專題2.16 換元法解一元二次方程（基礎篇）（專項練習）-2022-2023學年八年級數學下冊基礎知識專項講練（浙教版）

專題2.16換元法解一元二次方程（基礎篇）（專項練習）一、單選題1．已知實數滿足，那么的值為（

）．A．-5或1 B．-5 C．5或-1 D．12．已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，則另一個方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（

）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣63．用換元法解分式方程時，如果設，則原方程可化為關于的整式方程是（

）．A． B．C． D．4．若實數滿足方程，那么的值為（

）A．或4 B．4 C． D．4或5．關于的方程的解是，，（，，均為常數，），則方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，6．關于x的一元二次方程有一個根為x＝5，則關于x的一元二次方程必有一個根為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．若關于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A．2021 B．2020 C．2019 D．20188．我們知道，一元二次方程可以用配方法、因式分解法或求根公式進行求解．對于一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a，b，c，d為常數，且a≠0）也可以通過因式分解、換元等方法，使三次方程“降次”為二次方程或一次程，進而求解．這兒的“降次”所體現(xiàn)的數學思想是（）A．轉化思想 B．分類討論思想C．數形結合思想 D．公理化思想9．已知實數x滿足x2++x+=0，如果設x+=y,則原方程可變形為（

）A．y2+y-2=0 B．y2+y+2=0 C．y2+y=0 D．y2+2y=010．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0時，我們可以將x﹣1看成一個整體，設x﹣1=y，則原方程可化為y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．當y=1時，即x﹣1=1，解得x=2；當y=4時，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解為：x1=2，x2=5．則利用這種方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解為（）A．x1=1，x2=3B．x1=﹣2，x2=3C．x1=﹣3，x2=﹣1D．x1=﹣1，x2=﹣2二、填空題11．若（x2＋y2﹣1）2＝25，則x2＋y2＝________．12．解分式方程時，設，則原方程化為關于的整式方程是__________.13．若，則_____．14．關于x的方程的解是（a，m，b均為常數，），則方程的解是__________．15．若關于x的一元二次方程的其中一根為，則關于x的方程一定有一個根為______．16．在實數范圍內，已知，則的值是______．17．若x，y為實數，，則_______．18．若，則___．三、解答題19．（換元法）20．．21．已知實數滿足，，求的值．22．解方程：．23．我們在求解一元二次方程時將其降次轉化為一次方程進行求解．降次的方法教科書中介紹了兩種：一種是開平方，另一種是因式分解．其實，降次的方法不止這兩種，例如：解方程時，通過設將方程化為，從而將一元四次方程轉化為一元二次方程，通過解這個一元二次方程，求得原方程的解，這種方法稱為換元法．利用上述方法解下列方程：(1)；(2)．24．閱讀下列材料解方程：．這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：設，那么，于是原方程可變?yōu)椤?，解這個方程得：．當時，．∴；當時，，∴所以原方程有四個根：．在這個過程中，我們利用換元法達到降次的目的，體現(xiàn)了轉化的數學思想．（1）解方程時，若設，求出x．（2）利用換元法解方程．參考答案1．D【分析】把看做一個整體，設，從而把原方程轉化成一個關于y的一元二次方程，解方程即可．解：設，∵，∴，∴，解得或，∵∵，∴，故選D．【點撥】本題主要考查了換元法解方程和因式分解法解一元二次方程，正確利用換元的思想解方程是解題的關鍵．2．D【分析】根據已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出兩個方程的解即可．解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故選：D．【點撥】本題考查了解一元二次方程，換元法解一元二次方程，能根據方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此題的關鍵．3．C【分析】根據換元法，可得答案．解：設x2﹣x＝y(tǒng)，原方程等價于y﹣1＋＝0，兩邊都乘以y，得y2﹣y＋2＝0，故選：C．【點撥】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是利用換元法．4．B【分析】設，則原方程變?yōu)?，利用因式分解法求出方程的兩個根，再根據即可得到答案．解：設，∵，∴，∴，∴，解得或，∵，∴，∴，故選B．【點撥】本題主要考查了用換元法解一元二次方程，熟知換元法是解題的關鍵．5．B【分析】可把方程看作關于的一元二次方程，從而得到，，然后解兩個一次方程即可．解：把方程看作關于的一元二次方程，而于的方程的解是、，，均為常數，，所以，，所以，．故選：B．【點撥】本題考查了解一元二次方程直接開平方法：形如或的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．6．D【分析】先將方程化為，再根據方程有一個根為x＝5，根據x-1=5求解即可．解：將關于x的一元二次方程變形，得(m≠0)，令u=x-1，得，關于x的一元二次方程有一個根為x＝5，關于u的一元二次方程(m≠0)有一個根為u=5，將u=5代入u=x-1，得，解得，x=6，故選：D．【點撥】本題考查了解一元二次方程，掌握換元法是解本題的關鍵．