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文檔簡介
2.2平方根
回課堂知識梳理
算術(shù)平方根:
一般地,如果一個正數(shù)X的平方等于4,即Y=a,那么這個正數(shù)X就叫做。的算術(shù)平方
根,記為“五”,讀作“根號特別地,我們規(guī)定0的算術(shù)平方根是0,即而=0.
平方根:若x?=a,則x叫a的平方根,x=iVa.
平方根的性質(zhì):正數(shù)有兩個平方根,且它們互為相反數(shù);。的平方根是0;負數(shù)沒有平方
根.
開平方及相關(guān)運算:求一個數(shù)a的平方根的運算叫做開平方,其中a叫做被開方數(shù).開平
方與平方互為逆運算.
羔課后培優(yōu)練
"培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練
1.4的算術(shù)平方根是()
A.2B.-2C.72D.±72
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)算術(shù)平方根的概念進行求解即可.
【詳解】
解:4的算術(shù)平方根是2;
故選:A.
【點睛】
本題主要考查算術(shù)平方根的概念,掌握算術(shù)平方根的概念是解題的關(guān)鍵.
2.下列各式中,正確的是()
A.725=±5B.±725=5C.±>/25=±5D.J(-54=-5
【答案】C
【解析】【分析】
根據(jù)平方根以及算術(shù)平方根進行化簡計算即可.
【詳解】
解:A.>/25=5.不符合題意;
B.±>/25=±5.不符合題意;
C.±岳=±5,符合題意;
D.再=5,不符合題意;
故選:C.
【點睛】
本題考查了平方根以及算術(shù)平方根的計算,正確地計算能力是解決問題的關(guān)鍵.
3.若一個數(shù)的平方根等于它本身,則這個數(shù)是()
A.0B.1C.0和1D.±1
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)平方根的定義求解即可,如果一個數(shù)x的平方等于。,即/=",那么這個數(shù)x就叫做”的平方根.
【詳解】
解:V(+1)2=1,02=0,
平方根等于本身的數(shù)是0,
故選:A.
【點睛】
本題主要考查對平方根的理解,熟練掌握平方根的意義是解答本題的關(guān)鍵.
4.6的平方根是()
A.6B.±6C.-s/6D.土瓜
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)平方根的定義解答即可.【詳解】
6的平方根是土木.
故選:D.
【點睛】
本題主要考查了平方根的判斷,掌握定義是解題的關(guān)鍵.注意:正數(shù)有兩個平方根,0有一個平方根是它本
身,負數(shù)沒有平方根.
5.一個自然數(shù)的一個平方根是m則與它相鄰的上一個自然數(shù)的平方根是()
A.i.y/a—1B.<7—1C.1D.+-Ja2-1
【答案】D
【解析】
【分析】
先用a表示該自然數(shù),然后再求出這個自然數(shù)相鄰的上一個自然數(shù)的平方根.
【詳解】
解:由題意可知:該自然數(shù)為小,
,該自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)為"一1,
a2-l的平方根為土J6-1-
故選:D.
【點睛】
本題考查算術(shù)平方根,解題的關(guān)鍵是求出該自然數(shù)的表達式,本題屬于基礎(chǔ)題型.
6.下列說法正確的是()
A.-4的平方根是±2B.Y的算術(shù)平方根是-2
C.J記的平方根是±4D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義及求法,即可一一判定.
【詳解】
解:A.負數(shù)沒有平方根,故該選項不正確;B.負數(shù)沒有平方根,也沒有算術(shù)平方根,故該選項不正確;
C.加=4的平方根是±2,故該選項不正確:
D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0,故該選項正確;
故選:D.
【點睛】
本題考查了平方根及算術(shù)平方根的定義及求法,熟練掌握和運用平方根及和算術(shù)平方根的定義及求法是解
決本題的關(guān)鍵.
7.若一個正數(shù)加的平方根為3a-6和10-4a,則,"的值是()
A.4B.6C.16D.36
【答案】D
【解析】
【分析】
由正數(shù)的平方根互為相反數(shù),可得3?!?+10-4a=0,可求。=4,即可求加.
【詳解】
解:由題意知3a—6+10—4“=0,
解得a=4,
貝1]3。-6=3*4-6=6,
=6?=36,故D正確.
故選:D.
【點睛】
本題考查平方根的性質(zhì),熟練掌握正數(shù)的平方根的特點,是解題的關(guān)鍵.
8.若血嬴是正整數(shù),則滿足條件的根的最小正整數(shù)值為()
A.5B.6C.7D.8
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)算術(shù)平方根得出血嬴加,根據(jù)瘋嬴為正整數(shù)得出80/”是完全平方數(shù),求出即可.
【詳解】解:;阿7為正整數(shù),
.,.80w>0,80〃?是完全平方數(shù),
:80x5=400=202,
的最小正整數(shù)值為:5,
故選:A.
