2022-2023學(xué)年福建省龍巖市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省龍巖市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘滿分150分）注意事項(xiàng)：1.考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號及所有的〖答案〗均填寫在答題卡上.2.答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項(xiàng)”.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，，則（）A-1 B.1 C.-5 D.5〖答案〗A〖解析〗復(fù)數(shù)，，由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，，則有.故選：A2.已知向量，，滿足，，與的夾角的余弦值為，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)橄蛄?，，滿足，，與的夾角的余弦值為，所以向量在向量上的投影向量為，故選：D3.從長度為1，3，7，8，9的5條線段中任取3條，則這3條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗五條線段中任取3條有

種結(jié)果，這些結(jié)果等可能出現(xiàn).要使選出的三條線段可構(gòu)成三角形，則兩條較小邊的和要大于第三邊，故只有：這四種可能，故所求概率

.故選：B4.已知某班40名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績依次為，經(jīng)計(jì)算全班數(shù)學(xué)平均成績，且，則該班學(xué)生此次數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A.20 B. C.10 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，且，所以此次?shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為，故選：D5.如圖，在正方體中，，為正方體內(nèi)（含邊界）不重合的兩個動點(diǎn)，下列結(jié)論錯誤的是（）A.若，，則B.若，，則平面平面C.若，，則D.若，，則平面〖答案〗C〖解析〗A.如圖所示：若，，則平面，因?yàn)槠矫妫矫?，則，又，且，平面平面，所以平面，又平面，所以，故正確；B.若，，則平面，由正方體的性質(zhì)得平面，又，則平面，即平面，又平面，所以平面平面，故正確；C.當(dāng)，時，則平面，則與共面，不一定平行，故錯誤；D.如圖所示：若，，則平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，故正確；故選：C6.閩西革命烈士紀(jì)念碑，坐落在福建省龍巖市城西虎嶺山閩西革命烈士陵園內(nèi)，1991年被列為第三批省級文物保護(hù)單位，其中央主體建筑集棱臺，棱柱于一體，極具對稱之美.某同學(xué)準(zhǔn)備在陵園廣場上對紀(jì)念碑的高度進(jìn)行測量，并繪制出測量方案示意圖（如圖），紀(jì)念碑的最頂端記為點(diǎn)，紀(jì)念碑的最底端記為點(diǎn)（在的正下方），在廣場內(nèi)（與在同一水平面內(nèi)）選取，兩點(diǎn)，測得的長為15米，，，，則根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出紀(jì)念碑高度為（）A.14米 B.15米 C.16米 D.17米〖答案〗B〖解析〗設(shè)米，在中，，，得，在中，，，得，在中，，，則由余弦定理得，，解得，所以紀(jì)念碑高度為15米，故選：B7.已知等邊三邊形的邊長為4，為的中點(diǎn)，將沿折到，使得為等邊三邊形，則直線與所成的角的余弦值為（）A. B.0 C. D.〖答案〗D〖解析〗分別取的中點(diǎn)，連接，則∥，∥，且，所以直線與所成的角為（或其補(bǔ)角），由題意可知：，，平面，所以平面，且平面，可得，則，在中，由余弦定理可得，所以直線與所成的角的余弦值為.故選：D.8.在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，，則周長的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樗?，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，由正弦定理得∴，，所以的周長為∵，∴的周長為，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.的虛部為C.D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)椋?，則，故A正確；則的虛部為，故B錯誤；則，故C正確；則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故D錯誤.故選：AC.10.新型冠狀病毒陽性即新型冠狀病毒核酸檢測結(jié)果為陽性，其中包括無癥狀感染者和確診病例.下圖是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖，則（）A.本地新增陽性人數(shù)最多的一天是10日B.本地新增確診病例的極差為84C.本地新增確診病例人數(shù)的中位數(shù)是46D.