專題08 與角有關(guān)的計算（解析版）

08與角有關(guān)的計算1．請把下列解題過程補充完整：如圖，點O為直線AB上一點，將一直角三角板OMN的直角頂點放在點O處，射線OC平分．若，求的度數(shù)；解：∵，（已知）∴______=_______°．∵平分（已知）∴______=_______°（角平分線定義）∵（已知）∴______=______°．【答案】，，，，，【詳解】解：∵，（已知）∴．∵平分（已知）∴（角平分線定義）∵（已知）∴．故答案為：，，，，，．2．已知，如圖，從點引出，，，四條射線，，分別是，的角平分線．(1)如圖1，若，，，求的度數(shù)．①依題意補全圖1；②完成下面解答過程．解：如圖1，平分，平分，，．，，，，，，．．(2)如圖2，若，，，則的度數(shù)是．(3)如圖2，若，，則的度數(shù)是．（用含，的式子表示）【答案】(1)①見解析；②角平分線的定義；；；(2)；(3)【詳解】（1）①補全圖形如圖1，②如圖1，平分，平分，，．（角平分線的定義），，，，，，．．故答案為：角平分線的定義；；；（2）平分，平分，，．（角平分線的定義），，，，，，．．故答案為：；（3）平分，平分，，．（角平分線的定義），，，，，．．3．如圖，是的平分線，是的平分線．如果，，那么是多少度？【答案】【詳解】解：是的平分線，是的平分線，，，，，．4．如圖，已知∠AOD＝80°，∠AOB＝30°，OB是∠AOC的平分線，求∠AOC和∠COD的度數(shù)．【答案】∠AOC＝60°，∠COD＝20°【詳解】解：∵OB是∠AOC的平分線，∠AOB＝30°，∴∠AOC＝2∠AOB＝60°，∵∠AOD＝80°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°．5．如圖，∠AOD＝70°，∠COD＝20°，OB是∠AOC的平分線，求∠AOB的度數(shù)．【答案】25°【詳解】∵∴∵OB是∠AOC的平分線∴6．如圖所示，已知，從點出發(fā)的一條射線滿足，是的平分線，是的平分線，請補全圖形（畫出符合題意的草圖即可），并求出的大?。敬鸢浮繄D見解析，或【詳解】解：如圖1所示．，是的平分線，．，是的平分線，．；如圖2所示．，是的平分線，．，是的平分線，．．等于或．7．如圖，是的平分線，是的平分線．(1)如果，，則的度數(shù)為；(2)如果，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：，，，是的平分線，，，是平分線，，故答案為：；（2）平分，平分，，，，，．8．己知，(1)如圖1，平分，平分，若，則是__________°；(2)如圖2，、分別平分和，若，求的度數(shù)．(3)若、分別平分和，，則的度數(shù)是__________（直接填空）．【答案】(1)11；(2)；(3)【詳解】（1）∵平分，平分，∴，∴∵，∴，∵平分，∴；（2）∵平分，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）①若或至少有一個在內(nèi)部時，如下圖，則；②若和都在外部時，如下圖，則，綜上的度數(shù)為或．故答案為：或．9．如圖，已知點A、O、B在一條直線上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)．【答案】135°【詳解】解：∵點A、O、B在一條直線上，∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC，∠DOF＝∠BOF＝∠DOB，∴∠COE＋∠DOF＝×90°＝45°，∴∠EOF的度數(shù)為：90°＋45°＝135°．10．如圖，已知，平分，且，求的度數(shù)．【答案】108°【詳解】解：設(shè)，則，∵平分，∴，又∵，∴，解得，，∴．11．如圖，BD是∠ABC的平分線，∠ABE+∠BCF＝180°(1)若∠ABC＝80°，求∠BCF的度數(shù)：(2)若CB是∠ACF的平分線，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．【答案】(1)40°；(2)k=2【詳解】（1）解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠BCF，∵BD是∠ABC的平分線，∠ABC＝80°，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠BCF＝40°．（2）解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠BCF，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF，∵CB是∠ACF的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF＝∠BCD，∵∠ADB＝∠CBD+∠BCD，∴∠ADB＝2∠ABD，∴k=2．12．如圖，直線，相交于點，平分，平分，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)30°.(2)45°．【詳解】（1）∵∠AOD=2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°.∴∠BOD＝×180°＝60°.∵OE平分∠BOD.∴∠DOE＝∠BOE=∠BOD＝×60°＝30°.（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°.∵OF平分∠COE.∴∠EOF＝∠COE＝×150°＝75°.由（1）得，∠BOE＝30°，∴∠BOF＝∠EOF-∠BOE＝75°-30°＝45°．13．如圖，О為直線AB上一點，∠AOC＝70°，OD是∠AOC的平分線．∠DOE＝90°．