第三章比和比例（知識歸納題型突破）

第三章比和比例（知識歸納+題型突破）1.理解比和百分比的有關(guān)概念，了解比和百分比的意義.2.理解比例的概念和基本性質(zhì)，會解簡單的比例問題.3.了解百分比在生活中的簡單應用，會解決有關(guān)比和百分比的簡單問題，并從中體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.4.在具體的問題情境中，滲透思想品德教育.5.了解等可能事件，學習用數(shù)量來描述一個事件發(fā)生的可能性的大小，初步體會概率思想.1.比的意義(1)比和比值a、b是兩個數(shù)或兩個同類的量，為了把b和a相比較，將a與b相除，叫做a與b的比．記作a:b，或?qū)懗桑渲?；讀作a比b，或a與b的比．a(chǎn)叫做比的前項，b叫做比的后項．前項a除以后項b所得的商叫做比值．(2)比、分數(shù)和除法的關(guān)系比：前項：后項=比值；分數(shù)：=分數(shù)值；除法：被除數(shù)÷除數(shù)=商．(3)比、分數(shù)和除法的區(qū)別 比是表示兩個數(shù)關(guān)系的式子，分數(shù)是一個數(shù)，除法是一種運算．2.比的基本性質(zhì)(1)比的基本性質(zhì)比的前項和后項同時乘以或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變．(2)最簡整數(shù)比比的前項和后項都是整數(shù)且互素，這樣的比叫做最簡整數(shù)比．?題目中比的結(jié)果都必須化成最簡整數(shù)比．(3)三連比的性質(zhì)如果，，那么；如果，那么．3.比例a、b、c、d四個量中，如果a:b=c:d，那么就說a、b、c、d成比例，也就是表示兩個比相等的式子叫做比例．比例a:b=c:d也可以表示為．其中a、b、c、d分別叫做第一、二、三、四比例項．(1)比例外項和比例內(nèi)項如果a:b=c:d，那么第一比例項a和第四比例項d叫做比例外項，第二比例項b和第三比例項c叫做比例內(nèi)項．(2)比例中項對于一個比例而言，如果兩個比例內(nèi)項相同，即a:b=b:c，那么把b叫做a和c的比例中項．(3)比例的基本性質(zhì)如果或，那么反之，如果a、b、c、d都不為零，且，那么或．兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積．題型一比的意義【例1】(1)如果，那么可以組成的比例是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，把化為比例的形式即可．【詳解】將化為比例的形式為：①，故A選項正確，C選項錯誤；②，故B選項錯誤，D選項錯誤．故選：A【點睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，正確理解比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(2)如果，那么∶．【答案】56【分析】根據(jù)比的性質(zhì)求解．【詳解】解：如果，那么，故答案為：5，6．【點睛】本題考查比的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握比的內(nèi)項積等于外項積．反思總結(jié)比的前項相當于分數(shù)的分子和除式中的被除數(shù)；比的后項相當于分數(shù)的分母和除式中的除數(shù)；比值相當于分數(shù)的分數(shù)值和除式的商．鞏固訓練：1.如果，那么（

）．A． B． C．【答案】B【分析】利用兩內(nèi)項之積等于兩外項之積解答即可．【詳解】解：因為，所以，故選B．【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟知兩內(nèi)項積等于兩外項積．2.在鹽水中含鹽，鹽和水的比是（）A． B． C．【答案】A【分析】先用“”求出鹽水中水的重量，進而根據(jù)題意，用鹽的重量與水的重量相比即可．【詳解】解：，故選：A．【點睛】此題考查了比的意義，應明確：鹽+水=鹽水．3．“宮、商、角（jué）、徵（zhǐ）、羽”是我國古代音樂的基本音階．其中，“徵”的發(fā)音管比“商”的發(fā)音管長，則“徵”和“商”的發(fā)音管長度比是（

）A．3：2 B．2：3 C．3：1 D．2：1【答案】A【分析】設“商”的發(fā)音管長為a，則“徵”的發(fā)音管長為，然后求出比值即可．【詳解】解：設“商”的發(fā)音管長為a，則“徵”的發(fā)音管長為，所以“徵”和“商”的發(fā)音管長度比是，故選：A．【點睛】本題考查了比例的應用，設出“商”的發(fā)音管長，能表示出“徵”的發(fā)音管長是解題的關(guān)鍵．題型二比的基本性質(zhì)【例2】（1）比例（

