淺談函數(shù)極限的解法技巧及應(yīng)用 論文

淺談函數(shù)極限的解法技巧及應(yīng)用摘后，我還談到了極限在一些方面的應(yīng)用情況來幫助我們更加深入地了解極限。關(guān)鍵詞：極限思想，極限類型，極限應(yīng)用。引只不過當(dāng)時人們并沒有系統(tǒng)的極限思維。度很高，所以，我想對于極限的研究展開我的論述。在這篇論文中我總結(jié)了極限題目的幾種特殊類型以及解決關(guān)于極限的題目時所用到的領(lǐng)域的應(yīng)用從而加深我們對極限的了解。一、函數(shù)極限的求解方法概述一突破。1.用等價代換求極限的方法，我們只需要記得以下幾種常見的等價代換就可以快速的解決問題：當(dāng)x→0時：sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～ex?1～x；x2 x2 (1+αx)β αβx ax1-cosx～ ； -1～ ； -1～xlna；21 1x-sinx～x3；arcsinx-x～x3；6 61 1 1x-tanx～-x3；arctanx-x～-x3；x-ln(1+x)～x23 3 2當(dāng)x→1時：lnu～u-1誤。2.用洛必達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式容易的求解方法。但是使用洛必達(dá)法則是要滿足一些條件的：條件：A.分子、分母的極限都等于零或者無窮大，即limf(x)=limg(x)=0或∞x→x0

x→x0B.分子、分母在限定的區(qū)域內(nèi)分別可導(dǎo)，且g＇(x)≠0;f＇(x)limg＇(x)存在或為∞x→x0f(x)

f＇(x)則limg(x)=limg＇(x)x→x0

x→x0公式即可，難度不大也很難出錯，因此被很多人使用。3.用泰勒公式求極限了普通函數(shù)，從而方便了我們的計算。以下就是極限中經(jīng)常用到的泰勒公式：∞ 1 x2x3 xnex=∑

xn=1+x+++…+

+o(xn);x

∈(?∞,+∞)n=0n!

2!3! n!∞ (?1)n

2n+1

x3x5

nx2n+1

2n+1sinx=∑n=0(2n+1)!x

=x-+-…+(?1)

+o(x

);x∈(?∞,+∞)

∞ (?1)n2n

3!5!x2x4

(2n+1)!nx2n 2ncosx =

∑n=0(2n)!x

=1-+-… +(?1)

+o(x

); x1∈(?∞,+∞)tanx=x+x3+21

x5+17

2!x7+o(x7);x

4!∈(?1,1)

(2n)!3 15∞

315(?1)n

n+1

x2x3

nxn+1

xn+1xln(1+x)=∈(?1,1]

∑n=0n+1x

=x-2+3-…+(?1)n+

+o(1

);x(1+x)α =

∞ α(α?1)…（α?n+1）∑

xn=

1+αx+

α(α?1)+α(α?1)…(α?n+1)n!

xn;x

n=1 n! 2!∈(?1,1)∑1=∞∑

xn=1+x+x2+…+xn+o(xn);x

∈(?1,1)1?x1

n=0∑=∞∑

(?1)nxn=

1-x+x2-x3+…+(?1)nxn+o(xn);x

∈(?1,1)1+x

n=0總結(jié)：泰勒公式是一個比較復(fù)雜的公式，它設(shè)涉及了高階多項式還有余項，注意審題，展開到準(zhǔn)確的階數(shù)才能得到正確的答案。所以我們要牢記泰勒公式的兩個展開原則：（1）分式上下同階原則：A如“B”型，如果分子（或分母）是x的k次方，則應(yīng)把分母（或分子）展開到x的k次方，可稱之為“上下同階”原則。（2）加減冪次最低原則：展開到它們的系數(shù)不相等的x的最低次冪為止，即兩式相減不為零即可，則稱之為“冪次最低”原則。4.無窮小的比較定義，設(shè)α及β都是同一個自變量的變化過程中的無窮小。β如果limα=0，就是說β是比α高階的無窮小，記為β=o(α);β如果limα=∞,就是說β是比α低階的無窮小；β如果limα=c≠0,就是說β與α同階無窮小；β如果limαkβ