(1)圖中小于平角的角的個數(shù)是個；(2)求∠BOD的度數(shù)；(3)猜想OE是否平分∠BOC，并說明理由．【答案】(1)9；(2)145°；(3)OE平分，理由見解析．【詳解】（1）解：小于平角的角有∠AOD，∠DOC，∠COE，∠EOB，∠AOC，∠AOE，∠DOE，∠DOB，∠COB共9個，故答案為：9；（2）∵，OD是的平分線，∴，∴；答：的度數(shù)為145°；（3）OE平分，理由如下：∵，∴，∴∴OE平分．14．如圖，點O是直線上的一點，是直角，平分．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，求的度數(shù)．【答案】(1)20°；(2)144°【詳解】（1）解：，．平分，．，．（2）解：，．平分，．，．．．．15．已知OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分線．（注：本題中所說的角都是指小于平角的角）(1)如圖1，當(dāng)∠COE＝40°時，求∠AOB的度數(shù)；(2)當(dāng)∠AOE＝90°時，請在圖2中畫出射線OE，OB，并直接寫出∠AOB的度數(shù)．【答案】(1)110°；(2)150°【詳解】（1）解：∵OE是∠COB的平分線（已知），∴∠COB＝2∠COE（角平分線定義）．∵∠COE＝40°，∴∠COB＝80°，∵∠AOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝110°．（2）解：射線OE，OB為所求作的射線，如圖所示：∵∠AOC＝30°，∠AOE＝90°，∴∠COE＝90°-30°=60°，∵OE是∠COB的平分線，∴∠COB＝2∠COE＝120°，∵∠AOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝150°．16．已知直線AB和CD相交于點O，，OF平分，，求的度數(shù)．【答案】22°【詳解】解：∵，，∴，又∵平分，∴，，∵，∴，∵，，∴，．17．如圖，∠AOC＝∠BOC＝50°，OD平分∠AOB，求∠AOB和∠COD的度數(shù)．【答案】∠AOB＝150°，∠COD＝25°【詳解】解：∵∠AOC＝∠BOC＝50°，∴∠BOC＝100°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝150°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠AOB＝75°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝75°﹣50°＝25°．18．如圖，已知，平分，平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若是內(nèi)任意一條射線，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：因為平分，平分，所以，．因為，所以．所以．所以．（2）解：因為平分，平分，所以，．因為，所以．因為，所以．19．已知、分別平分、，若，，求的度數(shù)．【答案】【詳解】∵、分別平分、，且，∴，∴∴20．如圖，是內(nèi)的一條射線，、分別平分、．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，試猜想與、的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)；(2)，理由見解析【詳解】（1）解：，，，、分別平分、，，，，；（2），，，、分別平分、，，，．21．如圖所示，將兩塊三角板的直角頂點重合．(1)寫出以為頂點的相等的角；(2)若，求度數(shù)；(3)寫出與之間所具有的數(shù)量關(guān)系；(4)當(dāng)三角板繞點旋轉(zhuǎn)時，你所寫出的（3）中的關(guān)系是否變化？請說明理由．【答案】(1)，；(2)；(3)與互補；(4)不變，見解析【詳解】（1）解：根據(jù)同角的余角相等可得：∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB．（2）解：∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，∴∠ACE＝150°?90°＝60°，∴∠DCE＝90°?∠ACE＝90°?60°＝30°．（3）解：∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，∴∠ACB與∠DCE互補．（4）解：不變化．∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，∴無論如何旋轉(zhuǎn)，∠ACB與∠DCE互補．22．如圖，OB，OD分別平分∠AOC，∠COE．∠AOE＝160°，∠AOB＝36°．求∠AOD的度數(shù)．【答案】116°【詳解】解：∵OB是∠AOC的平分線，∴∠AOB=∠COB=∠AOC，∵OD是∠COE的平分線，∴∠DOE=∠DOC=∠COE，∴∠DOB=∠COB+∠DOC=（∠AOC+∠EOC）=×160°=80°，∵∠AOB=36°，∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=80°+36°=116°．23．如圖，OE為∠AOD的平分線，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：(1)∠EOC的大??；(2)∠AOC的大?。敬鸢浮?1)60°；(2)105°．【詳解】（1）解：∵∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，∴∠EOC=4∠COD=4×15°=60°；（2）解：∵∠EOC=60°，∠COD＝15°，∴∠EOD=∠EOC-∠COD=60°-15°=45°．