-y2)+4(x1-x2)=0，kPQ=-1，即，k=-1。(2)略。變式訓(xùn)練習(xí)題：x2 y2習(xí)題C： -

5F和點a2 b25C的方程；（2）經(jīng)過點F的直線l和雙曲線C的右支交于點P5y25的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。答案：（1）x2- =1；（2）存在，P( ，0)。4 5x2 y2 1習(xí)題C： + =1(a＞b＞0)的離線率為 C右焦點并垂直于xa2 b2 2軸的直線PM和橢圓C交于P、M（點P位于x軸上方）兩點，且△OPM（O為坐標(biāo)原點）3的面積為 Cl和橢圓C交于A、B兩點（A、B異29于點PA和PB的斜率之積為- ，求點P到直線l距離的最大值。答案：（1）485x2 y285+ =1；（2） 。4 3 42x2 y22習(xí)題E： + a2 b2EE的右焦點做相互垂直的兩條直線E16交于