d53多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

第五章第三節(jié)一、方向?qū)?shù)

與偏導(dǎo)數(shù)二、全微分四、高階偏導(dǎo)數(shù)及高階全微分多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分三、梯度及其與方向?qū)?shù)的關(guān)系五、多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分六、由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法3.1、方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)引例:設(shè)是平面上某一向量，其單位向量記為方向的變化率.解：作與l平行的直線L,它的方程為過點

f(x)在點處沿方向l的變化率，就是當(dāng)點x

在直線

L上變化時f(x)在點處的變化率.是一個二元函數(shù).現(xiàn)討論f在點處沿l在與固定的情況下，當(dāng)點x在直線L上變化時，函數(shù)是自變量為t

的一元函數(shù)，記作因此，f(x)在處沿方向l

的變化率就是函數(shù)F(t)在t=0處的導(dǎo)數(shù)，即一、方向?qū)?shù)的定義定義:設(shè)是平面上一向量，與l同向的存在，則稱此極限值為f

在從而對應(yīng)的函數(shù)值有改變量若內(nèi)讓自變量x

由沿與平行的直線變到單位向量為二元函數(shù)在或記作即沿l方向的方向?qū)?shù)。關(guān)于方向?qū)?shù)的幾點說明(1)

定義中的t的絕對值是兩點與之間的距離d.關(guān)于距離的變化率.(2)方向?qū)?shù)實際上是函數(shù)f

在沿l

方向沿l方向增加(減少).則f在處(3)若方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)的幾何意義平面與曲面相交的曲線為C.(1)當(dāng)t>0,的方向與l的方向相對應(yīng)，表示曲線C的割線與向量l夾角的正切值,即(關(guān)于l的方向)的斜率.過直線作平行于z軸的平面II，方向?qū)?shù)的幾何意義(2)當(dāng)t<0,的方向與l的方向相反，表示(關(guān)于l的方向)的斜率.當(dāng)割線轉(zhuǎn)化為切線.它關(guān)于l

方向的斜率是方向?qū)?shù)例3.1設(shè)二元函數(shù)

求f在點(0,0)沿方向的方向?qū)?shù).解：當(dāng)時，有當(dāng)時，由于從而偏導(dǎo)數(shù)的定義在點的鄰域設(shè)函數(shù)即:定義3.2內(nèi)定義，若f

在點處沿x軸(y軸)則稱此方向為f

在點正向的方向?qū)?shù)存在，f對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為處對x(

y)的偏導(dǎo)數(shù).同理給出f對y的偏導(dǎo)數(shù)的記號和定義式.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點M0處的切線對x

軸的斜率.在點M0處的切線斜率.是曲線對y軸的函數(shù)在某點各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點不一定連續(xù).上節(jié)例在上節(jié)已證f(x,y)在點(0,0)并不連續(xù)!例3.2求解法1解法2在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).先求后代先代后求在區(qū)域D

內(nèi)有定義，設(shè)函數(shù)及定義：則f對x及y的偏導(dǎo)函數(shù)分別定義為其中

f對x的偏導(dǎo)函數(shù)簡記為

f對y的偏導(dǎo)函數(shù)簡記為偏導(dǎo)函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)及例3.3求解：

把

y的看作常數(shù)，對x求導(dǎo)得

把

x的看作常數(shù)，對y求導(dǎo)得由得例3.4

設(shè)證:例3.5

求的偏導(dǎo)數(shù).解:求證第五章二、全微分在近似計算中的應(yīng)用應(yīng)用一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計算估計誤差本小節(jié)內(nèi)容:一、二元函數(shù)全微分的定義3.2

全微分一、全微分的定義定義3.3

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0

,y0

)的某鄰域內(nèi)可以表示為,函數(shù)f在有定義.如果對于(x0

,y0

)處的改變量其中不依賴于

x,

y,僅與x0

,y0

有關(guān)，則稱

f(x,y)在點(x0,y0)可微，并稱為函數(shù)f

在點(x0,y0)的全微分,記作問題：1.f在什么條件下可微？2.當(dāng)f可微時，代表什么？3.如何計算全微分？4.函數(shù)的可微性與連續(xù)性及方向?qū)?shù)（偏導(dǎo)數(shù)）之間又有什么關(guān)系？定理3.1(可微的必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)可微,則(1)f在(x0,y0)處連續(xù)；

