D函數(shù)的極值與最值

3.10.2

函數(shù)的最值問(wèn)題3.10.1

函數(shù)的極值的判別

§3.10機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)的極值與最值

第3章3.10.1函數(shù)極值的判別法為極大點(diǎn)；為極小點(diǎn)；不是極值點(diǎn)。2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值點(diǎn)可能是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)

或不可導(dǎo)的點(diǎn)。1)極值反映的只是函數(shù)的局部性質(zhì)，例如：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為其極大值點(diǎn)，其極大值為：為其極小值點(diǎn)，其極小值為：注意:極大值可能小于其極小值；一、可疑極值點(diǎn)1.駐點(diǎn)：方程的解稱(chēng)為函數(shù)說(shuō)明：（見(jiàn)P152圖3.33）

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的駐點(diǎn)。⑴

函數(shù)的極值可以在駐點(diǎn)取得，但駐點(diǎn)未必是其極值點(diǎn)；而言，但對(duì)于滿(mǎn)足但0不是其極值點(diǎn)；又如是函數(shù)的極小值點(diǎn)，但函數(shù)在此點(diǎn)并不可導(dǎo)，也就是說(shuō)函數(shù)的極值有可能在不可導(dǎo)的點(diǎn)處取得。⑵

函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是函數(shù)定義域內(nèi)的不可導(dǎo)的點(diǎn)；2.奇點(diǎn)：函數(shù)在其定義域內(nèi)不可導(dǎo)的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的奇點(diǎn)。分析：如函數(shù)當(dāng)時(shí)取得極小值且函數(shù)的駐點(diǎn)與奇點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的可疑極值點(diǎn)。二、極值的判別法則?。ǚ▌tⅠ）設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束是函數(shù)的可疑極值點(diǎn)，滿(mǎn)足：且在則內(nèi)可導(dǎo)，必是函數(shù)的極大值點(diǎn)；（?。ⅲǚ▌tⅡ）設(shè)是函數(shù)的駐點(diǎn)，在點(diǎn)處二階可導(dǎo)，若必是的極大值點(diǎn)。（?。┳C明：?。┯蓷l件與異號(hào)且且單調(diào)增，單調(diào)減，使得則定理

1：(充分條件)類(lèi)似地可證明極小值的情形。ⅱ）（法則Ⅱ）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由極限的保號(hào)性得，有異號(hào)，由ⅰ）的證明過(guò)程得知必是函數(shù)的極大值點(diǎn)；類(lèi)似地可證明極小值的情形。證畢使得即是函數(shù)的極大值點(diǎn)；與例

1.的極值。解:1)求導(dǎo)數(shù)：2)求極值可疑點(diǎn)：令求得駐點(diǎn)：而一階不可導(dǎo)的點(diǎn)（奇點(diǎn)）為：顯然：3)極值的判斷（作表如下）：是函數(shù)的極大點(diǎn)，其極大值為：是函數(shù)的極小點(diǎn)，其極小值為：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束從而得：求函數(shù)即例

2.的極值。解:2)求可疑極值點(diǎn)：令得駐點(diǎn)3)極值的判斷：故需用第一判別法判斷，機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求函數(shù)1）求導(dǎo)數(shù)：為其極小值；又因由于一階導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的左右鄰域內(nèi)不變號(hào)，在點(diǎn)處不取得極值。故函數(shù)顯然即定理

2

(判別法推廣)則:且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:設(shè)函數(shù)階的導(dǎo)數(shù)，處有直到在點(diǎn)1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，且當(dāng)必為函數(shù)的極值點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；時(shí)，將函數(shù)是函數(shù)的極大值點(diǎn)；2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，一定不是函數(shù)的極值點(diǎn)。展開(kāi)成n階帶Peano余項(xiàng)的Taylor公式：也就是說(shuō)：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束必有同號(hào)，即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，與使得由極限的保號(hào)性知，同號(hào)，與從而證得若必為其函數(shù)的極小值；（大）同號(hào)，與當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，若則同號(hào)，與即當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在不是函數(shù)的極值點(diǎn)；從而知類(lèi)似可證，當(dāng)同樣也不是函數(shù)的極值點(diǎn)。的鄰域內(nèi)單調(diào)增，時(shí)，例如，

