淺談函數(shù)極限的解法技巧及應(yīng)用 論文

淺談函數(shù)極限的解法技巧及應(yīng)用摘后，我還談到了極限在一些方面的應(yīng)用情況來幫助我們更加深入地了解極限。關(guān)鍵詞：極限思想，極限類型，極限應(yīng)用。引只不過當時人們并沒有系統(tǒng)的極限思維。度很高，所以，我想對于極限的研究展開我的論述。在這篇論文中我總結(jié)了極限題目的幾種特殊類型以及解決關(guān)于極限的題目時所用到的領(lǐng)域的應(yīng)用從而加深我們對極限的了解。一、函數(shù)極限的求解方法概述一突破。1.用等價代換求極限的方法，我們只需要記得以下幾種常見的等價代換就可以快速的解決問題：當x→0時：sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～ex?1～x；x2 x2 (1+αx)β αβx ax1-cosx～ ； -1～ ； -1～xlna；21 1x-sinx～x3；arcsinx-x～x3；6 61 1 1x-tanx～-x3；arctanx-x～-x3；x-ln(1+x)～x23 3 2當x→1時：lnu～u-1誤。2.用洛必達法則求極限洛必達法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式容易的求解方法。但是使用洛必達法則是要滿足一些條件的：條件：A.分子、分母的極限都等于零或者無窮大，即limf(x)=limg(x)=0或∞x→x0

x→x0B.分子、分母在限定的區(qū)域內(nèi)分別可導(dǎo)，且g＇(x)≠0;f＇(x)limg＇(x)存在或為∞x→x0f(x)

f＇(x)則limg(x)=limg＇(x)x→x0

x→x0公式即可，難度不大也很難出錯，因此被很多人使用。3.用泰勒公式求極限了普通函數(shù)，從而方便了我們的計算。以下就是極限中經(jīng)常用到的泰勒公式：∞ 1 x2x3 xnex=∑

xn=1+x+++…+

+o(xn);x

∈(?∞,+∞)n=0n!

2!3! n!∞ (?1)n

2n+1

x3x5

nx2n+1

2n+1sinx=∑n=0(2n+1)!x

=x-+-…+(?1)

+o(x

);x∈(?∞,+∞)

∞ (?1)n2n

3!5!x2x4

(2n+1)!nx2n 2ncosx =

∑n=0(2n)!x

=1-+-… +(?1)

+o(x

); x1∈(?∞,+∞)tanx=x+x3+21

x5+17

2!x7+o(x7);x

4!∈(?1,1)

(2n)!3 15∞

315(?1)n

n+1

x2x3

nxn+1

xn+1xln(1+x)=∈(?1,1]

∑n=0n+1x

=x-2+3-…+(?1)n+

+o(1

);x(1+x)α =

∞ α(α?1)…（α?n+1）∑

xn=

1+αx+

α(α?1)+α(α?1)…(α?n+1)n!

xn;x

n=1 n! 2!∈(?1,1)∑1=∞∑

xn=1+x+x2+…+xn+o(xn);x

∈(?1,1)1?x1

n=0∑=∞∑

(?1)nxn=

1-x+x2-x3+…+(?1)nxn+o(xn);x

∈(?1,1)1+x

n=0總結(jié)：泰勒公式是一個比較復(fù)雜的公式，它設(shè)涉及了高階多項式還有余項，注意審題，展開到準確的階數(shù)才能得到正確的答案。所以我們要牢記泰勒公式的兩個展開原則：（1）分式上下同階原則：A如“B”型，如果分子（或分母）是x的k次方，則應(yīng)把分母（或分子）展開到x的k次方，可稱之為“上下同階”原則。（2）加減冪次最低原則：展開到它們的系數(shù)不相等的x的最低次冪為止，即兩式相減不為零即可，則稱之為“冪次最低”原則。4.無窮小的比較定義，設(shè)α及β都是同一個自變量的變化過程中的無窮小。β如果limα=0，就是說β是比α高階的無窮小，記為β=o(α);β如果limα=∞,就是說β是比α低階的無窮小；β如果limα=c≠0,就是說β與α同階無窮?。沪氯绻鹟imαkβ