本地新增無癥狀感染者的平均數(shù)大于本地新增確診病例的平均數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗對于A，由統(tǒng)計(jì)圖可知2日至16日新增陽性人數(shù)依次為8，15，44，63，120，72，30，59，131，66，95，85，99，102，92，其中本地新增陽性人數(shù)最多的一天是10日，所以A正確，對于B，由統(tǒng)計(jì)圖可知本地新增確診病例的極差為，所以B正確，對于C，由統(tǒng)計(jì)圖可知本地新增確診病例人數(shù)從小到大排列依次為6，10，14，14，20，33，40，46，51，72，81，82，90，90，90，則中位數(shù)為第8個數(shù)46，所以C正確，對于D，由統(tǒng)計(jì)圖可知本地新增無癥狀感染者的平均數(shù)為，本地新增確診病例的平均數(shù)為，所以本地新增無癥狀感染者的平均數(shù)小于本地新增確診病例的平均數(shù)，所以D錯誤，故選：ABC11.已知是邊長為1的正六邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)為正六邊形的中心時， B.的最大值為4C.的最小值為 D.可以為0〖答案〗ACD〖解析〗以為原點(diǎn)，以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，正六邊形邊長為1，，設(shè)則，，可得，，，，時，的最小值為，C對，為正六邊形的中心時，即時，，A對，可以為0，沒有最大值，D對，B錯，故選：ACD.12.如圖，水平放置的正方形邊長為1，先將正方形繞直線向上旋轉(zhuǎn)45°，得到正方形，再將所得的正方形繞直線向上旋轉(zhuǎn)45°，得到正方形，則（）A.直線平面B.到平面的距離為C.點(diǎn)到點(diǎn)的距離為D.平面與平面所成的銳二面角為60°〖答案〗BD〖解析〗由已知條件中的旋轉(zhuǎn)，可將正方形放于兩個全等正方體的公共面上，正方形和正方形的位置如圖所示，連接，如圖所示，因?yàn)槠矫嫫矫?，直線與平面相交，則直線與平面相交，所以A選項(xiàng)錯誤；平面與平面所成的銳二面角可轉(zhuǎn)化為平面與平面所成的銳二面角，平面，平面，，正方形中，，平面，，平面，同理，平面，平面與平面所成的銳二面角，等于直線與所成的角，由為等邊三角形，可得所求銳二面角的平面角為，故選項(xiàng)D正確.過作，則有，平面，平面，，到平面的距離等價于到平面的距離，如圖所示，，，則，，點(diǎn)到的距離為，，設(shè)到平面的距離為，根據(jù)等體積關(guān)系，有，解得，由此得到平面的距離為，故B選項(xiàng)正確；連接、，如圖所示，中，，，，由余弦定理得，在中，，故C選項(xiàng)錯誤；故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為____________.〖答案〗〖解析〗方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為，故〖答案〗為：14.數(shù)據(jù)13，11，12，15，16，18，21，17的第三四分位數(shù)為_____________.〖答案〗17.5〖解析〗這組數(shù)據(jù)共8個數(shù)，從小到大排列是11，12，13，15，16，17，18，21，，所以第三四分位數(shù)是第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，即.故〖答案〗為：17.515.為深入學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨的二十大精神，某校團(tuán)委舉辦“強(qiáng)國復(fù)興有我”——黨的二十大精神知識競答活動.某場比賽中，甲、乙、丙三位同學(xué)同時回答一道有關(guān)二十大精神知識的問題.已知甲同學(xué)答對的概率是，甲、丙兩位同學(xué)都答錯的概率是，乙、丙兩位同學(xué)都答對的概率是.若各同學(xué)答題正確與否互不影響.則甲、乙、丙三位同學(xué)中至少2位同學(xué)答對這道題的概率為______________.〖答案〗〖解析〗設(shè)甲同學(xué)答對的的事件為A，答錯的事件為，設(shè)乙同學(xué)答對的的事件為B，答錯的事件為乙同學(xué)答對的的事件為C，答錯的事件為，因?yàn)榧淄瑢W(xué)答對的概率是，甲、丙兩位同學(xué)都答錯的概率是，乙、丙兩位同學(xué)都答對的概率是，所以，解得，所以甲、乙、丙三位同學(xué)中至少2位同學(xué)答對這道題的概率為:，，故〖答案〗為：16.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，.記四面體的外接球的球心為，為球表面上的一個動點(diǎn)，當(dāng)取最大值時，四面體體積的最大值為____________.〖答案〗〖解析〗依題可得，四面體的外接球的球心為中點(diǎn)，外接球半徑，要使取到最大值，則，即與球相切時，所以,在中，，∴，∴，∴，過作，垂足為，所以點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，又，∴四面體體積的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，，，.（1）當(dāng)時，用，表示；（2）求的值解：（1）當(dāng)時，，.（2）法一：，，.法二：取中點(diǎn)，則，且，∴.因?yàn)?，，所以，所?18.如圖，在直三棱柱中，，，.（1）求三棱柱的側(cè)面積；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，求證：平面.（1）解：∵三棱柱為直三棱柱，∴側(cè)面均為矩形，∵，所以底面均為直角三角形，又∵，，∴，∴三棱柱的側(cè)面積為.∴三棱柱的側(cè)面積為.（2）證明：連接交于點(diǎn)，連接，∵四邊形為矩形，∴為的中點(diǎn)，∵D為的中點(diǎn)，∴.∴平面，平面，∴平面.19.已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍(lán)球的概率是.