∵OE為∠AOD的平分線，∴∠AOD=2∠EOD=2×45°=90°，∴∠AOC=∠AOD+∠COD=90°+15°=105°．24．如圖，，，平分，平分，(1)求的度數(shù)=___________．(2)如果將題目條件中“”改為“”，其他條件不變，求的度數(shù)=___________．(3)如果將題目條件中“”改為“（為銳角）”，其他條件不變，求的度數(shù)=___________．(4)從（1）（2）（3）所求的結(jié)果中你能看出與的關(guān)系___________．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【詳解】（1）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案為：．（2）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案為：．（3）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案為：．（4）解：設(shè)，（為銳角），∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案為：．25．如圖，直線相交于點O。已知，在內(nèi)部引一條射線，且，請解答下列問題：(1)度數(shù)是___________；度數(shù)是___________；(2)將射線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到①如圖2，當(dāng)平分時，說明平分；②當(dāng)時，請求出α的度數(shù)【答案】(1)；；(2)①見解析；②當(dāng)時，α的度數(shù)為或者【詳解】（1）解：∵，，∴；∵，∴；故答案為：；；（2）解：①當(dāng)平分時，∵，又∵∴，∴平分．∴當(dāng)平分時是平分．②當(dāng)時，且OF在下方時，∵，∴，當(dāng)時，且在上方時，相當(dāng)于比在下方時多旋轉(zhuǎn)了，∴．綜上所述：當(dāng)時，α的度數(shù)為或者．26．已知O是直線AB上的一點，，OE平分．(1)如圖①，若，則___________．(2)如圖①，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．(3)將圖①中的繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，其他條件不變，那么（2）中所求出的結(jié)論是否還成立？請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)成立，理由見解析【詳解】（1）∵，∴，∵OE平分，∴，∴，故答案為：；（2），∴，∴，∵OE平分，∴；∴．（3）成立，理由如下：設(shè)，∴，∵OE平分，∴；∴．∴（2）中所求出的結(jié)論還成立．27．(1)如圖1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，請判斷∠AOD和∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)已知：如圖2，點O在直線AD上，射線OC平分∠BOD．求證：∠AOC與∠BOC互補；(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射線PM平分∠EPQ，射線PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），直接寫出銳角∠MPN的度數(shù)是．【答案】(1)∠AOD+∠BOD＝90°，理由見解析；(2)見解析；(3)45°或|β﹣45°|【詳解】（1）解：（1）∠AOD+∠BOD＝90°，理由如下：∵∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣38°＝52°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠BOC＝26°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝38°+26°＝64°，∴∠AOD+∠BOD＝64°+26°＝90°．（2）（2）∵OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD，∵∠AOC+∠COD＝180°，∴∠AOC+∠BOC＝180°，即∠AOC與∠BOC互補；（3）（3）如圖，∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ＝∠EPQ+∠FPQ＝∠EPF，∵∠EPQ和∠FPQ互余，∴∠EPQ+∠FPQ＝90°，即∠EPF＝90°，∴∠MPN＝45°；如圖：∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NPQ|＝|∠EPQ﹣∠FPQ|，∵∠EPQ和∠FPQ互余，∠EPQ＝β，∴∠FPQ＝90°﹣β，∴∠MPN＝|β﹣∠（90°﹣β）|＝|β﹣45°|，故答案為：45°或|β﹣45°|．28．點為直線上一點，在直線同側(cè)任作射線，，使得．(1)如圖1，過點作射線，使為的角平分線，當(dāng)時，的度數(shù)為；(2)如圖2，過點作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，求的度數(shù)；(3)過點作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，當(dāng)時，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)；(3)或【詳解】（1），，，