7．A【分析】對于一元二次方程，設t=x-1得到at2+bt+3=0，利用at2+bt+3=0有一個根為t=2020得到x-1=2020，從而可判斷一元二次方程必有一根為x=2021．解：對于一元二次方程，設t=x-1，所以at2+bt+3=0，而關于x的一元二次方程ax2+bx+3=0（a≠0）有一根為x=2020，所以at2+bt+3=0有一個根為t=2020，則x-1=2020，解得x=2021，所以一元二次方程必有一根為x=2021．故選：A．【點撥】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．8．A【分析】解高次方程的一般思路是逐步降次，所體現(xiàn)的數學思想就是轉化思想．解：由題意可知，解一元三次方程的過程是將三次轉化為二次，二次轉化為一次，從而解題，在解題技巧上是降次，在解題思想上是轉化思想．故選：A．【點撥】本題考查高次方程；通過題意，能夠從中提取出解高次方程的一般方法，同時結合解題過程分析出所運用的解題思想是解題的關鍵．9．A解：∵x2+=（x+）2-2，∴原方程可變形為y2-2+y=0，整理得：y2+y-2=0．故選A．10．D解：此題主要考查了利用換元法解一元二次方程，解題的關鍵是利用換元法簡化方程，然后利用一元二次方程的解法解決問題．首先根據題意可以設y=2x+5，方程可以變?yōu)閥2﹣4y+3=0，然后解關于y的一元二次方程，接著就可以求出x．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，設y=2x+5，方程可以變?yōu)閥2﹣4y+3=0，∴y1=1，y2=3，當y=1時，即2x+5=1，解得x=﹣2；當y=3時，即2x+5=3，解得x=﹣1，所以原方程的解為：x1=﹣2，x2=﹣1．故選D．11．【分析】設，將方程變形，開方求出a的值，即可確定出所求．解：設，則，方程變形得：，開方得：或，解得：或（舍去），∴；故答案為：6．【點撥】此題考查了換元法解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法解方程是解本題的關鍵．12．【分析】根據換元法，可得答案．解：設，則原方程化為，兩邊都乘以y，得：，故答案為.【點撥】本題考查了解分式方程，利用換元法是解題關鍵．13．1【分析】設，則方程化為，求出a的值，即可得出的值，代入求出即可．解：，，設，則化為，解得：，即，所以．故答案為：1．【點撥】本題考查了換元法解一元二次方程，解題的關鍵是要將原式變形，設，得到一元二次方程．14．【分析】把后面一個方程中的看作整體，相當于前面一個方程中的x求解．解：∵關于x的方程的解是（a，m，b均為常數，），∴方程變形為，即此方程中或，解得或．故方程的解為．故答案為．【點撥】此題考查利用換元法解一元二次方程，注意要根據方程的特點靈活選用合適的方法．解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．15．【分析】把方程化為令則結合方程的解的含義可得答案．解：∵，∴令則∵關于x的一元二次方程的其中一根為，∴的一根為，∴解得：故答案為：【點撥】本題考查的是一元二次方程的解，掌握“整體未知數的方法或換元法理解一元二次方程的解”是解本題的關鍵．16．-3【分析】直接利用換元法解方程，再利用一元二次方程的解法分析得出答案．解：設，則，，故，解得：，，當時，則，此時△，此方程無解，故，故的值是．故答案為：．【點撥】此題主要考查了換元法解方程，正確解一元二次方程是解題關鍵．17．36【分析】首先設=t(t≥0)，把原式變形為t2-5t-6=0，得出t=6，再根據算術平方根的性質求解即可．解：設=t(t≥0)，則t(t-5)=6，即t2-5t-6=0，則(t-6)(t+1)=0，解得：t1=6，t2=-1（不符合t的取值，舍去），∴t=6，∴=6，∴x+y=36，故答案為：36．【點撥】本題考查了利用換元法和因式分解法解一元二次方程，掌握利用換元法和因式分解法解一元二次方程和算術平方根的非負性是解題關鍵．18．3【分析】利用整體代換法令，再解方程即可解答.解：令可得：，整理得，解得，，即，故答案為：3．【點撥】此題考查解一元二次方程，解題關鍵在于掌握運算法則.19．，【分析】設2x+1=a，原方程可化為，解一元二次方程即可．解：設2x+1=a，原方程可化為，解得a=1或5，當a=1時，即2x+1=1，解得x=0；當a=5時，即2x+1=5，解得x=2；∴原方程的解為，．【點撥】本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應用．這種方法在解題過程中，把某個式子看作一個整體，用一個字母去代表它，實行等量替換．20．．【分析】設，則原方程變形為，可得，再分別代入計算，即可求解．解：設，則原方程變形為，解得：，經檢驗：均是方程的解，當時，，解得：；當時，，此方程無解；所以原方程的解為．【點撥】本題主要考查了解分式方程，解一元二次方程，利用換元法解答是解題的關鍵．21．【分析】根據題意可得，然后因為，所以和可以看成是方程的兩個根，從而得出結論．解：∵∴又∵∴和可以看成是方程的兩個根．∴或當時，∴當時，x，y無解．【點撥】本題主要考查一元二次方程的知識，正確掌握方法是解題的關鍵．22．x=或x=1【分析】由已知條件可知，可以用換元法把看做一個整體，即設，則原方程變形為y2-2y-3=0,解這個一元二次方程求y，再求x．解：設，則原方程變形為y2-2y-3=0．解這個方程，得y1=-1，y2=3，∴或，解得x=或x=1，經檢驗：x=或x=1都是原方程的解，∴原方程的解是x=或x=1．【點撥】本題考查了換元法解分式方程，用換元法解一些復雜的分式方程是化繁為簡的一種方法，解題的關鍵是根據方程特點設出相應未知數，注意求出方程解后要驗根．23．(1)， (2)，，，【分析】（1）根據換元思想，設，則或，由此即可求解；（2）設，則或，由此即可求解．（1）解：（1）設，則原方程化為，∴或，當時，，∴，，當時，，此時方程無解，∴原方程的解是，．（2）解：設，則原方程化為，∴或，當時，，∴，，當時，，∴，．∴原方程的解是，，，．【點撥】本題主要考查換元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解題的關鍵．24．（1），；（2），【分析】（1）直接代入得關于y的方程，然后進行計算，即可得到結果；（2）設把分式方程變形后求解，