常微分方程32 線性微分方程的基本理論

3.2

線性微分方程的基本理論線性微分方程是常微分方程中一類很重要的方程，它的理論發(fā)展十分完善，本節(jié)將介紹它的基本理論.1及其各階導(dǎo)數(shù)均為一次的n階微分方程稱為n階線性微分方程.一、基本概念n階線性微分方程:

未知函數(shù)一般形式為:式中上的連續(xù)函數(shù)。及是區(qū)間2n階線性齊次微分方程:

n階線性齊次微分方程，簡稱齊線性方程,（3.2.1）稱非齊線性方程。3上面兩個方程分別為齊次和非齊次的線性方程。

關(guān)于高階方程同一階方程一樣,也有相類似的解的存在惟一性定理.4定理3.1：如果(3.2.1）的系數(shù)

及右端函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，

滿足下列初始條件

方程（3.2.1）存在惟一的解

則對任一個及任意的

5線性微分算子:為常數(shù).性質(zhì)3.2

性質(zhì)3.1例如:6二、齊次線性方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)定理3.2(疊加原理)如果

是方程（3.2.2）的n個解，

則它的線性組合

也是方程（3.2.2）的解，這里是常數(shù).7例1

驗證是方程的解.解:分別將代入方程,得所以為方程的解.8基本解組:如果方程（3.2.2）的任意一個解都可以表示為,則稱是方程組（3.2.2）

的基本解組。線性相關(guān):對定義在區(qū)間(a,b)上的函數(shù)組

如果存在不全為0的常數(shù),使得

在(a,b)上恒成立,稱這些函數(shù)在所給的區(qū)間上線性相關(guān)，不然稱這些函數(shù)線性無關(guān).9例2:

函數(shù)在任何區(qū)間上都是線性無關(guān)的，因為如果只有當(dāng)所有的

時才成立.

(3.2.5)事實上,如果至少有一個則(3.2.5)式的左端是一個不高于n次的多項式，它最多可有n個不同的根.它在所考慮的區(qū)間上不能有多于n個零點,更不可能恒為零.10注1：在函數(shù)中有一個函數(shù)等于零,則函數(shù)在（a,b）上線性相關(guān)。

則在（a,b）上線性無關(guān)的充要條件為

或在（a,b）上不恒為常數(shù).

注2：考慮到兩個函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)組

如果

或

在(a,b)上有定義,11注3：函數(shù)組的線性相關(guān)與線性無關(guān)是依賴于所取的區(qū)間。例4:

函數(shù)

上是線性無關(guān),而在上是線性相關(guān)的.

和事實上在區(qū)間上不是常數(shù),分別在區(qū)間和上是常數(shù).例3:在任何區(qū)間上都線性無關(guān).

在任何區(qū)間上都線性相關(guān).12Wronskian行列式:稱為這些函數(shù)的Wronskian行列式,通常記做由定義在區(qū)間（a,b）上的k個k-1次可微函數(shù)

所作成的行列式13證明:由假設(shè)知存在一組不全為零的常數(shù)使得依次將此恒等式對t

微分,得到n

個恒等式定理3.3

如果函數(shù)組

在區(qū)間(a,b)上線性相關(guān),則在(a,b)上它們的Wronskian行列式恒等于零,即.14上述n個恒等式所組成的方程組是關(guān)于的齊次方程組,它的系數(shù)行列式就是Wronskian行列式,由線性代數(shù)的知識知,要使方程組存在非零解,則必有15如果函數(shù)組的某點處不等于0,

即,

推論3.1Wronskian行列式在區(qū)間（a,b）上則該函數(shù)組在區(qū)間上線性無關(guān)。定理3.3

如果函數(shù)組

在區(qū)間(a,b)上線性相關(guān),則在(a,b)上它們的Wronskian行列式恒等于零,即.16顯然對所有的t,恒有但在上線性無關(guān).事實上,假設(shè)存在恒等式則當(dāng)時,有當(dāng)時,有故在上線性無關(guān).注:定理3.3的逆定理不一定成立.例17定理3.4