=c≠0,k>0,就是說β是關(guān)于α的k階無窮?。沪寥绻鹟im=1,就是說β與α是等價無窮小，記為β～α。α5.用拉格朗日中值定理求極限不等式等問題，其實中值定理在處理極限問題的時候，也有著十分獨特的功能。拉格朗日中值定理：若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點ξ（a＜ξ＜b）,使得f(b)-f(a)=f＇(ξ)(b-a)往找不到f(a)和f（b）。多做多練便可提高自己的數(shù)學(xué)能力。注意：函數(shù)f(x)一定要滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間內(nèi)就能找到一點ξ，使得f(b)-f(a)=f＇(ξ)(b-a)（a＜ξ＜b）。二、函數(shù)極限的幾種特殊類型因此我們需要分析每一個題型找到對應(yīng)的解決方法。以下就是函數(shù)極限的幾種類型:0 ∞1. 型；型：0 ∞∞解題思路：等價代換，洛必達法則，泰勒公式；對于型還可以分子分母同∞除最高階的無窮大。ex例：求limx→+∞x3ex ex

∞ex ex∞解：lim

=

lim

=

lim

=6x

lim

=+ （多次運用洛必達法6x→+∞x3則）

x→+∞3x2

x→+∞

x→+∞2.0·∞型：0 ∞ ∞ ∞ 0 0型或0·∞→

（）→

（0 ∞等價代換，泰勒公式。

1 ∞ 1 00 ∞例：求limx→0+

xlnx

111lnx x ∞11解：limx→0+

xlnx=

limx→0+

=x

limx→0+?

=

limx→0+

(?x)=0(先化為∞x2型，再用洛必達)3. ∞?∞型：若是含有根號的減法，則要有理化。1 1例：求lim( ? )x→11解：lim(

x?11?

lnx)=

lim

lnx?x+1

=lim

1x?1

=lim

1?x

=lim ?1x→11

x?1

lnx0

x→1

(x?1)lnx

x?1x→1x+lnx

x→1x?1+xlnx

x→12+lnx=-（先通分化為型，再用洛必達法則）2 04. ∞0；00型：解題思路：利用公式limf(x)g(x)=eA，A=lim g(x)·lnf(x) 1例：求limx→+∞

(x+ 1+x2)xln(x+ln(x+ 1+x2)解：lim

(x+ 1+x2)x=ex→+∞

x =eA，x→+∞ln(x+ 1+x2) 1 x 1A=lim

=x

lim

(1+x+ 1+x2

)=1+x2

lim

=01+x2x→+∞

x→+∞

x→+∞∴原式=eA=e0=1（利用洛必達法則，再利用公式）5. 1∞型：解題思路：利用公式limf(x)g(x)=eA，A=limg(x)[f(x)-1]1例：求lim(cosx)x2x→01lim

cosx?1解:lim(cosx)x2=ex→0x→0

x2=eA，A=lim

cosx?1=lim

?sinx

=lim

?cosx

1=-x→0 x2

x→02x1

x→0 2 2∴原式=eA=e?2(利用洛必達法則，再利用公式)6.恒等變形：1?cosxcos2xcos3x例：求limx→0 x2解：1-cosxcos2xcos3x=(1-cosx)+(cosx-cosxcos2x)+(cosxcos2x-cosxcos2xcos3x)∵I1=lim

1?cosx

1=，I2=lim

cosx（1?cos2x）

=2，x→0 x2 2

x→0 x2cosxcos2x(1?cos3x)

1?cos3x 9 9I3=lim

=limcosxcos2x·lim

=1×=x→0 x2

x→0

x→0 x2 2 2∴原式=I1+I2+I3=7(先恒等變形，再分別計算)7.正三角型：xn所謂正三角型是指：(m﹥n)或者xm

分子項數(shù)少分母項數(shù)多解題思路：把正三角型變?yōu)榈谷切?，即利用倒代換。1?例：求lim

ex2x→0x100→0 →0 →+∞ x100 t?50解：令t=，∵x ，∴t ， =x∴原式=

lim

e?t

=

lim

t50

=

lim

50·t49=…=

lim

50!