【點睛】
本題考查了對算術(shù)平方根的應(yīng)用,注意:。(?>0)的算術(shù)平方根是&-
9.(-1J的平方根是.
【答案】士仁2
【解析】
【分析】
根據(jù)平方根的定義進行計算,即可得到答案?
【詳解】
(-1J的平方根是:士,
故答案為:±2].
【點睛】
本題考查了平方根的知識;解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的定義:如果一個數(shù)x的平方等于。,那么這個數(shù)
X就叫做4的平方根.
10.計算:(石y=,7(-87=-
【答案】58
【解析】
【分析】
根據(jù)平方根的性質(zhì),即可求解.
【詳解】
解:(不了=5;J(-8『=8.
故答案為:5;8.
【點睛】
本題主要考查了平方根的性質(zhì),熟練掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,
11.已知a,b滿足Ja-2+。+3)2=0,則(a+b)2022的值為.
【答案】1
【解析】
【分析】
根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出4、方的值,然后代入代數(shù)式進行計算即可得解.
【詳解】
解:,:Na-2+(6+3)2=0,KUyja-2>0,(方+3)2>0,
.'.a-2=0,6+3=0,
解得〃=2,b--3,
所以,(a+b)2。22=(2-3)2。22=].
故答案為:L
【點睛】
本題考查了非負數(shù)的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握非負數(shù)的性質(zhì):幾個非負數(shù)的和為0時,這幾個非負數(shù)都為0.
12.已知x、y都是實數(shù),且丫=G1+>/^7+3,貝1]肛=.
【答案】6
【解析】
【分析】
利用算術(shù)平方根的非負性求出x值,再代入求出y值,即可求解.
【詳解】
解:1/yJx-2)-J2-X,
x—2N092—xNO,
x=2,
將x=2代入y=,x-2+J2-X+3,得:y=3,
:.xy=6.
故答案為:6.
【點睛】
本題考查了算術(shù)平方根的非負性,代數(shù)式的求值,熟練掌握并靈活運用算術(shù)平方根的非負性是解題的關(guān)鍵.
13.下列各數(shù)的平方根:
(1)64;
121
(3)0.0004;
(4)(-25)、
(5)11.
【答案】(1)+8;(2)±*;(3)±0.02;(4)±25;(5)士而
【解析】
【分析】
根據(jù)平方根的定義:如果一個數(shù)x的平方等于出那么這個數(shù)x叫做。的平方根,計算即可.
【詳解】
解:(1)因為(±8)~=64,所以64的平方根是±8,即±>/^?=±8;
(2)因為所以黑的平方根是士1,即士匡=±工;
(11)12112111V12111
(3)因為(±0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02,即土而殖=±0.02:
(4)因為(±25)2=(-25『,所以(-25)2的平方根是±25,W±y/(-25)2=±25;
(5)11的平方根是±而.
【點睛】
本題考查了平方根,熟記平方根的定義是解本題的關(guān)鍵.
14.解方程:
(1)x2=9;(2)16(x+2)2-25=0
313
【答案】(1)x=±3;(2)=--^x=~—
x44
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)平方根的意義求解即可;
(2)根據(jù)平方根的意義求解即可.
【詳解】
(1)x2—9,
?.?(±3)2=9,
x=±3;
(2)16(彳+2)2—25=0,
16(X+2)2=25,
x+2=±—,
4
【點睛】
此題考查平方根的意義,掌握平方根的意義是解答此題的關(guān)鍵.
15.(1)已知(X-1)2=4,求x的值.
(2)已知2a-1與-a+2是正數(shù)機的平方根,求,”的值.
【答案】(1)3或-1.(2)9
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)平方根的含義和求法,求出x的值即可.
(2)根據(jù)一個正數(shù)的平方根互為相反數(shù)可得出。的值,繼而得出這個正數(shù)也
【詳解】
解:(1)V(x-1)2=4,
x-1=±2,x=3或-1.
(2)2a-1與-〃+2是正數(shù),〃的平方根,
2a—1—ci+2=0,
解得:a--\,
則這個正數(shù)的值為/M=[2X(-1)-1]2=9.
【點睛】
此題主要考查了平方根.解題的關(guān)鍵是掌握平方根的知識,掌握一個正數(shù)的平方根互為相反數(shù).
16.己知x=l-34,y=4a-3.
(1)如果X的算術(shù)平方根為4,求4的值;
(2)如果x,y是同一個正數(shù)的兩個不同的平方根,求這個正數(shù).
【答案】(1)。=-5;(2)25o
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)平方運算,可得1-3〃=42,解一元一次方程,可得答案;
(2)根據(jù)同一個數(shù)的平方根相等或互為相反數(shù),可得〃的值,根據(jù)平方運算,可得答案.
