f分布t分布與卡方分布

§1.4常用的分布及其分位數(shù)1.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正態(tài)分布所導出的分布，它們與正態(tài)分布一起，是試驗統(tǒng)計中常用的分布。當X1X2…Xn相互獨立且都服從N(0,1)時，Z=的分布稱為自由度等于n的分布，記作Z～(n)，它的分布密度p(z)=式中的=，稱為Gamma函數(shù)，且=1，=。分布是非對稱分布，具有可加性，即當Y與Z相互獨立，且Y～(n)，Z～(m)，則Y+Z～(n+m)。證明:先令X1X2…XnXn+1Xn+2…Xn+m相互獨立且都服從N(0,1)，再根據(jù)分布的定義以及上述隨機變量的相互獨立性，令Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X，Y+Z=X+X+…+X+X+X+…+X，即可得到Y+Z～(n+m)。2.t分布若X與Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～(n)，則Z=的分布稱為自由度等于n的t分布，記作Z～t(n)，它的分布密度P(z)=。請注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當n>30時，t分布與標準正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線幾乎重疊為一這時t分布的分布函數(shù)值查N(0,1)的分布函數(shù)值表便可以得到。3.F分布若X與Y相互獨立，且X～(n)，Y～(m)，則Z=的分布稱為第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，記作Z～F(n,m)，它的分布密度p(z)=請注意：F分布也是非對稱分布，它的分布密度與自由度的次序有關，當Z～F(n,m)時，～F(m,n)。4.t分布與F分布的關系若X～t(n)，則Y=X～F(1,n)。證：X～t(n)，X的分布密度p(x)=。Y=X的分布函數(shù)F(y)=P{Y<y}=P{X<y}。當y0時，F(xiàn)(y)=0，p(y)=0；當y>0時，F(xiàn)(y)=P{-<X<}==2，Y=X的分布密度p(y)=，與第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X～F(1,n)。為應用方便起見，以上三個分布的分布函數(shù)值都可以從各自的函數(shù)值表中查出。但是，解應用問題時，通常是查分位數(shù)表。有關分位數(shù)的概念如下：4.常用分布的分位數(shù)1）分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機變量的分布函數(shù)有關，根據(jù)應用的需要，有三種不同的稱呼，即α分位數(shù)、上側α分位數(shù)與雙側α分位數(shù)，它們的定義如下：當隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，實數(shù)α滿足0<α<1時，α分位數(shù)是使P{X<α}=F(α)=α的數(shù)α，上側α分位數(shù)是使P{X>λ}=1-F(λ)=α的數(shù)λ，雙側α分位數(shù)是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的數(shù)λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的數(shù)λ2。因為1-F(λ)=α，F(xiàn)(λ)=1-α，所以上側α分位數(shù)λ就是1-α分位數(shù)1-α；F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以雙側α分位數(shù)λ1就是0.5α分位數(shù)0.5α，雙側α分位數(shù)λ2就是1-0.5α分位數(shù)1-0.5α。2）標準正態(tài)分布的α分位數(shù)記作α，0.5α分位數(shù)記作0.5α1-0.5α分位數(shù)記作1-0.5α。當X～N(0,1)時，P{X<α}=F0,1(α)=α，P{X<0.5α}=F0,1(0.5α)=0.5α，P{X<1-0.5α}=F0,1(1-0.5α)=1-0.5α。根據(jù)標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，當α=0.5時α=0；當α<0.5時α<0。α=-1-α。如果在標準正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒有負的分位數(shù)，則先查出1-α，然后得到α=-1-α。論述如下：當X～N(0,1)時P{X<α}=F0,1(α)=αP{X<1-α}=F0,1(1-α)=1-αP{X>1-α}=1-F0,1(1-α)=α故根據(jù)標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，α=-1-α。例如，u0.10=-u0.90=-1.282，u0.05=-u0.95=-1.645，u0.01=-u0.99=-2.326，u0.025=-u0.975=-1.960，u0.005=-u0.995=-2.576。又因為P{|X|<1-0.5α}=1-α，所以標準正態(tài)分布的雙側α分位數(shù)分別是1-0.5α和-1-0.5α。標準正態(tài)分布常用的上側α分位數(shù)有：α=0.10，u0.90=1.282；α=0.05，u0.95=1.645；α=0.01，u0.99=2.326；α=0.025，u0.975=1.960；α=0.005，u0.995=2.576。3）卡平方分布的α分位數(shù)記作α(n)。α(n)>0當X～(n)時，P{X<α(n)}=α。例如，0.005(4)=0.21，0.025(4)=0.48，0.05(4)=0.71，0.95(4)=9.49，0.975(4)=11.1，0.995(4)=14.9。4）t分布的α分位數(shù)記作α(n)。當X～(n)時，P{X<α(n)}=α，且與標準正態(tài)分布相類似，根據(jù)t分布密度曲線的對稱性，也有α(n)=-1-α(n)，論述同α=-1-α。例如，t0.95(4)=2.132，t0.975(4)=2.776，t0.995(4)=4.604，t0.005(4)=-4.604，t0.025(4)=-2.776，t0.05(4)=-2.132。另外，當n>30時，在比較簡略的表中查不到α(n)，可用α作為α(n)的近似值。5）F分布的α分位數(shù)記作α(n,m)。α(n,m)>0當X～(n,m)時，P{X<α(n,m)}=α。另外，當α較小時，在表中查不出Fα(n,m)，須先查F1-α(m,n)，再求Fα(n,m)=。論述如下：當X～F(m,n)時P{X<F1-α(m,n)}=1-αP{>}=1-αP{<}=α又根據(jù)F分布的定義，～F(n,m)，P{<Fα(n,m)}=α因此Fα(n,m)=。例如，F(xiàn)0.95(3,4)=6.59，F(xiàn)0.975(3,4)=9.98，F(xiàn)0.99(3,4)=16.7，F(xiàn)0.95(4,3)=9.12，F(xiàn)0.975(4,3)=15.1，F(xiàn)0.99(4,3)=28.7，F(xiàn)0.01(3,4)=，F(xiàn)0.025(3,4)=，F(xiàn)0.05(3,4)=?！菊n內練習】1.求分位數(shù)①0.05(8)，②0.95(12)。2.求分位數(shù)①t0.05(8)，②t0.95(12)。3.求分位數(shù)①F0.05(7,5)，②F0.95(10,12)。4.由u0.975=1.960寫出有關的上側分位數(shù)與雙側分位數(shù)。5.由t0.95(4)=2.132寫出有關的上側分位數(shù)與雙側分位數(shù)。6.若X～(4)，P{X<0.711}=0.05，P{X<9.49}=0.95，試寫出有關的分位數(shù)。7.若X～F(5,3)，P{X<9.01}=0.95，Y～F(3,5)，{Y<5.41}=0.95，試寫出有關的分位數(shù)。8.設X、X、…、X相互獨立且都服從N(0,0.09)分布,試求P{>1.44}。習題答案：1.①2.73，②21.0。2.①-1.860，②1.782。3.①，②3.37。4.1.960為上側0.025分位數(shù)，-1.960與1.960為雙側0.05分位