=0t→+∞t?50

t→+∞et

t→+∞ et

t→+∞et(利用倒代換把正三角變?yōu)榈谷牵俣啻卫寐灞剡_法則)限的類型從而方便解題。三、函數(shù)極限的應(yīng)用限在幾個方面的應(yīng)用。1.極限在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用——判斷函數(shù)圖像特點函數(shù)的圖像。沒有間斷點。首先我們要知道間斷點的類型：A.第一類間斷點：可去間斷點：左右極限都存在且相等。跳躍間斷點：左右極限都存在但不相等。B.第二類間斷點：無窮間斷點：左右極限至少有一個為∞。震蕩間斷點：左右極限至少有一個不存在，且不是無窮間斷點。在這些點的極限值，從而判斷函數(shù)的間斷點。|x|x?1例：求f(x)= 的間斷點個數(shù)。x(x+1)ln|x|解：函數(shù)的無定義點有：x=-1，0，1；沒有分段點。（1）在X=0時:|x|x?1

exln|x|?1

xln|x| 1limx(x+1)ln

=limx(x+1)ln

=limx(x+1)ln|x|=limx+1=1x→0

|x|

x→0

|x|

x→0

x→0(∵x→0時，xln|x|→0，∴exln|x|?1～xln|x|)，所以x=0是可去間斷點。（2）在x=1時：|x|x?1

exln|x|?1

xln|x| 1 1limx(x+1)ln

=limx(x+1)ln

=limx(x+1)ln|x|=limx+1=x→1

|x|

x→1

|x|

x→1

x→1 2(∵x→1時，xln|x|→0，∴exln|x|?1～xln|x|)，所以x=1是可去間斷點。（3）在x=-1時：|x|x?1

exln|x|?1

xln|x| 1lim

x(x+1)ln

=limx(x+1)ln|x|=limx(x+1)ln

=limx+1=∞x→?1

|x|

x→?1

x→?1

|x|

x→?1(∵x→?1時，xln|x|→0，∴exln|x|?1～xln|x|)，所以x=-1是無窮間斷點。綜上，函數(shù)f(x)一共有兩個可去間斷點，一個無窮間斷點。2.極限在生物學(xué)中的應(yīng)用族的滅絕。這里所講的滅絕就相當于生物群發(fā)展的極限是準確的滅亡時間或者該物種以后的發(fā)展趨勢。采取合理的人為干涉才能使生態(tài)環(huán)境變的越來越和諧美好。維。例：人體的極限溫度：（1）環(huán)境溫度極限：大約116℃——這是人體置身期間尚能呼吸的溫度。14.2℃——正常人的腋窩溫度下限通常為36.5℃。46.5℃——正常人的腋窩溫度上限通常為37.4℃。3.極限在體育中的應(yīng)用說了很多極限在各個領(lǐng)域的應(yīng)用，感覺都離我們生活很遠讓我們難以理解。那么我們就來講一下極限在體育中的運用。地挑戰(zhàn)和刷新運動員的極限。這里所說的極限是無法用簡單的數(shù)學(xué)公式來表示也失去了體育競爭的意義。研究，突破，再認識，再研究，再突破這樣一個螺旋上升的過程不斷發(fā)展的。和運動員的記錄之間的突破才是我們最值得關(guān)注的，也是最有意義的。例：（1）博爾特，一次次刷新世界紀錄，在田徑史上留下不可復(fù)制的傳奇。——100米，9.58秒；——200米，19.19秒（2）劉翔，國人的驕傲，創(chuàng)造了第一個屬于亞洲人的極限記錄?！?10米跨欄，12.95秒（3）伊蓮娜.伊辛巴耶娃，28次打破女子撐桿跳世界紀錄。——女子室內(nèi)撐桿跳，5.01米（4）邁克爾.菲爾普斯，人稱飛魚，他以26金6銀1銅的成績沖擊著我們的世界觀?！?00米蝶泳，1分51秒51；——400米混合泳，4分03秒84；——100米蝶泳，49秒82們是體育界的驕傲，是人類的極限，是傳奇！