2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市通州區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，150分，考試時長120分鐘，考生務(wù)必將〖答案〗答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合愿目要求的一項．1.已知是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點，若復(fù)數(shù)是虛數(shù)，則點P（）A.在虛軸上 B.不在虛軸上 C.在實軸上 D.不在實軸上〖答案〗D〖解析〗由題意得，則點P不在實軸上，則C錯誤，D正確，若，則A錯誤，若，則其在虛軸上，則B錯誤，故選：D.2.對于任意兩個向量和，下列命題中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對A，當(dāng)，且同方向時，，故A錯誤，對B，當(dāng)，且反方向時，，故B錯誤，對C，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，故C正確，對D，根據(jù)向量減法的三角形法則，得，故D錯誤，故選：C.3.在中，若．則一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形〖答案〗A〖解析〗因為,由正弦定理得，所以,即,因為，所以，則，即，故為等腰三角形.故選：A.4.從甲、乙、丙、丁四人中隨機選取兩人，則甲被選中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗從甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙??；丙丁6種情況，甲被選中的概率為.故選：C.5.已知一組數(shù)據(jù)有40個，把它分成六組，第一組到第四組的頻數(shù)分別為10，5，7，6，第五組的頻率是0.20，則第六組的頻率是（）A.0.10 B.0.12 C.0.15 D.0.18〖答案〗A〖解析〗由已知條件可得第一組到第四組數(shù)據(jù)的頻率分別為0.25，0.125，0.175，0.15，又這六組的頻率之和是1，因此，第六組的頻率為.故選：A.6.某市6月前10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35，54，80，86，72，85，58，125，111，58，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（）A.86 B.85.5 C.85 D.84.5〖答案〗B〖解析〗，故從小到大排列后，35，54，58，58，72，80，85，86，111，125，取第7個數(shù)和8個數(shù)的平均數(shù)得，故選：B.7.下列命題正確的是（）A.一條線段和不在這條線段上的一點確定一個平面B.兩條不平行的直線確定一個平面C.三角形上不同的三個點確定一個平面D.圓上不同的三個點確定一個平面〖答案〗D〖解析〗對A，若這個點位于這條線段所在的直線上，則無法確定一個平面，故A錯誤，對B，若兩條直線異面，則無法確定一個平面，故B錯誤；對C，若三點位于一條直線上，則無法確定一個平面，故C錯誤；對D，圓上不同的三點一定構(gòu)成一個三角形，則可確定一個平面.故選：D.8.若，是兩條不同的直線，，是兩個不同平面，，．則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗若，是兩條不同的直線，，是兩個不同平面，，，則或，異面；或平面與平面相交；故“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.9.設(shè)是直線，，是兩個不同平面，則下面命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗是直線，，是兩個不同平面，若，，則或平面與平面相交，故A錯誤；若，，則，故B正確；若，，則或，故C錯誤；若，則與平面相交或或，故D錯誤.故選:B.10.如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，點為底面上在意一點，若直線與平面無公共點，則的最小值是（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗如圖：連接，由正方體性質(zhì)可知：，因平面，平面，所以平面，同理，,因平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，因直線與平面無公共點，點底面上在意一點所以點在上，故最小時，，因正方體的棱長為2，所以三角形為邊長為的等邊三角形，時，，故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解為___________．〖答案〗〖解析〗在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，由方程得，即故〖答案〗為：.12.已知一組數(shù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差為______.〖答案〗〖解析〗依題意所以方差為.故〖答案〗為.13.如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為CD邊上的一個動點，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗以為原點，,所在直線分別為,軸,建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設(shè)，其中，則，，當(dāng)時,有最小值3，當(dāng)或2時，有最大值為4，的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.在中，已知，，，則___________，的面積為__________．〖答案〗①.②.〖解析〗因為，所以，由正弦定理，得，即，則，又，所以；則，又由余弦定理，即有，解得或.當(dāng)時，，又，則，則，這與矛盾，所以不符合題意，舍去;當(dāng)時，.故〖答案〗為：；.15.如圖，在棱長為1的正方體中，E為棱BC上的動點且不與B重合，F(xiàn)為線段的中點．給出下列四個命題：①三棱錐的體積為；②；③的面積為定值；④四棱錐是正四棱錐．其中所有正確命題的序號是_________-．〖答案〗②③④〖解析〗因為三棱錐體積為，所以三棱錐體積的最大值為，故①錯誤；連接，則，又平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，故②正確；設(shè)，連接，則，所以，即和到的距離相等且不變，所以三角形的面積不變，故③正確；由，可知平面，又為正方形，為其中心，故四棱錐是正四棱錐，故④正確.