（1）求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個數(shù)；（2）隨機(jī)試驗(yàn)：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色.（i）寫出該試驗(yàn)的樣本空間；（ii）設(shè)置游戲規(guī)則如下：若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝.從概率的角度，判斷這個游戲是否公平，請說明理由.解：（1）從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍(lán)球?yàn)槭录?，因?yàn)闉閮蓛苫コ馐录?，由已知得，解得∴盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個數(shù)分別是；（2）（i）由（1）知紅球、黃球、藍(lán)球個數(shù)分別為2，1，1，用1，2表示紅球，用表示黃球，用表示藍(lán)球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，則樣本空間.（ii）由（i）得，記“取到兩個球顏色相同”為事件，“取到兩個球顏色不相同”為事件，則，所以所以因?yàn)?，所以此游戲不公?20.某大型企業(yè)為員工謀福利，與某手機(jī)通訊商合作，為員工辦理流量套餐.為了解該企業(yè)員工手機(jī)流量使用情況，通過抽樣，得到100名員工近一周每人手機(jī)日平均使用流量（單位：M）的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖：若將每位員工的手機(jī)日平均使用流量分別視為其手機(jī)日使用流量，回答以下問題.（1）求這100名員工近一周每人手機(jī)日使用流量的眾數(shù)、中位數(shù)；（2）在辦理流量套餐后，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男員工20名，其手機(jī)日使用流量的平均數(shù)為800M，方差為10000；抽取了女員工40名，其手機(jī)日使用流量的平均數(shù)為1100M，方差為40000.（i）已知總體劃分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，，記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為.證明：.（ii）用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)該大型企業(yè)全體員工手機(jī)日使用流量的平均數(shù)和方差.（1）解：估計(jì)這100名員工近一周每人手機(jī)日使用流量的眾數(shù)450由頻率分布直方圖可知流量少于300的所占比例為，流量少于400的所占比例為，所以抽取的100名員工近一周每人手機(jī)日使用流量的中位數(shù)在內(nèi)，且中位數(shù)為.（2）（i）證明：根據(jù)方差的定義，總樣本的方差為由，可得同理可得因此（ii）解：估計(jì)該大型企業(yè)全體員工手機(jī)日使用流量的平均數(shù)為由（i）知，估計(jì)該大型企業(yè)全體員工手機(jī)日使用流量的方差為21.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為3的正方形，側(cè)面底面.（1）若，求證：；（2）若與平面所成角為，求點(diǎn)A到直線的距離.（1）證明：如圖，連接，因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，，底面，所以底面，且平面，可得.在正方形中，，，平面，平面，所以平面，且平面，可得.（2）解：因?yàn)?/，平面，平面，所以∥平面，過作，垂足為，連接，因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，，底面，所以底面，且底面，可得，，平面，可得底面，則A到平面的距離即為到平面的距離，由與平面所成的角為，則，又因?yàn)?/，則平面，且平面，可得，，，平面，所以平面，且平面，可得，即的長度即為點(diǎn)A到的距離，可得所以點(diǎn)A到的距離為.22.在中，角，，的對邊分別為，，，點(diǎn)在邊上，，，.（1）若，求；（2）若，求的面積.解：（1）在中，，，由余弦定理得，∴，化簡得，解得，或.∴，或.∴，或，綜上可得，或.（2）在中，設(shè)，則，∵，由正弦定理得，∴.在中，，，由正弦定理得，即.化簡得，∵，∴，.∴或，解得或.當(dāng)時，，，∴為等腰直角三角形，得到的面積為；當(dāng)，，在中由正弦定理得，∴∴的面積為，綜上可得的面積為4或.福建省龍巖市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘滿分150分）注意事項(xiàng)：1.考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號及所有的〖答案〗均填寫在答題卡上.2.答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項(xiàng)”.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，，則（）A-1 B.1 C.-5 D.5〖答案〗A〖解析〗復(fù)數(shù)，，由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，，則有.故選：A2.已知向量，，滿足，，與的夾角的余弦值為，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)橄蛄?，，滿足，，與的夾角的余弦值為，所以向量在向量上的投影向量為，故選：D3.從長度為1，3，7，8，9的5條線段中任取3條，則這3條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗五條線段中任取3條有