若函數(shù)組

是齊線性方程在區(qū)間（a,b）上的n個線性無關(guān)的解,則它們的Wronskian

行列式在該區(qū)間上任何點都不為零.證明:用反證法假設(shè)有使得18其系數(shù)行列式故它有非零解現(xiàn)以這組解構(gòu)造函數(shù)由定理3.2知,是齊線性方程的解.考慮關(guān)于的齊次線性代數(shù)方程組19即這個解滿足初始條件又也是齊線性方程滿足初始條件的解,由解的惟一性知,由不全為零,知矛盾,從而定理得證.20則該解組在（a,b）上線性相關(guān).使得它的Wronskian

行列式在區(qū)間（a,b）上的n個解。如果存在

推論3.2：設(shè)是方程(3.2.2)推論3.3:

方程（3.2.2）的n個解

在其定義區(qū)間（a,b）上線性無關(guān)的充要條件存在一點

使得

是在該區(qū)間上21定理3.5

n階齊次線性方程（3.2.2）一定存在n個線性無關(guān)的解.

線性無關(guān)解組,基本解組及通解的關(guān)系?證明:由定理3.1知,方程滿足初始條件的解一定存在,因為所以這n個解一定線性無關(guān),故定理得證.22定理3.6

如果是n階齊次方程（3.2.2）的n個線性無關(guān)的解。即方程（3.2.2）的任一解

都可以表示成證明:設(shè)是方程(3.2.2)的任一解,并且滿足條件則它一定是該方程的基本解組，23考慮方程組由于它的系數(shù)行列式是方程的n個線性無關(guān)解的Wronskian

行列式在處的值,故它不為零.因而上面的方程組有惟一解現(xiàn)以這組解構(gòu)造函數(shù)由解的疊加原理和惟一性定理得即24定理3.7(通解結(jié)構(gòu)定理)若是方程（3.2.2）的n個線性無關(guān)的解，則方程的通解可以表示成其中

是任意常數(shù)

.25定理3.8是方程（3.2.2）的n個解，

設(shè)

(等價命題)(1)方程（3.2.2）的通解為

(2)是方程的基本解組.

(3)在(a,b)上線性無關(guān).

(4)存在使(5)任給有26定理3.9(劉維爾公式)注1：在內(nèi)有一點為零，則在整個上恒為零.設(shè)是（3.2.2）的任意n個解，

是它的Wronskian行列式，則對(a,b)上任意都有

一點，上述公式我們稱為劉維爾(Liouville)公式.27注2：對二階微分方程

若

是方程的一個解，則可得通解.設(shè)是與不同的解，則由劉維爾公式推得用乘以上式兩端可得

由此得

28取,則為另一個解，因為所以與線性無關(guān).29例5

求方程的通解.

解：易知為一特解，所以

30三、非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)定理3.10n階線性非齊次方程的通解等于它的一個特解與它所對應(yīng)的齊次方程的通解之和.

31證明:設(shè)是方程（3.2.10)的一個特解，是方程（3.2.2)的通解。是方程（3.2.10)的解。首先我們證明所以是方程（3.2.10)的解。即事實上(3.2.10)32是非齊方程的通解。其次證即證對于非齊方程的任意一解總可以表示為其中是由中的任意常數(shù)取某一特定的值而得到的。所以是齊次方程的解，于是事實上，因為可由中的任意常數(shù)取某一特定的值而得到。其中33定理

3.11設(shè)與分別是非齊次線性方程和則是方程

的解。的解,證明：34常數(shù)變易法求特解是齊線性方程的設(shè)

n個線性無關(guān)的解，因而齊線性方程的通解為(3.2.11)為求非齊線性方程的一個特解,將(3.2.11)

中的常數(shù)看成關(guān)于t

的函數(shù),此時(3.2.11)

式變?yōu)?3.2.12)將(3.2.12)代入齊線性方程得到一個所滿足的關(guān)系式.(3.2.10)(3.2.2)35我們還需要另外n-1個條件來求出在理論上這些條件是任意給出的,為了運(yùn)算的方便,我們按下面的方法來給出這n-1個條件.對(3.2.12)

式兩邊對t

求導(dǎo)得令得到(3.2.12)36對上式兩邊繼續(xù)對t

求導(dǎo),重復(fù)上述做法,令繼續(xù)上述做法,直到獲得第n-1個條件令37最后,將上式兩邊對t

求導(dǎo)得將上面得到的代入(3.2.10),

得到由n

個未知函數(shù)所滿足的方程組:(3.2.10)38該方程組的系數(shù)行列式