故〖答案〗為：②③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知復(fù)數(shù)滿足，且是純虛數(shù)．（1）求及；（2）若，求a和b的值．解：（1）為純虛數(shù)，，且，，，.（2）由（1）知，方程的一根為，則另一根為：，則，解得：，.17.已知，是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中，且．（1）若，求的坐標；（2）若，求與夾角．解：（1）設(shè)．因為，，所以即又因為，所以．解之得時，或時，，所以或．（2）記與夾角為．因，所以，則，即，所以，又因為，所以．18.為提高服務(wù)質(zhì)量，某社區(qū)居委會進行了居民對社區(qū)工作滿意度的問卷調(diào)查．隨機抽取了100戶居民的問卷進行評分統(tǒng)計，評分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，．（1）求的值；（2）求這100戶居民問卷評分的中位數(shù)；（3）若根據(jù)各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評分在和內(nèi)的居民中共抽取6戶居民，查閱他們答卷的情況，再從這6戶居民中選取2戶進行專項調(diào)查，求這2戶居民中恰有1戶的評分在內(nèi)的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可得,,解得;（2）由頻率分布直方圖可得,，則中位數(shù)在之間,設(shè)為,則,解得,故中位數(shù)為77.5分;（3）評分在對應(yīng)的頻率為0.1,0.2,從評分在和內(nèi)的居民中共抽取6人,則評分在占2人,設(shè)為,評分在占4人,,從6人中選取2人的情況為:,共15種,其中這2人中恰有1人的評分在的情況為:,共8種,故這2人中恰有1人的評分在內(nèi)的概率為:.19.已知中，．（1）求A的大小；（2）若D是邊AB的中點，且，求的取值范圍，解：（1）在中，由正弦定理有，，，即，在中，由余弦定理，有，，則，即，，∴.（2）如圖，設(shè)，則，，在中,根據(jù)正弦定理，有，，，設(shè)，又，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的取值范圍為．20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，，，E，F(xiàn)分別是PC，BD的中點．（1）求證：平面PAD；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求三棱錐的體積．條件①：G是棱BC上一點，且；條件②：G是PB的中點；條件③：G是的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）．注；如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．（1）證明：連接，則與交于點，在中，,均為中點，，平面平面，平面.（2）解：選擇條件①平面平面，，又底面ABCD是矩形,，平面，平面，是的三等分點，且，三棱錐的高為，底面底面ABCD，，在中，為中點，，三棱錐的體積為:.選擇條件②同條件①得到平面,是PB中點，是PC中點，在中,，三棱錐的高為,底面底面ABCD，，在中,為PC中點，，三棱錐的體積為：.選擇條件③同條件①得到平面，設(shè)的內(nèi)切圓與PC邊相切于點，則，平面平面，三棱錐的高為GH，在Rt中，，，，，底面底面ABCD，，在中,為PC中點,，三棱錐的體積為：.21.如圖，在直三棱柱中，點M在棱AC上，且平面，，，．（1）求證：M是棱AC的中點；（2）求證：平面；（3）在棱上是否存在點，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．（1）證明：連接與,兩線交于點,為的中點,連接OM,因為平面，平面,平面平面，所以,又在中為的中點,所以M是AC的中點;（2）證明：因為底面平面ABC,所以,又為棱AC的中點,,所以,因為平面,所以平面平面,所以,因為,所以,又,在Rt和Rt中,,所以,即,所以,又平面,所以平面;（3）解：當(dāng)點為的中點,即時,平面平面證明如下：設(shè)的中點為,連接DM,DN,因為DM分別為的中點,所以且,又為的中點,所以且,所以四邊形BNDM為平行四邊形,故,由（2）知平面,所以平面,又平面,所以平面平面.北京市通州區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，150分，考試時長120分鐘，考生務(wù)必將〖答案〗答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合愿目要求的一項．1.已知是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點，若復(fù)數(shù)是虛數(shù)，則點P（）A.在虛軸上 B.不在虛軸上 C.在實軸上 D.不在實軸上〖答案〗D〖解析〗由題意得，則點P不在實軸上，則C錯誤，D正確，若，則A錯誤，若，則其在虛軸上，則B錯誤，故選：D.2.對于任意兩個向量和，下列命題中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對A，當(dāng)，且同方向時，，故A錯誤，對B，當(dāng)，且反方向時，，故B錯誤，對C，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，故C正確，對D，根據(jù)向量減法的三角形法則，得，故D錯誤，故選：C.3.在中，若．則一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形〖答案〗A〖解析〗因為,由正弦定理得，所以,即,因為，所以，則，即，故為等腰三角形.故選：A.4.從甲、乙、丙、丁四人中隨機選取兩人，則甲被選中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗從甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙??；丙丁6種情況，甲被選中的概率為.故選：C.5.已知一組數(shù)據(jù)有40個，把它分成六組，第一組到第四組的頻數(shù)分別為10，5，7，6，第五組的頻率是0.20，則第六組的頻率是（）A.0.10 B.0.12 C.0.15 D.0.18〖答案〗A〖解析〗由已知條件可得第一組到第四組數(shù)據(jù)的頻率分別為0.25，0.125，0.175，0.15，又這六組的頻率之和是1，因此，第六組的頻率為.故選：A.6.