2022-2023學(xué)年廣東省江門市高一下學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省江門市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．做選擇題時(shí)，必須用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào)．3．答非選擇題對(duì)，必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆，將〖答案〗寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上作答無(wú)效．5．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A.3 B.4i C.4 D.i〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為4，故選：C．2.某小組有1名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加象棋比賽，事件“至多有1名男生”與事件“至多有1名女生”是（）A.對(duì)立事件 B.必然事件 C.互斥事件 D.相互獨(dú)立事件〖答案〗D〖解析〗記1名男生為，2名女生分別為、，從中抽取名學(xué)生，則可能結(jié)果有、、，記為事件“至多有1名男生”，則事件包含、、，即事件為必然事件，則，記為事件“至多有1名女生”，則事件包含、，且，顯然包含于，又，所以事件與事件相互獨(dú)立.故選：D3.小紅參加學(xué)校舉行的演講比賽，6位評(píng)委對(duì)她的評(píng)分如下：82，78，85，81，90，88，若選手的最終得分計(jì)算需要去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，則小紅的最終得分的平均數(shù)和方差分別為（）A.83，6.5 B.87，8.5 C.83，9.5 D.84，7.5〖答案〗D〖解析〗去掉一個(gè)最低分78和一個(gè)最高分90，最終得分如下：82，85，81，88，則最終得分的平均數(shù)為，方差為，故選：D．4.已知，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量，，得，故向量在方向上的投影向量為，故選：B.5.在中，，，則（）A.2 B. C.-2 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)樵谥?，，所以為銳角，所以，，則.故選：C6.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐底面直徑為（）A.6 B.3 C.12 D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積為，故表面積為，得①，又底面圓周長(zhǎng)等于側(cè)面展開半圓的弧長(zhǎng)，故，即，得②，聯(lián)立①②得：，，則圓錐底面直徑為6．故〖答案〗為：A．7.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且若，外接圓的半徑為1，則面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，∵，∴，∵外接圓的半徑為1，∴由正弦定理得，則，∴，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，即面積的最大值為.故選：A.8.甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班人，乙班人，甲班的平均成績(jī)?yōu)榉?，方差為，乙班的平均成?jī)?yōu)榉郑讲顬?，那么甲、乙兩班全部名學(xué)生的平均成績(jī)，方差分別是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗C〖解析〗全班名學(xué)生的平均成績(jī)；全班名學(xué)生的方差.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）C.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度〖答案〗AD〖解析〗先平移后伸縮：函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得；先伸縮后平移：函數(shù)圖象將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，即．故AD符合題意.故選：AD．10.下列說法正確的是（）A.中，D為BC的中點(diǎn)，則B.向量，可以作為平面向量的一組基底C.若非零向量與滿足，則為等腰三角形D.已知點(diǎn)，，點(diǎn)P是線段AB的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，在中，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)橄蛄浚?，可知與共線，不能作為平面向量的一組基底，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)楹头謩e表示與向量和同向的單位向量，所以以和為鄰邊的平行四邊形是菱形，根據(jù)平行四邊形法則可知在的平分線上，又因?yàn)椋缘钠椒志€垂直于，所以，即為等腰三角形，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若點(diǎn)P是線段AB三等分點(diǎn)，則或，因?yàn)椋?，所以，所以或，即點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.11.某短視頻平臺(tái)以講故事，贊家鄉(xiāng)，聊美食，展才藝等形式展示了豐富多彩的新時(shí)代農(nóng)村生活，吸引了眾多粉絲，該平臺(tái)通過直播帶貨把家鄉(xiāng)的農(nóng)產(chǎn)品推銷到全國(guó)各地，從而推進(jìn)了“新時(shí)代鄉(xiāng)村振興”，從平臺(tái)的所有主播中，隨機(jī)選取300人進(jìn)行調(diào)查，其中青年人，中年人，其他人群三個(gè)年齡段的比例餅狀圖如圖1所示，各年齡段主播的性別百分比等高堆積條形圖如圖2所示，則下列說法正確的有（）A.樣本中中年男性20人B.該平臺(tái)女性主播約占40%C若用分層抽樣法從樣本中抽取20名主播擔(dān)當(dāng)平臺(tái)監(jiān)管，則中年主播應(yīng)抽取6名D.從平臺(tái)的所有主播中隨機(jī)抽取2位，則2位主播均為女性的概率約為〖答案〗BCD〖解析〗由圖1可知300名主播中，青年人有人，中年人有人，其他人群有人，由圖2可知樣本中中年男性有人，故A錯(cuò)誤；由圖2可知青年女性主播有人；中年女性主播有人；其他人群女性主播有人，故該平臺(tái)女性主播約占，故B正確；由圖1，青年主播、中年主播與其他人群主播的人數(shù)比例為，故用分層抽樣法從樣本中抽取20名主播擔(dān)當(dāng)平臺(tái)監(jiān)管，則中年主播應(yīng)抽取名，故C正確；在選取300名主播中，女性主播共有名，故從平臺(tái)的所有主播中隨機(jī)抽取2位，則2位主播均為女性的概率約為，故D正確.