）A． B．2 C．10 D．1【答案】D【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設括號中的數(shù)為x，則解得：，故選：D．【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，掌握比例的內(nèi)項之積等于外項之積是解題的關(guān)鍵．（2）如果的前項變成28，要使比值不變，比的后項應該為．【答案】21【分析】要使比值不變，那么變化前后的兩個比可以組成比例，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設變化后的比的后項為x，由題意得，，所以，所以，故答案為：21．【點睛】本題主要考查了解比例，正確理解題意根據(jù)比例的性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)鍵．（3）解比例(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先根據(jù)比例的基本性質(zhì)，化成普通方程，依據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時除以4求解；（2）首先根據(jù)比例的基本性質(zhì)，化成普通方程，求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】此題考查了運用等式的性質(zhì)解方程，即等式兩邊同加上或同減去、同乘上或同除以一個數(shù)（0除外），兩邊仍相等．反思總結(jié)1.運用比的基本性質(zhì)可以進行化簡，約分的最終結(jié)果是最簡整數(shù)比；2.通過等積式和比例式的轉(zhuǎn)化，可以求比的前項后項.鞏固訓練1.把化成最簡單的整數(shù)比是比值是【答案】【分析】根據(jù)比的基本性質(zhì)作答，即比的前項和后項同時乘一個數(shù)或除以一個數(shù)（0除外）比值不變；用最簡比的前項除以后項即可．【詳解】故答案為：；．【點睛】此題主要考查了化簡比和求比值的方法，另外還要注意化簡比的結(jié)果是一個比，它的前項和后項都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)；而求比值的結(jié)果是一個商，可以是整數(shù)、小數(shù)或分數(shù)．2.已知，將它改寫為比例式為()()【答案】49【分析】等式兩邊同時除以即可求解．【詳解】解：等式兩邊同時除以得：即：故答案為：【點睛】本題考查比例的應用．根據(jù)題意將等式變形即可．3.解比例：(1)