(2)f在(x0,y0)處沿任意l方向的方向?qū)?shù)均存在，特別的，f在(x0,y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在，且有及其中是l方向上的單位向量.證：

(1)當(dāng)f

在點(x0

,y0)可微時,有

或成立,所以f在(x0,y0)處連續(xù)；(2)由可微的定義,有取則有,及于是由方向?qū)?shù)的定義式有由上可知，當(dāng)f在點(x0,y0

)處可微時，f沿任意l方向的方向?qū)?shù)均存在.特別地，f

在(x0,y0

)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在.

當(dāng)分別取(1,0)和(0,1)時，

由上式可得于是由全微分定義，定理得證！函數(shù)z=f(x,y)在點

(x0

,y0)可微二元函數(shù)在一點處的全微分不僅與f在該點處的各個偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)，還與各自變量的改變量△x,△y有關(guān).如果f

在區(qū)域的每一點均可微，則稱f

是內(nèi)

的可微函數(shù).此時全微分可簡記為df

或dz，其計算公式為可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（1）:函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在例3.6f在原點處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，但是在原點卻不連續(xù)，故不可微！例3.7討論函數(shù)在點O(0,0)處的連續(xù)性與可微性.易見f在點(0,0)處連續(xù).再由偏導(dǎo)數(shù)的定義，可得證:由故f在點(0,0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在.例3.7討論函數(shù)在點O(0,0)處的連續(xù)性與可微性.證:因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.定理3.2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點可微分.所以函數(shù)在點可微.注意到,故有例3.8計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解:例3.9計算函數(shù)的全微分.解:

可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（2）:偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微例3.10在點(0,0)處可微，但偏導(dǎo)數(shù)在點(0,0)不連續(xù).

證明函數(shù)證:易求得,因此有故f在點(0,0)處可微。當(dāng)f

不在點(0,0)處時，有由于而不存在，所以在點(0,0)處間斷，同理也在點(0,0)間斷.推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作稱為偏微分.的全微分為于是例3.11

求的全微分.解:

顯然，在除了原點之外的所有點，f

的所有偏導(dǎo)數(shù)均存在且連續(xù)，因此由定理3.2知f可微，則例3.12

求的近似值.解令二、全微分在近似計算中的應(yīng)用一、復(fù)習(xí):沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,且有若n元函數(shù)f在點可微，則函數(shù)在該點為l方向上其中的單位向量。第五章3.3梯度及其與方向?qū)?shù)的關(guān)系方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模（范數(shù)）:

f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：當(dāng)與的方向一致時，

定義3.4（梯度）即設(shè)函數(shù)則稱向量在點可微，為函數(shù)f(gradient),在點

處的梯度向量，簡稱梯度記作其中稱為向量微分算子或Nabla算子.它本身沒有意義，將作用于函數(shù)f就得到一向量，即同樣可定義二元函數(shù)在點處的梯度注：1.方向?qū)?shù)可以表示成：

2.若記，則利用梯度可將f在點

x

處的全微分寫成：方向?qū)?shù)公式例3.11求二元函數(shù)在點P（-1，1）處沿方向的方向?qū)?shù)，并指出u在該點沿哪個方向的方向?qū)?shù)最大？這個最大的方向?qū)?shù)值是多少？u沿哪個方向減小的最快？沿著哪個方向u的值不變化？解：(1)方向?qū)?shù)取最大值的方向即梯度方向，其單位向，方向?qū)?shù)的最大值為u沿梯度的負向即的方向減小的最快。量為(2)(3)下求使u的變化率為零的方向。令則：令得，此時u的值不變化。2.梯度的運算法則3.4高階偏導(dǎo)數(shù)1.定義如果n元函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)在點對變量的偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱這個偏導(dǎo)數(shù)為f在點先對變量再對變量的二階偏導(dǎo)數(shù)，記為：或或其中例如：二元函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)共有四個，按求導(dǎo)順序不同,有其中和為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。例3.12