故選：BCD12.已知正四面體的棱長(zhǎng)為a，，N為的重心，P為線段CN上一點(diǎn)，則（）A.正四面體的體積為B.正四面體的外接球的體積為C.若，則DP⊥平面ABCD.P點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和為定值，且定值為〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，如上圖，把正四面體放到一個(gè)有共同四個(gè)頂點(diǎn)的正方體中，則正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為，所以正方體棱長(zhǎng)為，則正四面體的體積為正方體的體積減去四個(gè)相同體積的三棱錐，且三棱錐的體積為，正方體的體積為，所以正四面體的體積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在A中，正四面體與正方體有相同的外接球，且外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，且直徑為，所以正四面體的外接球的體積為，故B正確；對(duì)于C，如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，所以，，，由，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令可得，因?yàn)椋訢P⊥平面ABC，故C正確；對(duì)于D，連接，設(shè)P點(diǎn)到各個(gè)面的距離分別為，正四面體的一個(gè)側(cè)面面積為，所以，由A選項(xiàng)可得，，解得，所以P點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和為定值，且定值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.當(dāng)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得故〖答案〗為：.14.拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，則事件“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”的概率為______．〖答案〗〖解析〗骰子的點(diǎn)數(shù)為：1，2，3，4，5，6，拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，基本事件為，總共有6×6＝36個(gè)結(jié)果，記“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)”為事件A，包含，共有9個(gè)結(jié)果，∴“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)”的概率為，∴“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”的概率為，故〖答案〗：．15.已知，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，由余弦的二倍角公式可得：故〖答案〗為?6.已知長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，且，則平面被長(zhǎng)方體截得的平面圖形的周長(zhǎng)為______．〖答案〗〖解析〗長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，如圖所示：設(shè)，由于點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，,由于，利用勾股定理，即，解得，故，設(shè)為平面與棱的交點(diǎn)，則平面被長(zhǎng)方體截得的平面圖形為四邊形，連接，由于平面平面，平面平面，平面平面，，又，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，，，，因此，截面圖形的周長(zhǎng)為.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.一家水果店的店長(zhǎng)為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去20天蘋果的日銷售量（單位：kg），結(jié)果如下：83，107，91，94，80，80，100，75，102，89，74，94，84，101，93，85，97，84，85，104（1）請(qǐng)計(jì)算該水果店過去20天蘋果日銷售量的中位數(shù)和極差；（2）請(qǐng)完成蘋果日銷售量的頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖．分組頻數(shù)頻率合計(jì)解：（1）將樣本數(shù)據(jù)由小到大排序，結(jié)果如下：74，75，80，80，83，84，84，85，85，89，91，93，94，94，97，100，101，102，104，107.由樣本容量為20可知，數(shù)據(jù)由小到大排序的中間項(xiàng)應(yīng)為第10個(gè)、第11個(gè)數(shù)據(jù)，分別為89，91，故水果店過去30天蘋果日銷售量的中位數(shù)為.由上可知，樣本數(shù)據(jù)的最小值為74，最大值為107，故極差為.（2）由（1）中對(duì)數(shù)據(jù)排序可得頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率20.1130.6550.25合計(jì)201由分組可知組距為20，將各組的頻率除以組距可得數(shù)據(jù)如下:分組故頻率分布直方圖如圖所示：18.已知函數(shù)圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸的距離為，在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．解：（1）由已知得，，故由圖可知，，則，故.由圖象過點(diǎn)，可得，則，或，即，或，又，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，符合題意，故.（2）由，可得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得，令，得，故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，E為PB中點(diǎn)，M為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上動(dòng)點(diǎn)．（1）若F為BC中點(diǎn)，求證：平面AEF；（2）證明：平面平面PBC．