種結(jié)果，這些結(jié)果等可能出現(xiàn).要使選出的三條線段可構(gòu)成三角形，則兩條較小邊的和要大于第三邊，故只有：這四種可能，故所求概率

.故選：B4.已知某班40名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績依次為，經(jīng)計(jì)算全班數(shù)學(xué)平均成績，且，則該班學(xué)生此次數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A.20 B. C.10 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋遥源舜螖?shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為，故選：D5.如圖，在正方體中，，為正方體內(nèi)（含邊界）不重合的兩個動點(diǎn)，下列結(jié)論錯誤的是（）A.若，，則B.若，，則平面平面C.若，，則D.若，，則平面〖答案〗C〖解析〗A.如圖所示：若，，則平面，因?yàn)槠矫?，平面，則，又，且，平面平面，所以平面，又平面，所以，故正確；B.若，，則平面，由正方體的性質(zhì)得平面，又，則平面，即平面，又平面，所以平面平面，故正確；C.當(dāng)，時，則平面，則與共面，不一定平行，故錯誤；D.如圖所示：若，，則平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，故正確；故選：C6.閩西革命烈士紀(jì)念碑，坐落在福建省龍巖市城西虎嶺山閩西革命烈士陵園內(nèi)，1991年被列為第三批省級文物保護(hù)單位，其中央主體建筑集棱臺，棱柱于一體，極具對稱之美.某同學(xué)準(zhǔn)備在陵園廣場上對紀(jì)念碑的高度進(jìn)行測量，并繪制出測量方案示意圖（如圖），紀(jì)念碑的最頂端記為點(diǎn)，紀(jì)念碑的最底端記為點(diǎn)（在的正下方），在廣場內(nèi)（與在同一水平面內(nèi)）選取，兩點(diǎn)，測得的長為15米，，，，則根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出紀(jì)念碑高度為（）A.14米 B.15米 C.16米 D.17米〖答案〗B〖解析〗設(shè)米，在中，，，得，在中，，，得，在中，，，則由余弦定理得，，解得，所以紀(jì)念碑高度為15米，故選：B7.已知等邊三邊形的邊長為4，為的中點(diǎn)，將沿折到，使得為等邊三邊形，則直線與所成的角的余弦值為（）A. B.0 C. D.〖答案〗D〖解析〗分別取的中點(diǎn)，連接，則∥，∥，且，所以直線與所成的角為（或其補(bǔ)角），由題意可知：，，平面，所以平面，且平面，可得，則，在中，由余弦定理可得，所以直線與所成的角的余弦值為.故選：D.8.在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，，則周長的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樗?，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，由正弦定理得∴，，所以的周長為∵，∴的周長為，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.的虛部為C.D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，所以，則，故A正確；則的虛部為，故B錯誤；則，故C正確；則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故D錯誤.故選：AC.10.新型冠狀病毒陽性即新型冠狀病毒核酸檢測結(jié)果為陽性，其中包括無癥狀感染者和確診病例.下圖是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖，則（）A.本地新增陽性人數(shù)最多的一天是10日B.本地新增確診病例的極差為84C.本地新增確診病例人數(shù)的中位數(shù)是46D.本地新增無癥狀感染者的平均數(shù)大于本地新增確診病例的平均數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗對于A，由統(tǒng)計(jì)圖可知2日至16日新增陽性人數(shù)依次為8，15，44，63，120，72，30，59，131，66，95，85，99，102，92，其中本地新增陽性人數(shù)最多的一天是10日，所以A正確，對于B，由統(tǒng)計(jì)圖可知本地新增確診病例的極差為，所以B正確，對于C，由統(tǒng)計(jì)圖可知本地新增確診病例人數(shù)從小到大排列依次為6，10，14，14，20，33，40，46，51，72，81，82，90，90，90，則中位數(shù)為第8個數(shù)46，所以C正確，對于D，由統(tǒng)計(jì)圖可知本地新增無癥狀感染者的平均數(shù)為，本地新增確診病例的平均數(shù)為，所以本地新增無癥狀感染者的平均數(shù)小于本地新增確診病例的平均數(shù)，所以D錯誤，故選：ABC11.已知是邊長為1的正六邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)為正六邊形的中心時， B.的最大值為4C.的最小值為 D.可以為0〖答案〗ACD〖解析〗以為原點(diǎn)，以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，正六邊形邊長為1，，設(shè)則，，可得，，，，時，的最小值為，C對，為正六邊形的中心時，即時，，A對，可以為0，沒有最大值，D對，B錯，故選：ACD.12.