=c≠0,k>0,就是說β是關(guān)于α的k階無窮?。沪寥绻鹟im=1,就是說β與α是等價無窮小，記為β～α。α5.用拉格朗日中值定理求極限不等式等問題，其實中值定理在處理極限問題的時候，也有著十分獨特的功能。拉格朗日中值定理：若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點ξ（a＜ξ＜b）,使得f(b)-f(a)=f＇(ξ)(b-a)往找不到f(a)和f（b）。多做多練便可提高自己的數(shù)學(xué)能力。注意：函數(shù)f(x)一定要滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間內(nèi)就能找到一點ξ，使得f(b)-f(a)=f＇(ξ)(b-a)（a＜ξ＜b）。二、函數(shù)極限的幾種特殊類型因此我們需要分析每一個題型找到對應(yīng)的解決方法。以下就是函數(shù)極限的幾種類型:0 ∞1. 型；型：0 ∞∞解題思路：等價代換，洛必達(dá)法則，泰勒公式；對于型還可以分子分母同∞除最高階的無窮大。ex例：求limx→+∞x3ex ex

∞ex ex∞解：lim

=

lim

=

lim

=6x

lim

=+ （多次運(yùn)用洛必達(dá)法6x→+∞x3則）

x→+∞3x2

x→+∞

x→+∞2.0·∞型：0 ∞ ∞ ∞ 0 0型或0·∞→

（）→

（0 ∞等價代換，泰勒公式。

1 ∞ 1 00 ∞例：求limx→0+

xlnx

111lnx x ∞11解：limx→0+

xlnx=

limx→0+

=x

limx→0+?

=

limx→0+

(?x)=0(先化為∞x2型，再用洛必達(dá))3. ∞?∞型：若是含有根號的減法，則要有理化。1 1例：求lim( ? )x→11解：lim(

x?11?

lnx)=

lim

lnx?x+1

=lim

1x?1

=lim

1?x

=lim ?1x→11

x?1

lnx0

x→1

(x?1)lnx

x?1x→1x+lnx

x→1x?1+xlnx

x→12+lnx=-（先通分化為型，再用洛必達(dá)法則）2 04. ∞0；00型：解題思路：利用公式limf(x)g(x)=eA，A=lim g(x)·lnf(x) 1例：求limx→+∞

(x+ 1+x2)xln(x+ln(x+ 1+x2)解：lim

(x+ 1+x2)x=ex→+∞

x =eA，x→+∞ln(x+ 1+x2) 1 x 1A=lim

=x

lim

(1+x+ 1+x2

)=1+x2

lim

=01+x2x→+∞

x→+∞

x→+∞∴原式=eA=e0=1（利用洛必達(dá)法則，再利用公式）5. 1∞型：解題思路：利用公式limf(x)g(x)=eA，A=limg(x)[f(x)-1]1例：求lim(cosx)x2x→01lim

cosx?1解:lim(cosx)x2=ex→0x→0

x2=eA，A=lim

cosx?1=lim

?sinx

=lim

?cosx

1=-x→0 x2

x→02x1

x→0 2 2∴原式=eA=e?2(利用洛必達(dá)法則，再利用公式)6.恒等變形：1?cosxcos2xcos3x例：求limx→0 x2解：1-cosxcos2xcos3x=(1-cosx)+(cosx-cosxcos2x)+(cosxcos2x-cosxcos2xcos3x)∵I1=lim

1?cosx

1=，I2=lim

cosx（1?cos2x）

=2，x→0 x2 2

x→0 x2cosxcos2x(1?cos3x)

1?cos3x 9 9I3=lim

=limcosxcos2x·lim

=1×=x→0 x2

x→0

x→0 x2 2 2∴原式=I1+I2+I3=7(先恒等變形，再分別計算)7.正三角型：xn所謂正三角型是指：(m﹥n)或者xm

分子項數(shù)少分母項數(shù)多解題思路：把正三角型變?yōu)榈谷切?，即利用倒代換。1?例：求lim

ex2x→0x100→0 →0 →+∞ x100 t?50解：令t=，∵x ，∴t ， =x∴原式=

lim

e?t

=

lim

t50

=

lim

50·t49=…=

lim

50!