證明：（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，底面為正方形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，且，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)．又為中點(diǎn)，，且，又平面，平面，平面AEF.（2）底面為正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，平面，，，且為中點(diǎn)，則，又，平面，平面，平面，平面平面20.近年來(lái)，我國(guó)居民體重“超標(biāo)”成規(guī)模增長(zhǎng)趨勢(shì)，其對(duì)人群的心血管安全構(gòu)成威脅，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI=衡量人體胖瘦程度是否健康，中國(guó)成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)是：BMI<18.5為偏瘦；18.5≤BMI<23.9為正常：24≤BMI<27.9為偏胖；BMI>28為肥胖．下面是社區(qū)醫(yī)院為了解居民體重現(xiàn)狀，隨機(jī)抽取了100名居民體檢數(shù)據(jù)，將其BMI值分成以下五組：，，，，，得到相應(yīng)的頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a的值，并估計(jì)該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)BMI的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；（2）現(xiàn)從樣本中利用分層抽樣的方法從，的兩組中抽取6名居民，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求抽取到2人的BMI值不在同一組的概率．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知組距為，所有矩形面積和為，所以，解得因?yàn)?，，三組頻率之和為，而，，，，四組的頻率之和為，故樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，解得，即該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)的樣本數(shù)據(jù)80%分位數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知的頻數(shù)為，的頻數(shù)為，所以兩組人數(shù)比值為，按照分層抽樣抽取人，則在，分別抽取人和人，記這組兩個(gè)樣本編號(hào)為，這組編號(hào)為，故從人隨機(jī)抽取人所有可能樣本的構(gòu)成樣本空間：設(shè)事件“從6個(gè)人中隨機(jī)抽取2人，抽取到2人的值不在同一組”，則故，即從這6個(gè)人中隨機(jī)抽取2人，抽取到2人的值不在同一組的概率為.21.在中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，，，．（1）求的面積；（2）若D為AC的中點(diǎn)，求BD的長(zhǎng)．解：（1）中，，由正弦定理得，由余弦定理得：，即，解得：，所以的面積.（2）方法一：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．由（1）知.由于，所以，在和中，由余弦定理得：，即，解得.方法二：由于為的中點(diǎn)，所以，，則.22.如圖，ABDC是平面四邊形，為正三角形，，．將沿BC翻折，過點(diǎn)A作平面BCD的垂線，垂足為H．（1）若點(diǎn)H在線段BD上，求AD的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)H在BCD內(nèi)部，且直線AB與平面ACD所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．解：（1）方法一：平面，平面，，中，，中，，，，由于為等腰直角三角形，，為中點(diǎn)，在中由勾股定理得，，，在中由勾股定理得，，.方法二：在平面四邊形中，設(shè)的中點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)，交于.為正三角形，為的中點(diǎn)，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).在三棱錐中，，，且，平面，又平面，平面平面，點(diǎn)在直線上.當(dāng)點(diǎn)在線段上，此時(shí)與重合，，平面，平面，，在，，在，，（2）方法一：當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，知平面，平面，則，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，為正三角形，，，平面，平面，平面，，為二面角的平面角.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，過點(diǎn)作，連接，由平面，在的中垂線上，設(shè)，則，由等體積法得：，，即，，解得，所以,.方法二：當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，知平面，此時(shí)在線段（不含端點(diǎn)）上.，為二面角的平面角.由于平面，，過點(diǎn)作交于，連接，，，又因?yàn)椋矫?，平面，平面平面，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，又平面平面，平面.設(shè)為直線與平面所成的角，則點(diǎn)到平面的距離為，，解得，在中，可設(shè)由于，解得.在中，，所以.廣東省江門市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．做選擇題時(shí)，必須用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào)．3．答非選擇題對(duì)，必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆，將〖答案〗寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上作答無(wú)效．5．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A.3 B.4i C.4 D.i〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為4，故選：C．2.某小組有1名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加象棋比賽，事件“至多有1名男生”與事件“至多有1名女生”是（）A.對(duì)立事件 B.