如圖，水平放置的正方形邊長為1，先將正方形繞直線向上旋轉(zhuǎn)45°，得到正方形，再將所得的正方形繞直線向上旋轉(zhuǎn)45°，得到正方形，則（）A.直線平面B.到平面的距離為C.點(diǎn)到點(diǎn)的距離為D.平面與平面所成的銳二面角為60°〖答案〗BD〖解析〗由已知條件中的旋轉(zhuǎn)，可將正方形放于兩個全等正方體的公共面上，正方形和正方形的位置如圖所示，連接，如圖所示，因?yàn)槠矫嫫矫?，直線與平面相交，則直線與平面相交，所以A選項(xiàng)錯誤；平面與平面所成的銳二面角可轉(zhuǎn)化為平面與平面所成的銳二面角，平面，平面，，正方形中，，平面，，平面，同理，平面，平面與平面所成的銳二面角，等于直線與所成的角，由為等邊三角形，可得所求銳二面角的平面角為，故選項(xiàng)D正確.過作，則有，平面，平面，，到平面的距離等價于到平面的距離，如圖所示，，，則，，點(diǎn)到的距離為，，設(shè)到平面的距離為，根據(jù)等體積關(guān)系，有，解得，由此得到平面的距離為，故B選項(xiàng)正確；連接、，如圖所示，中，，，，由余弦定理得，在中，，故C選項(xiàng)錯誤；故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為____________.〖答案〗〖解析〗方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為，故〖答案〗為：14.數(shù)據(jù)13，11，12，15，16，18，21，17的第三四分位數(shù)為_____________.〖答案〗17.5〖解析〗這組數(shù)據(jù)共8個數(shù)，從小到大排列是11，12，13，15，16，17，18，21，，所以第三四分位數(shù)是第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，即.故〖答案〗為：17.515.為深入學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨的二十大精神，某校團(tuán)委舉辦“強(qiáng)國復(fù)興有我”——黨的二十大精神知識競答活動.某場比賽中，甲、乙、丙三位同學(xué)同時回答一道有關(guān)二十大精神知識的問題.已知甲同學(xué)答對的概率是，甲、丙兩位同學(xué)都答錯的概率是，乙、丙兩位同學(xué)都答對的概率是.若各同學(xué)答題正確與否互不影響.則甲、乙、丙三位同學(xué)中至少2位同學(xué)答對這道題的概率為______________.〖答案〗〖解析〗設(shè)甲同學(xué)答對的的事件為A，答錯的事件為，設(shè)乙同學(xué)答對的的事件為B，答錯的事件為乙同學(xué)答對的的事件為C，答錯的事件為，因?yàn)榧淄瑢W(xué)答對的概率是，甲、丙兩位同學(xué)都答錯的概率是，乙、丙兩位同學(xué)都答對的概率是，所以，解得，所以甲、乙、丙三位同學(xué)中至少2位同學(xué)答對這道題的概率為:，，故〖答案〗為：16.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，.記四面體的外接球的球心為，為球表面上的一個動點(diǎn)，當(dāng)取最大值時，四面體體積的最大值為____________.〖答案〗〖解析〗依題可得，四面體的外接球的球心為中點(diǎn)，外接球半徑，要使取到最大值，則，即與球相切時，所以,在中，，∴，∴，∴，過作，垂足為，所以點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，又，∴四面體體積的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，，，.（1）當(dāng)時，用，表示；（2）求的值解：（1）當(dāng)時，，.（2）法一：，，.法二：取中點(diǎn)，則，且，∴.因?yàn)?，，所以，所?18.如圖，在直三棱柱中，，，.（1）求三棱柱的側(cè)面積；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，求證：平面.（1）解：∵三棱柱為直三棱柱，∴側(cè)面均為矩形，∵，所以底面均為直角三角形，又∵，，∴，∴三棱柱的側(cè)面積為.∴三棱柱的側(cè)面積為.（2）證明：連接交于點(diǎn)，連接，∵四邊形為矩形，∴為的中點(diǎn)，∵D為的中點(diǎn)，∴.∴平面，平面，∴平面.19.已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍(lán)球的概率是.（1）求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個數(shù)；（2）隨機(jī)試驗(yàn)：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色.（i）寫出該試驗(yàn)的樣本空間；（ii）設(shè)置游戲規(guī)則如下：若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝.從概率的角度，判斷這個游戲是否公平，請說明理由.解：（1）從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍(lán)球?yàn)槭录?，因?yàn)闉閮蓛苫コ馐录?，由已知得，解得∴盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個數(shù)分別是；（2）（i）由（1）知紅球、黃球、藍(lán)球個數(shù)分別為2，1，1，用1，2表示紅球，用表示黃球，用表示藍(lán)球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，則樣本空間.（ii）由（i）得，記“取到兩個球顏色相同”為事件，“取到兩個球顏色不相同”為事件，則，所以所以因?yàn)?，所以此游戲不公?20.某大型企業(yè)為員