=0t→+∞t?50

t→+∞et

t→+∞ et

t→+∞et(利用倒代換把正三角變?yōu)榈谷牵俣啻卫寐灞剡_(dá)法則)限的類型從而方便解題。三、函數(shù)極限的應(yīng)用限在幾個方面的應(yīng)用。1.極限在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用——判斷函數(shù)圖像特點函數(shù)的圖像。沒有間斷點。首先我們要知道間斷點的類型：A.第一類間斷點：可去間斷點：左右極限都存在且相等。跳躍間斷點：左右極限都存在但不相等。B.第二類間斷點：無窮間斷點：左右極限至少有一個為∞。震蕩間斷點：左右極限至少有一個不存在，且不是無窮間斷點。在這些點的極限值，從而判斷函數(shù)的間斷點。|x|x?1例：求f(x)= 的間斷點個數(shù)。x(x+1)ln|x|解：函數(shù)的無定義點有：x=-1，0，1；沒有分段點。（1）在X=0時:|x|x?1

exln|x|?1

xln|x| 1limx(x+1)ln

=limx(x+1)ln

=limx(x+1)ln|x|=limx+1=1x→0

|x|

x→0

|x|

x→0

x→0(∵x→0時，xln|x|→0，∴exln|x|?1～xln|x|)，所以x=0是可去間斷點。（2）在x=1時：|x|x?1

exln|x|?1

xln|x| 1 1limx(x+1)ln

=limx(x+1)ln

=limx(x+1)ln|x|=limx+1=x→1

|x|

x→1

|x|

x→1

x→1 2(∵x→1時，xln|x|→0，∴exln|x|?1～xln|x|)，所以x=1是可去間斷點。（3）在x=-1時：|x|x?1

exln|x|?1

xln|x| 1lim

x(x+1)ln

=limx(x+1)ln|x|=limx(x+1)ln

=limx+1=∞x→?1

|x|

x→?1

x→?1

|x|

x→?1(∵x→?1時，xln|x|→0，∴exln|x|?1～xln|x|)，所以x=-1是無窮間斷點。綜上，函數(shù)f(x)一共有兩個可去間斷點，一個無窮間斷點。2.極限在生物學(xué)中的應(yīng)用族的滅絕。這里所講的滅絕就相當(dāng)于生物群發(fā)展的極限是準(zhǔn)確的滅亡時間或者該物種以后的發(fā)展趨勢。采取合理的人為干涉才能使生態(tài)環(huán)境變的越來越和諧美好。維。例：人體的極限溫度：（1）環(huán)境溫度極限：大約116℃——這是人體置身期間尚能呼吸的溫度。14.2℃——正常人的腋窩溫度下限通常為36.5℃。46.5℃——正常人的腋窩溫度上限通常為37.4℃。3.極限在體育中的應(yīng)用說了很多極限在各個領(lǐng)域的應(yīng)用，感覺都離我們生活很遠(yuǎn)讓我們難以理解。那么我們就來講一下極限在體育中的運(yùn)用。地挑戰(zhàn)和刷新運(yùn)動員的極限。這里所說的極限是無法用簡單的數(shù)學(xué)公式來表示也失去了體育競爭的意義。研究，突破，再認(rèn)識，再研究，再突破這樣一個螺旋上升的過程不斷發(fā)展的。和運(yùn)動員的記錄之間的突破才是我們最值得關(guān)注的，也是最有意義的。例：（1）博爾特，一次次刷新世界紀(jì)錄，在田徑史上留下不可復(fù)制的傳奇。——100米，9.58秒；——200米，19.19秒（2）劉翔，國人的驕傲，創(chuàng)造了第一個屬于亞洲人的極限記錄?！?10米跨欄，12.95秒（3）伊蓮娜.伊辛巴耶娃，28次打破女子撐桿跳世界紀(jì)錄?！邮覂?nèi)撐桿跳，5.01米（4）邁克爾.菲爾普斯，人稱飛魚，他以26金6銀1銅的成績沖擊著我們的世界觀?！?00米蝶泳，1分51秒51；——400米混合泳，4分03秒84；——100米蝶泳，49秒82們是體育界的驕傲，是人類的極限，是傳奇！