某市6月前10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35，54，80，86，72，85，58，125，111，58，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（）A.86 B.85.5 C.85 D.84.5〖答案〗B〖解析〗，故從小到大排列后，35，54，58，58，72，80，85，86，111，125，取第7個數(shù)和8個數(shù)的平均數(shù)得，故選：B.7.下列命題正確的是（）A.一條線段和不在這條線段上的一點確定一個平面B.兩條不平行的直線確定一個平面C.三角形上不同的三個點確定一個平面D.圓上不同的三個點確定一個平面〖答案〗D〖解析〗對A，若這個點位于這條線段所在的直線上，則無法確定一個平面，故A錯誤，對B，若兩條直線異面，則無法確定一個平面，故B錯誤；對C，若三點位于一條直線上，則無法確定一個平面，故C錯誤；對D，圓上不同的三點一定構(gòu)成一個三角形，則可確定一個平面.故選：D.8.若，是兩條不同的直線，，是兩個不同平面，，．則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗若，是兩條不同的直線，，是兩個不同平面，，，則或，異面；或平面與平面相交；故“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.9.設(shè)是直線，，是兩個不同平面，則下面命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗是直線，，是兩個不同平面，若，，則或平面與平面相交，故A錯誤；若，，則，故B正確；若，，則或，故C錯誤；若，則與平面相交或或，故D錯誤.故選:B.10.如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，點為底面上在意一點，若直線與平面無公共點，則的最小值是（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗如圖：連接，由正方體性質(zhì)可知：，因平面，平面，所以平面，同理，,因平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，因直線與平面無公共點，點底面上在意一點所以點在上，故最小時，，因正方體的棱長為2，所以三角形為邊長為的等邊三角形，時，，故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解為___________．〖答案〗〖解析〗在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，由方程得，即故〖答案〗為：.12.已知一組數(shù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差為______.〖答案〗〖解析〗依題意所以方差為.故〖答案〗為.13.如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為CD邊上的一個動點，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗以為原點，,所在直線分別為,軸,建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設(shè)，其中，則，，當(dāng)時,有最小值3，當(dāng)或2時，有最大值為4，的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.在中，已知，，，則___________，的面積為__________．〖答案〗①.②.〖解析〗因為，所以，由正弦定理，得，即，則，又，所以；則，又由余弦定理，即有，解得或.當(dāng)時，，又，則，則，這與矛盾，所以不符合題意，舍去;當(dāng)時，.故〖答案〗為：；.15.如圖，在棱長為1的正方體中，E為棱BC上的動點且不與B重合，F(xiàn)為線段的中點．給出下列四個命題：①三棱錐的體積為；②；③的面積為定值；④四棱錐是正四棱錐．其中所有正確命題的序號是_________-．〖答案〗②③④〖解析〗因為三棱錐體積為，所以三棱錐體積的最大值為，故①錯誤；連接，則，又平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，故②正確；設(shè)，連接，則，所以，即和到的距離相等且不變，所以三角形的面積不變，故③正確；由，可知平面，又為正方形，為其中心，故四棱錐是正四棱錐，故④正確.故〖答案〗為：②③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知復(fù)數(shù)滿足，且是純虛數(shù)．（1）求及；（2）若，求a和b的值．解：（1）為純虛數(shù)，，且，，，.（2）由（1）知，方程的一根為，則另一根為：，則，解得：，.17.已知，是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中，且．（1）若，求的坐標；（2）若，求與夾角．解：（1）設(shè)．因為，，所以即又因為，所以．解之得時，或時，，所以或．（2）記與夾角為．因，所以，則，即，所以，又因為，所以．18.為提高服務(wù)質(zhì)量，某社區(qū)居委會進行了居民對社區(qū)工作滿意度的問卷調(diào)查．隨機抽取了100戶居民的問卷進行評分統(tǒng)計，評分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，．（1）求的值；（2）求這100戶居民問卷評分的中位數(shù)；（3）若根據(jù)各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評分在和內(nèi)的居民中共抽取6戶居民，查閱他們答卷的情況，再從這6戶居民中選取2戶進行專項調(diào)查，求這2戶居民中恰有1戶的評分在內(nèi)的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可得,,解得;（2）由頻率分布直方圖可得,，則中位數(shù)在之間,設(shè)為,則,解得,故中位數(shù)為77.5分;（3）評分在對應(yīng)的頻率為0.1,0.2,從評分在和內(nèi)的居民中共抽取6人,則評分在占2人,設(shè)為,評分在占4人,,從6人中選取2人的情況為:,共15種,其中這2人中恰有1人的評分在的情況為:,共8種,故這2人中恰有1人的評分在內(nèi)的概率為:.19.已知中，．（1）求A的大??；（2）若D是邊AB的中點，且，求的取值范圍，解：（1）在中，由正弦定理有，，，即，在中，由余弦定理，有，，則，即，，∴.（2）如圖，設(shè)，則，，在中,根據(jù)正弦定理，有，，，設(shè)，又，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的