必然事件 C.互斥事件 D.相互獨(dú)立事件〖答案〗D〖解析〗記1名男生為，2名女生分別為、，從中抽取名學(xué)生，則可能結(jié)果有、、，記為事件“至多有1名男生”，則事件包含、、，即事件為必然事件，則，記為事件“至多有1名女生”，則事件包含、，且，顯然包含于，又，所以事件與事件相互獨(dú)立.故選：D3.小紅參加學(xué)校舉行的演講比賽，6位評(píng)委對(duì)她的評(píng)分如下：82，78，85，81，90，88，若選手的最終得分計(jì)算需要去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，則小紅的最終得分的平均數(shù)和方差分別為（）A.83，6.5 B.87，8.5 C.83，9.5 D.84，7.5〖答案〗D〖解析〗去掉一個(gè)最低分78和一個(gè)最高分90，最終得分如下：82，85，81，88，則最終得分的平均數(shù)為，方差為，故選：D．4.已知，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量，，得，故向量在方向上的投影向量為，故選：B.5.在中，，，則（）A.2 B. C.-2 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)樵谥校?，所以為銳角，所以，，則.故選：C6.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐底面直徑為（）A.6 B.3 C.12 D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積為，故表面積為，得①，又底面圓周長(zhǎng)等于側(cè)面展開半圓的弧長(zhǎng)，故，即，得②，聯(lián)立①②得：，，則圓錐底面直徑為6．故〖答案〗為：A．7.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且若，外接圓的半徑為1，則面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，∵，∴，∵外接圓的半徑為1，∴由正弦定理得，則，∴，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，即面積的最大值為.故選：A.8.甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班人，乙班人，甲班的平均成績(jī)?yōu)榉?，方差為，乙班的平均成?jī)?yōu)榉?，方差為，那么甲、乙兩班全部名學(xué)生的平均成績(jī)，方差分別是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗C〖解析〗全班名學(xué)生的平均成績(jī)；全班名學(xué)生的方差.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）C.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度〖答案〗AD〖解析〗先平移后伸縮：函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得；先伸縮后平移：函數(shù)圖象將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，即．故AD符合題意.故選：AD．10.下列說法正確的是（）A.中，D為BC的中點(diǎn)，則B.向量，可以作為平面向量的一組基底C.若非零向量與滿足，則為等腰三角形D.已知點(diǎn)，，點(diǎn)P是線段AB的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，在中，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)橄蛄?，，所以，可知與共線，不能作為平面向量的一組基底，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)楹头謩e表示與向量和同向的單位向量，所以以和為鄰邊的平行四邊形是菱形，根據(jù)平行四邊形法則可知在的平分線上，又因?yàn)椋缘钠椒志€垂直于，所以，即為等腰三角形，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若點(diǎn)P是線段AB三等分點(diǎn)，則或，因?yàn)?，，所以，所以或，即點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.11.某短視頻平臺(tái)以講故事，贊家鄉(xiāng)，聊美食，展才藝等形式展示了豐富多彩的新時(shí)代農(nóng)村生活，吸引了眾多粉絲，該平臺(tái)通過直播帶貨把家鄉(xiāng)的農(nóng)產(chǎn)品推銷到全國(guó)各地，從而推進(jìn)了“新時(shí)代鄉(xiāng)村振興”，從平臺(tái)的所有主播中，隨機(jī)選取300人進(jìn)行調(diào)查，其中青年人，中年人，其他人群三個(gè)年齡段的比例餅狀圖如圖1所示，各年齡段主播的性別百分比等高堆積條形圖如圖2所示，則下列說法正確的有（）A.樣本中中年男性20人B.該平臺(tái)女性主播約占40%C若用分層抽樣法從樣本中抽取20名主播擔(dān)當(dāng)平臺(tái)監(jiān)管，則中年主播應(yīng)抽取6名D.從平臺(tái)的所有主播中隨機(jī)抽取2位，則2位主播均為女性的概率約為〖答案〗BCD〖解析〗由圖1可知300名主播中，青年人有人，中年人有人，其他人群有人，由圖2可知樣本中中年男性有人，故A錯(cuò)誤；由圖2可知青年女性主播有人；中年女性主播有人；其他人群女性主播有人，故該平臺(tái)女性主播約占，故B正確；由圖1，青年主播、中年主播與其他人群主播的人數(shù)比例為，故用分層抽樣法從樣本中抽取20名主播擔(dān)當(dāng)平臺(tái)監(jiān)管，則中年主播應(yīng)抽取名，故C正確；在選取300名主播中，女性主播共有名，故從平臺(tái)的所有主播中隨機(jī)抽取2位，則2位主播均為女性的概率約為，故D正確.故選：BCD12.已知正四面體的棱長(zhǎng)為a，，N為的重心，P為線段CN上一點(diǎn)，則（）A.正四面體的體積為B.正四面體的外接球的體積為C.若，則DP⊥平面ABCD.P點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和為定值，且定值為〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，如上圖，把正四面體放到一個(gè)有共同四個(gè)頂點(diǎn)的正方體中，則正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為，所以正方體棱長(zhǎng)為，則正四面體的體積為正方體的體積減去四個(gè)相同體積的三棱錐，且三棱錐的體積為，正方體的體積為，所以正四面體的體積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在A中，正四面體與正方體有相同的外接球，且外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，且直徑為，所以正四面體的外接球的體積為，故B正確；對(duì)于C，如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，所以，，，由，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令可得，因?yàn)?