(1)解:...x的算術(shù)平方根是4,
1—3a=42>
?*ci——5■
(2);x,y是同一個數(shù)的兩個不同的平方根,
(1-3。)+(4。-3)=0,
解得:4=2,
:(1-34)2=(1-3x2)2=25.
.?.這個數(shù)是25.
【點睛】
本題考查了算術(shù)平方根與平方根,熟練掌握一個正數(shù)的平方根有兩個,且這兩個數(shù)互為相反數(shù),是解題的
關(guān)鍵.
17.我們以前學(xué)過完全平方公式(?!馈?2=/±2燦+。2,現(xiàn)在,又學(xué)習(xí)了二次根式,那么所有的非負數(shù)都可
以看作是一個數(shù)的平方,如3=(百5=(石)2,下面我們觀察:
(V2-1)2=(V2)2-2xlx^+l2=2-272+1=3-2>/2,
反之,3-2&=2-2夜+1=(應(yīng)-1『,
V3-2^=(>/2-l)2
?'>>/A/3—2>/2=V2—1
仿上例,求:
⑴,4-2百;
(2)計算:(3-2夜+&2娓+V7-2V12+……+719-2790;
⑶若”藥則求4a3-9/—2。+1的值.
【答案】(1)百-1;(2)屈-1;(3)0
【解析】
【分析】
(1)利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公式直接化簡即可得解;
(2)根據(jù)前面幾個式子可猜想出其中的變化規(guī)律,直接利用規(guī)律進行化簡,然后再求和即可得解;
(3)對。二庶7依次進行分母有理化可得〃=血+1,再通過移項、平方等變形可得/=2〃+1、
.3=2/+〃,然后將其代入所求代數(shù)式,進行化簡即可得解.
【詳解】
(1)
百一1(2)/-2收+^5-2#+-7-2厄+……+J19-2廊
=&-1+百一祀+”-百+……+y/W-y/9=710-1(3)?=^^j='/2+l,:.a-l=丘,(a-l)2=2,
??a2—2a+1=2,
〃=2。+1,/=2a2+a,
??4a,—9a~—2a+1
=4(2〃+〃)一9。2-2a+l=8/+4。一9〃2_2。+1=一。2+2。+]=一(2々+1)+勿+1=0,
貝|)4/-9片-24+1的值為0.
【點睛】
本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡、完全平方公式的應(yīng)用、求代數(shù)式的值等,熟練掌握相關(guān)知識點并能夠
靈活運用是解題的關(guān)鍵.
培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練
18.求下列式子中的x:
3
(l)25(x-1)2=49;
⑵如+1)2=32.
4
【答案】(l)x/=2,雙=-二
(2)x/=7,X2=-9
【解析】
【分析】
(1)兩邊同時除以25,再開平方解一元一次方程即可;
(2)方程兩邊同時乘以2,再開平方解一元--次方程即可.
⑴
3
解:25(x-『『49,
4
解得:x/=2,X2=--;
(2)
y(X+I)2=32,
(x+1)2=32x2,
(x+1)2=64,
x+l=±8,
x+l=8或x+1=-8,
解得:x/=7,X2=-9.
【點睛】
此題考查了利用平方根定義解方程,正確理解并掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵.
19.交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計車輛行駛的速度,他們總結(jié)了一個經(jīng)驗公式:「=16荷,
其中v表示車速(單位:千米時),4表示剎車后車輪滑過的距離(單位:米),f表示摩擦因數(shù).在某次交通
事故調(diào)查中,測得d=25米,/=1.44,而該路段的限速為80千米時,肇事汽車當(dāng)時的車速大約是多少?
此車是否超速行駛?
【答案】96「米/時,此車超速行駛
【解析】
【分析】
此題只需把d=25米=0.025千米,戶1.44,代入v=16j彳,求得v的值后,再進一步和80千米比較,作出
判斷即可.
【詳解】
解:由題意知v=16歷=16x,25xl.44=16x6=96(千米/時).
96千米/時>80千米/時,
答:肇事汽車當(dāng)時的速度大約是96千米/時,此車超速行駛.
【點睛】
此題主要考查了算術(shù)平方根在實際中的應(yīng)用,正確理解題意是解題的關(guān)鍵.20.(1)填寫下表:
a0.00010.011100100001000000
(2)由上表你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?請用文字語言敘述你發(fā)現(xiàn)的這一規(guī)律;
(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空.
①已知75=1.414,720?4.472,那么7555X______,A/2000?,^/02?,^/(Hj2?
②若石2141.4,貝ij"=.若揚=0.04472,貝.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)①14.14,44.72,0.4472,0.1414;②20000,0.002
【解析】
【分析】
(1)利用算術(shù)平方根定義計算,填寫即可;
(2)找出得到的規(guī)律,用語言敘述即可.