；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可；（4）根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：解得；（2）；（3）解得；（4）．【點睛】此題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例的性質(zhì)．題型三比例的應用【例3】(1)將6本相同厚度的書疊起來，它們的高度為14厘米，如果將21本這樣相同厚度的書繼續(xù)疊在上面，那么新的高度是多少？（用比例的方法求解）【答案】49厘米【分析】設新的高度是厘米，根據(jù)每本書的高度相等列出比例式子，由此即可得．【詳解】解：設新的高度是厘米，由題意得：，解得，答：新的高度是49厘米．【點睛】本題考查了比例的應用，找準等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．(2)原來甲、乙兩廠的人數(shù)比是，從甲廠調(diào)人到乙廠后，甲乙兩廠人數(shù)相等．問原來甲、乙兩廠各有多少人？【答案】甲廠原來有200人，乙廠原來有160人【分析】根據(jù)從甲廠調(diào)人到乙廠后，甲乙兩廠人數(shù)相等，則甲廠人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，用20人除以得出總?cè)藬?shù)，進而按比例分配問題即可求解．【詳解】解：甲廠原來有：（人）乙廠原來有：（人）答：甲廠原來有200人，乙廠原來有160人【點睛】本題考查了比的應用，兩廠人數(shù)不變，根據(jù)20人調(diào)動前、后甲廠人數(shù)所占的分率之差，求出總?cè)藬?shù)．(3)甲、乙、丙三隊合修一條4800米的公路，甲、乙、丙三隊修路長度的比是，三個隊各修了多少米？【答案】甲：1200米；乙：2000米；丙：1600米【分析】先求出甲、乙、丙三隊修路長度的總份數(shù)，用總數(shù)除以總份數(shù)，求出一份數(shù)，進而求出三個隊各修的米數(shù)．【詳解】解：一份是：（米），甲隊修：（米），乙隊修：（米），丙隊修：（米）；答：甲隊修路1200米；乙隊修路2000米；丙隊修路1600米．【點睛】此題主要考查按比例分配應用題的特點：已知兩個數(shù)的比（三個數(shù)的比），兩個數(shù)的和（三個數(shù)的和），求這兩個數(shù)（三個數(shù)），用按比例分配解答．反思總結(jié)1.由于百分數(shù)是分母為100的特殊分數(shù)，既能直觀地反映部分與總體的關(guān)系，又便于比較，因此在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和生活中運用比較廣泛。2.售價＝成本＋盈利；3.折扣：幾折就表示現(xiàn)價是原價的十分之幾鞏固訓練1.應用題，用比例解答．(1)小明從甲地到乙地，計劃每小時行，到達，實際速度為，幾小時就能到達？(2)某一時刻，測得煙囪的影長為米，同樣測得一長4米的竹竿影長為米，求煙囪的高度？【答案】(1)3小時(2)36米【分析】（1）設小時能到達，根據(jù)題意列出比例式，進行求解即可得到答案；（2）設煙囪的高度為米，根據(jù)題意列出比例式，進行計算即可得到答案．【詳解】（1）解：設小時能到達，根據(jù)題意可得：，解得：，答：3小時能到達；（2）解：設煙囪的高度為米根據(jù)題意可得：，解得：，答：煙囪的高度為36米．【點睛】本題主要考查了比例的應用，讀懂題意，正確列出比例式，是解題的關(guān)鍵．2.香格里拉牦牛肉，屬于全國農(nóng)產(chǎn)品地理標志品牌．媽媽在某網(wǎng)購平臺上查到不同網(wǎng)店的優(yōu)惠信息，計劃購買某種口味的“香格里拉牦牛肉”16包．請你幫媽媽設計出最劃算的購買方案（可嘗試在不同的網(wǎng)店跨店購買）．網(wǎng)店定價促銷方式運費A39元包每滿100元減15元快遞包郵B39元包一律八八折快遞包郵C39元包每買10包送2包快遞包郵【答案】A店【分析】A店：先求出應花的錢數(shù)為（元，再求出624元里面有幾個100元，然后求出減少的現(xiàn)金，用應該支付的錢數(shù)減減少的錢數(shù)即為實際支出的錢數(shù)；B店：用應該支付的錢數(shù)乘即可；C店：每買10包送2包，買16包，實際只買包，據(jù)此求出實際花的錢數(shù)；然后進行比較，進而得出結(jié)論．【詳解】解：A店：（元，624元有6個100元，（元B店：（元C店：（元∵，答：在A店買最劃算．【點睛】解答此題的關(guān)鍵是結(jié)合題意，分別求出三種支付方式的錢數(shù)，然后進行比較，得出結(jié)論．3.為構(gòu)建節(jié)約型社會，加強公民節(jié)水意識，某城市制定了以下用水收費標準：每戶每月用水量不超過15噸時，每噸水費為2元；如果超過15噸，超出部分每噸水費在每噸2元的基礎上要加價收?。?1)已知李大伯家上個月用水15噸，需交水費多少元？(2)已知王大爺家上個月繳納水費39元，問：王大爺家上個月用水多少噸？【答案】(1)30元(2)18噸【分析】（1）根據(jù)題意“每戶每月用水量不超過15噸時，每噸水費為2元”，求解即可；（2）首先求得超出部分的用水噸數(shù)，即可獲得答案．【詳解】（1）解：（元），答：需交水費30元；（2）（噸），（噸），答：王大爺家上個月用水18噸．【點睛】本題主要考查了百分數(shù)的應用，準確理解題意是解題關(guān)鍵．題型四百分比的應用【例4】小杰將1500元存入銀行，月利率是0.11%,存了兩年,問(1)小杰到期后可得利息是多少元?(2)到期支付20%的利息稅,小杰到期后可得稅后利息是多少元?(3)在（2）的條件下，小杰兩年后一共能從銀行取回多少元?【答案】解：1500×0.11%×12×（元）答：小杰到期后可得利息是元解：39.6×（120%）元答：小杰到期后可得稅后利息元。解：（元）答：小杰兩年后一共能從銀行取回元。反思總結(jié)1.根據(jù)國家規(guī)定：到銀行進行存款，存戶在獲得利息的同時還需向國家繳納20%的利息稅。（納稅是每個公民應盡的義務）計稅金額：需要計算稅金的物品的總金額，免稅的物品的金額是不屬于計稅金額。稅率：指應征稅額與計稅金額（或者數(shù)量單位）之間的比例，如銀行的利息稅率是20%。滯納金：由于沒有按規(guī)定日期納稅，在交納稅款時要加付應納稅額的千分之幾罰金。應納稅額：納稅人所要交納的稅款。2.，，鞏固訓練閱讀材料后，請解答下面的問題，并把答案寫在答題紙上：(1)材料1：2018年9月7日，財政部、國家稅務總局發(fā)布《關(guān)于2018年第四季度個人所得稅減除費用和稅率適用問題的通知》明確納稅人在2018年10月1日后實際取得的工資薪金所得，個稅起征點由每月3500元提高至每月5000元．級數(shù)原來（每月）工資薪金現(xiàn)行（每月）工資薪金稅率03500元5000元免稅1不超過1500元的部分不超過3000元的部分3%2超過1500元到4500元的部分超過3000元到12000元的部分10%3超過4500元到9000元的部分超過12000元到25000元的部分20%4超過9000元到35000元的部分超過25000元到35000元的部分25%…………根據(jù)材料1，完成下列表格填空：公民工資薪金（元）原應納個稅（元）現(xiàn)應納個稅（元）小王8500445小張13000590(2)材料2：2019年1月1日起正式實施《中華人民共和國個人所得稅法》．根據(jù)新修訂的個稅法，今后計算個稅應納稅所得額（計稅金額），在5000元免稅的基礎上，還可享受多個專項附加扣除免稅，簡略描述如下表．子女教育贍養(yǎng)兩位老人住房貸款繼續(xù)教育租房租金大病醫(yī)療每個子女每月扣除1000元毎月扣除2000元每月扣除1000元每月扣除400元或300元每月扣除1200、1000或800元每年扣除60000元限額（據(jù)實）根據(jù)材料2，小宋與丈夫都是獨生子女，需要贍養(yǎng)四位老人和養(yǎng)育兩個小孩，小孩在讀小學和中學．小宋每月工資薪金為10000元（申報贍養(yǎng)兩位老人），丈夫每月工資薪金為15000元（申報贍養(yǎng)兩位老人）．那么請問“養(yǎng)育兩個孩子的教育費用”扣除額可以計算在小宋一方，也可以計算在丈夫一方，兩種不同方案的家庭個稅差額是___________元．【答案】(1)見解析(2)360【分析】（1）根據(jù)稅費計算方法求解即可；（2）分別計算了兩人個稅額，再相減即可．【詳解】（1）小王現(xiàn)應納個稅為：（元）小張原應納稅為：（元）故填表為：公民工資薪金（元）原應納個稅（元）現(xiàn)應納個稅（元）小王8500445140小張130001370590（2）小宋納稅為：（元）（元