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§2.2線性方程與常數(shù)變易法
11/14/2023常微分方程一階線性微分方程11/14/2023常微分方程一一階線性微分方程的解法-----常數(shù)變易法11/14/2023常微分方程代入(1)得積分得注求(1)的通解可直接用公式(3)11/14/2023常微分方程例1
求方程通解,這里為n常數(shù)解:將方程改寫為首先,求齊次方程的通解從分離變量得兩邊積分得11/14/2023常微分方程故對應(yīng)齊次方程通解為其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解,即積分得故通解為11/14/2023常微分方程例2
求方程通解.解:但將它改寫為即故其通解為11/14/2023常微分方程例3
求值問題的解.解:先求原方程的通解11/14/2023常微分方程故所給初值問題的通解為11/14/2023常微分方程形如的方程,稱為伯努利方程.解法:11/14/2023常微分方程例4
求方程的通解.解:解以上線性方程得11/14/2023常微分方程例5R-L串聯(lián)電路.,由電感L,電阻R和電源所組成的串聯(lián)電路,如圖所示,其中電感L,電阻R和電源的電動勢E均為常數(shù),試求當開關(guān)K合上后,電路中電流強度I與時間t之間的關(guān)系.
二線性微分方程的應(yīng)用舉例電路的Kirchhoff第二定律:在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.
11/14/2023常微分方程則電流經(jīng)過電感L,電阻R的電壓降分別為
解線性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到
設(shè)當開關(guān)K合上后,電路中在時刻t的電流強度為I(t),取開關(guān)閉合時的時刻為0,得通解為:11/14/2023常微分方程故當開關(guān)K合上后,電路中電流強度為11/14/2023常微
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