(3)利用(2)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進而分別得出各數(shù)據(jù)答案.
【詳解】
解:(1)填表如下:
a0.00010.01110010000
0.010.1110100
的小數(shù)點向左(或向右)移到兩位,算術(shù)平方根小數(shù)點向左(或向右)移到一位.
⑶①14.1444.720.44720.1414②200000.002
【點睛】
本題主要考查了算術(shù)平方根的性質(zhì),解題需注意被開方數(shù)的小數(shù)點和相應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點之間的互
換關(guān)系,熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解本題的關(guān)鍵.
21.你能找出規(guī)律嗎?
(1)計算:74x79=,^/4^9=,716x^25=,(16x25=;
(2)根據(jù)找到的規(guī)律計算:舟后;(3)若“=a,b=M,用含a,b的式子表示而.
【答案】(1)6;6;20;20;規(guī)律見解析;
(2)9
⑶曬=ab
【解析】
【分析】
(1)首先求出每個算式的值是多少,然后總結(jié)出規(guī)律:&義屈=箍(?>0,b>0),據(jù)此判斷即可.
(2)根據(jù)而、揚=而進行解答即可.
(3)根據(jù)“=應(yīng),b=M,可得而=J2xl0=0xx>/ni=a6,據(jù)此解答即可.
(1)
:"x?=2x3=6,74^9=736=6,716x725=4x5=20,716x25=>/400=20,
二總結(jié)出的規(guī)律是:日義韭=寂(fl>0,b>0).
故答案為:6;6:20;20
⑵
限厲=13*27=a=9;
(3)
":a=6,b=M,
V20=V2xl0=\/2xxy/\0=ab,
【點睛】
此題主要考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)和應(yīng)用,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是注意觀察總結(jié)出規(guī)律,并能正
確的應(yīng)用規(guī)律.
22.【初步感知】
(1)直接寫出計算結(jié)果.
①"二;
@Vi772r=;③《+23+33=;
?713+24+33+43=;
【深入探究】觀察下列等式.
@1+2=(1^;
②]+2+3=(1+;)>3.
@l+2+3+4=(1+^)x4;
Z-X1cr/u(1+5)x5
@l+2+3+4+5=--;—;
根據(jù)以上等式的規(guī)律,在下列橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容.
c(1+2022)x2022
(2)=-------------;
(3)1+2+3+?,?+〃+(〃+1)=f
【拓展應(yīng)用】計算:
(4)Vl3+23+33+---+993+100,;
(5)113+123+133+--.+193+203.
【答案】⑴①1②3③6@10
(2)1+2+3+…+2021+2022
(3)(〃+1)(〃+2)
2
(4)5050
(5)41075
【解析】
【分析】
(1)直接計算即可;
(2)根據(jù)前4個式子的規(guī)律填空即可:
(3)根據(jù)規(guī)律可得1+2+3+…+“+(n+1)=(〃+1)("+2);
2
(4)根據(jù)(1)的計算可得原式=1+2+3+…+100;(5)根據(jù)規(guī)律可得原式=(P+23+33+...+193+203)-
(P+23+33+...+93+103),再根據(jù)規(guī)律計算即可.
(1)
解:①/=1;
②《+23=3;
③JF+23+33=6;
④JT+2,+33+43=IO
故答案為:①1②3③6@10
(2)
解:由規(guī)律可得:1+2+3+...+2022=(1+2022)X2022,
2
故答案為:1+2+3+...+2022;
(3)
徐昆:1+2+3+,??+〃+(〃+1)=-----------.
2
“公(〃+1)(九+2)
故答案為:——△——
2
(4)
解:原式=1+2+3+…+100=000叫Xl°n=5050;
2
(5)
解:原式=(13+23+33+...+193+203)-(13+23+33+-+93+103)
=(#+23++2()3)2-(Vl3+23+...+103)2
=(1+2+...+20)2-(1+2+...+10)2
21x20,11x10,
22
=2102-552
=41075.
【點睛】
本題考查規(guī)律型:數(shù)字的變化類,能夠根據(jù)式子的變化得到規(guī)律是解題關(guān)鍵.
培優(yōu)第三階——中考沙場點兵
23.(2022?四川涼山?中考真題)化簡:必了=<)
A.i2B.-2C.4D.2
【答案】D
【解析】
【分析】
先計算(-2)2=4,再求算術(shù)平方根即可.
【詳解】
解:=4=2,
故選:D.
【點睛】
本題考查算術(shù)平方根,熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.
24.(2022?四川瀘州?中考真題)-4=()
A.—2B.—C.4D.2
22
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)算術(shù)平方根的定義可求.
【詳解】
解:-y/4=-2,
故選A.
【點睛】
本題考查了算術(shù)平方根的定義,要注意正確區(qū)分平方根與算術(shù)平方根,解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)
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