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及則定理.例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因為初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(x,y,z)連續(xù)時,有而初等(證明略)證明例3.13

證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程證：3.5多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分在一元函數(shù)的求導(dǎo)法中，復(fù)合函數(shù)的鏈式法則發(fā)揮了非常重要的作用。函數(shù)。

本部分將把鏈式法則推廣到多元論述鏈式法則。為了論述簡潔，我們以由兩個中間變量和兩個自變量構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)為例來定理3.3設(shè)和均在點處可微，而函數(shù)在對應(yīng)的點處處可微，則復(fù)合函數(shù)在也必可微，且其全微分為（全微分形式不變性）證明：令自變量分別有改變量則函數(shù)相應(yīng)地分別有改變量從而函數(shù)有改變量由于均在點處可微，故有其中是當(dāng)時關(guān)于的高階無窮小。又由于函數(shù)在所對應(yīng)的處可微，故有將上述(1)(2)兩式帶入(3)式并加以整理，則得復(fù)合函數(shù)的改變量為其中要證明定理成立，只需證明（4）式中的為的高階無窮小，即注意到均與無關(guān)，以及從而有因此，以下只需證明由于而當(dāng)充分小時，由（1）式可知故有界，同理可知也有界，因此有界。又由的可微性知在處連續(xù)，即當(dāng)時，有及所以有于是由（5）式知證畢。由定理可見，復(fù)合函數(shù)有鏈式法則：多元函數(shù)的復(fù)合可以有多種情況，例如：（1）設(shè)均可微，則復(fù)合函數(shù)是的一元可微函數(shù)，可得此式稱為復(fù)合函數(shù)對的全導(dǎo)數(shù)公式。（2）設(shè)均可微，則復(fù)合函數(shù)可微，它有一個中間變量、三個自變量，可得：（3）設(shè)均可微，則復(fù)合函數(shù)可微，它有三個中間變量，兩個自變量，可得：注意:這里表示表示與不同,固定y對x

求導(dǎo),固定y、z對x

求導(dǎo)。例3.16設(shè)其中可微，求解:由于及顯然可微，故復(fù)合函數(shù)可微，把中的看作是第一個變量，看作是第二變量，有時采用下面的記號更為方便清晰：其中表示對第一個變量的偏導(dǎo)數(shù)，表示對第二個變量的偏導(dǎo)數(shù)。說明：例3.17設(shè)其中可導(dǎo)，證:把看作是由函數(shù)復(fù)合而成，分別對從而求證：及與求導(dǎo)得例3.18設(shè)其中具有對各變量的連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且求解:根據(jù)函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)及復(fù)合函數(shù)的鏈式法則，得注意到都是的三元函數(shù)，再有鏈式法則，其中表示先對第i個變量求導(dǎo)，再對第j個求導(dǎo).在解決物理、力學(xué)等問題時，常需要把一種坐標系下的偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種坐標系下的偏導(dǎo)數(shù)，如下例：例3.19求與在極坐標中的表達式，其中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。解:令從而此時可以把看作與復(fù)合而成應(yīng)用鏈式法則得由（1）式得把四個式子代入（2）式得將（3）（4）兩式平方相加得將（3）式兩端再對x求偏導(dǎo)數(shù)，得同理，將（4）式兩端對

y求偏導(dǎo)，并化簡可得所以，在一元函數(shù)中，一階微分具有形式不變性，下面我們討論多元函數(shù)一階全微分形式的不變性。以二元復(fù)合函數(shù)為例設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.設(shè)其中對于多元復(fù)合函數(shù)若f可微，u也可微，則即把中的看作中間變量或自變量時的全微分形式完全一樣，這一性質(zhì)稱為一階全微分形式不變性（高階全微分不具有此性質(zhì)）全微分的有理運算法則例3.20設(shè)可微，求的偏導(dǎo)數(shù)。解:利用一階全微分形式不變性，可得所以，3.6由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法常會遇到一些函數(shù)，其因變量與自變量的關(guān)系以