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第八章常微分方程數(shù)值解法8.1歐拉法（重點(diǎn)）8.2龍格-庫(kù)塔法8.3亞當(dāng)斯方法8.4線性多步法（重點(diǎn)）8.5方程組與高階方程的數(shù)值解法8.6邊值問題的數(shù)值解法1歐拉法的幾何意義y0xix0x1xi+1xn-1xnx228.1.1矩形法（8.1.2）38.1.2梯形法（改進(jìn)的Euler方法）(8.1.4)4迭代求解隱式方程（8.1.5）5隱式方程的收斂性★6隱式方程的收斂性★7預(yù)估－矯正法8局部截?cái)嗾`差9算法精度與局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)10歐拉法的局部截?cái)嗾`差★11梯形法的局部截?cái)嗾`差★12算法精度二階方法一階方法一階方法注：也可定義算法具有p階精度為：算法公式對(duì)任意次數(shù)不超過p次的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，但對(duì)于某一p+1次多項(xiàng)式不準(zhǔn)確成立。13例證明Euler方法能準(zhǔn)確地求解以下初值問題★14證明15

Euler法的收斂性其中：16例考察以下初值問題Euler法的收斂性解：★178.2Runge-Kutta方法龍格-庫(kù)塔（Runge-Kutta)方法的一般形式為：此類公式稱為r級(jí)p階

R-K方法。使局部截?cái)嗾`差為：其中:

i,

i,

ij為待定參數(shù),適當(dāng)選擇參數(shù):

i,

i,

iji=1,2,...,rn=0,1,2,...18二級(jí)二階Runge-Kutta方法適當(dāng)選擇參數(shù):

1,

2

,

,

,使局部截?cái)嗾`差為：這里仍假定yn=y(xn)(r=2)受改進(jìn)的Euler方法的啟發(fā)，可設(shè)：★19二級(jí)Runge-Kutta方法由二元函數(shù)Taylor展式得：由一元函數(shù)Taylor展式得：★20二級(jí)二階Runge-Kutta方法與Taylor展式相比較得：由于有四個(gè)參數(shù)，只有三個(gè)方程，因此有一個(gè)自由參數(shù)，即解（計(jì)算格式）不唯一。★21展開Taylor公式到二階微分22二級(jí)R-K公式的階由R-K公式：對(duì)比Taylor展式：23Runge-Kutta方法的其他問題248.4線形多步法線性多步法一般形式可設(shè)為：

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