，所以DP⊥平面ABC，故C正確；對(duì)于D，連接，設(shè)P點(diǎn)到各個(gè)面的距離分別為，正四面體的一個(gè)側(cè)面面積為，所以，由A選項(xiàng)可得，，解得，所以P點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和為定值，且定值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.當(dāng)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得故〖答案〗為：.14.拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，則事件“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”的概率為______．〖答案〗〖解析〗骰子的點(diǎn)數(shù)為：1，2，3，4，5，6，拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，基本事件為，總共有6×6＝36個(gè)結(jié)果，記“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)”為事件A，包含，共有9個(gè)結(jié)果，∴“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)”的概率為，∴“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”的概率為，故〖答案〗：．15.已知，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，由余弦的二倍角公式可得：故〖答案〗為?6.已知長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，且，則平面被長(zhǎng)方體截得的平面圖形的周長(zhǎng)為______．〖答案〗〖解析〗長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，如圖所示：設(shè)，由于點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，,由于，利用勾股定理，即，解得，故，設(shè)為平面與棱的交點(diǎn)，則平面被長(zhǎng)方體截得的平面圖形為四邊形，連接，由于平面平面，平面平面，平面平面，，又，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，，，，因此，截面圖形的周長(zhǎng)為.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.一家水果店的店長(zhǎng)為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去20天蘋果的日銷售量（單位：kg），結(jié)果如下：83，107，91，94，80，80，100，75，102，89，74，94，84，101，93，85，97，84，85，104（1）請(qǐng)計(jì)算該水果店過去20天蘋果日銷售量的中位數(shù)和極差；（2）請(qǐng)完成蘋果日銷售量的頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖．分組頻數(shù)頻率合計(jì)解：（1）將樣本數(shù)據(jù)由小到大排序，結(jié)果如下：74，75，80，80，83，84，84，85，85，89，91，93，94，94，97，100，101，102，104，107.由樣本容量為20可知，數(shù)據(jù)由小到大排序的中間項(xiàng)應(yīng)為第10個(gè)、第11個(gè)數(shù)據(jù)，分別為89，91，故水果店過去30天蘋果日銷售量的中位數(shù)為.由上可知，樣本數(shù)據(jù)的最小值為74，最大值為107，故極差為.（2）由（1）中對(duì)數(shù)據(jù)排序可得頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率20.1130.6550.25合計(jì)201由分組可知組距為20，將各組的頻率除以組距可得數(shù)據(jù)如下:分組故頻率分布直方圖如圖所示：18.已知函數(shù)圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸的距離為，在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．解：（1）由已知得，，故由圖可知，，則，故.由圖象過點(diǎn)，可得，則，或，即，或，又，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，符合題意，故.（2）由，可得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得，令，得，故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，E為PB中點(diǎn)，M為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上動(dòng)點(diǎn)．（1）若F為BC中點(diǎn)，求證：平面AEF；（2）證明：平面平面PBC．證明：（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，底面為正方形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，且，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)．又為中點(diǎn)，，且，又平面，平面，平面AEF.（2）底面為正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，平面，，，且為中點(diǎn)，則，又，平面，平面，平面，平面平面20.近年來(lái)，我國(guó)居民體重“超標(biāo)”成規(guī)模增長(zhǎng)趨勢(shì)，其對(duì)人群的心血管安全構(gòu)成威脅，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI=衡量人體胖瘦程度是否健康，中國(guó)成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)是：BMI<18.5為偏瘦；18.5≤BMI<23.9為正常：24≤BMI<27.9為偏胖；BMI>28