函數(shù)極值的判別法（定理1、定理2）的條件都是充分的；說(shuō)明:當(dāng)函數(shù)不滿(mǎn)足定理中的條件時(shí)，其極值仍可能存在。例如:為函數(shù)的極大值,但不滿(mǎn)足定理1、定理2的條件.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在例2中，為奇數(shù)，由定理2知，不是函數(shù)的極值點(diǎn)。3.10.2最值問(wèn)題

則其最值只能在極值點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)取得。1.求函數(shù)最值的方法:（2）求函數(shù)的最值：最小值：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的可疑極值點(diǎn)：最大值：2.幾點(diǎn)注明:則函數(shù)的最值點(diǎn)只能是區(qū)間的端點(diǎn)a、b

；且該點(diǎn)又為函數(shù)根據(jù)實(shí)際意義的確有最值點(diǎn)存在，而理論求解過(guò)程中又只求得唯一的可疑極值點(diǎn)，機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（1）若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有唯一的一個(gè)可疑極值點(diǎn)時(shí)，則此點(diǎn)必是函數(shù)的最大值點(diǎn)。(小)的極大值點(diǎn)，(小)（2）若函數(shù)是閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，（3）在實(shí)際應(yīng)用中，則該可疑極值點(diǎn)必為所尋求的最值點(diǎn)，不必進(jìn)行最值的理論判斷。例

3.在閉區(qū)間上的最大值和最小值。解:且故函數(shù)在處取最小值0；機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求函數(shù)顯然函數(shù)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的可疑的極值點(diǎn)為：在處取最大值5。而各點(diǎn)處的函數(shù)值分別為：因此也可通過(guò)說(shuō)明：求最值點(diǎn)。與最值點(diǎn)相同,由于可令：(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求函數(shù)(k

為某一常數(shù))例4.AC⊥

AB,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修一條公路，鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨物從B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省，20解:則令得又極小值點(diǎn),故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省。總運(yùn)費(fèi)：從而為最小值點(diǎn),問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)如何選?。胯F路上AB段的距離為100Km，工廠C距A處20km,已知

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束所以為唯一的設(shè)例5.

問(wèn)矩形截面的高h(yuǎn)和寬b

應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?解:令得從而有即由實(shí)際意義可知，所求最值存在，而駐點(diǎn)只一個(gè)，故所求結(jié)果就是最好的選擇。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束把一根直徑為

d

的圓木鋸成矩形梁,由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為：下開(kāi)始移動(dòng)，例6.

解:

而正壓力即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)上的最大值問(wèn)題。

為多少時(shí)用力最??？設(shè)摩擦系數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)有質(zhì)量為5kg的物體置于水平面上,的水平與垂直分力分別為：受力的作用問(wèn)力與水平面的夾角∵力的大小為：在閉區(qū)間令解得：而取得最小值，解:即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)上的最大值問(wèn)題。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在閉區(qū)間時(shí)取得最大值，所以，當(dāng)因而即用力最省。解:睛1.8m,例7.

設(shè)觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點(diǎn)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，觀察者最佳站位存在，駐點(diǎn)又唯一，因此，觀察者站在距離墻2.4m

處看圖最清楚。問(wèn)觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最清楚（視角

最大）？機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于觀察者的眼如右圖所示，

內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)可疑極值點(diǎn):駐點(diǎn)、奇點(diǎn)；(2)第一充分條件（Th.1）：過(guò)由正變負(fù)為極大值；過(guò)由負(fù)變正為極小值；(3)第二充分條件（Th.1）：為極大值；為極小值；(4)判別法的推廣（Th.2）定理3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上尋找；應(yīng)用題可根據(jù)實(shí)際意義判別。2.連續(xù)函數(shù)的最值思考與練習(xí)1.設(shè)則在點(diǎn)a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.

設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某