2022版高中數(shù)學(xué)理人教A版一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)：四十一 數(shù)列的綜合應(yīng)用

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課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練

四十一數(shù)列的綜合應(yīng)用

基礎(chǔ)落實(shí)練—?（30分鐘60分）

一'選擇題（每小題5分，共25分）

1.等差數(shù)列｛劣｝的首項(xiàng)為1,公差不為0,若該，。3,恁成等比數(shù)歹U，

則數(shù)列｛見｝的前6項(xiàng)和為（）

A.17B.9C.10D.-24

【解析】選D.設(shè)｛?。墓顬閐（dW0）,

因?yàn)槎?,。3,。6成等比數(shù)列，

2

所以%=。2*。6，

即（ai+2J）2=3+e（a]+5J）,

所以/+2。1=0,

因?yàn)閐WO,所以d=-2ai=-2Xl=-2,

6義5

所以數(shù)列｛?！ǎ那?項(xiàng)和為§6=1X6+”-X（—2）=—24.

2.圖一為勾股樹，它是一個(gè)直角三角形分別以它的每一邊向外作正方

形而得到.圖二是第1代勾股樹，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2

代勾股樹，以此類推，已知最大的正方形面積為1,則第〃代勾股樹所

有正方形的個(gè)數(shù)與面積的和分別為（）

<x>

圖二圖三

A.2"—1,nB.2"—1,n+1

C.2n+1-l,nD.2"+'~l,n+1

【解析】選D.當(dāng)〃=1時(shí)，正方形有2°+2】個(gè)，

當(dāng)〃=2時(shí),正方形有2°+2]+22個(gè)...

則第〃代勾股樹的正方形有20+2」22+…+2”=2小一1個(gè)，最大的

正方形面積為1,當(dāng)〃=1時(shí)，由勾股定理知正方形面積的和為2,以

此類推，所有正方形面積的和為〃+1.

3.設(shè)｛q?｝是等比數(shù)列，且。]+。2+。3=1，。2+的+。4=2,則。6+。7+

。8=()

A.12B.24C.30D.32

【解析】選D.設(shè)等比數(shù)列｛時(shí)｝的公比為公

則+。2+的=。1(1+4+夕~)=1，。2+。3+。4=。/+。1/+。1/=

。q(1+<?+/)=q=2,

因此，。6+。7+。8=。1/+。聞6+。聞7

=4]/(l+q+/)=q，=32.

4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說：九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子

做盤纏；次第每人多十七，要將第八數(shù)來言；務(wù)要分明依次第，孝和

休惹外人傳，說的是，有996斤棉花全部贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從

第1個(gè)孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個(gè)孩子為止.在這

個(gè)問題中，第1個(gè)孩子分到的棉花為（）

A.75斤B.70斤C.65斤D.60斤

【解析】選C.設(shè)第1個(gè)孩子分到的棉花為。斤，根據(jù)題意可知，從第

1個(gè)孩子開始，以后每人分到的棉花是以。為首項(xiàng)，以17為公差的等

/8X7

差數(shù)列，§8=8。+3一X17=996,解得a=65.

5.數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且數(shù)列｛log34｝是等差數(shù)列，若。5。6

+。4。7=18,則10g3Ql+10g3a2-l----FlOg3?10=（）

A.12B.10

C.8D.2+log35

【解析】選B.因?yàn)閿?shù)列｛log3。"｝是等差數(shù)列，

Clfj+]

所以log36Z?+1—log3tz?=log3~—=d，

所以?1=3",?eN*,

所以數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，所以。5。6=。4。7，

又a5a6+。4。7=18,所以a5a6=a4a7=9,

所以2a9=…=。4。7=。5。6=9,

所以Iog34l+log342T---t-log3?w

=10g3（t/ltZ2*''^10）=log395=10.

二、填空題（每小題5分，共15分）

6.已知衡量病毒傳播能力的最重要指標(biāo)叫做傳播指數(shù)RO.它指的是，

在自然情況下（沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力），一個(gè)感染到

某種傳染病的人，會(huì)把疾病傳染給多少人的平均數(shù).它的簡(jiǎn)單計(jì)算公

式是RO=1+確診病例增長(zhǎng)率X系列間隔，其中系列間隔是指在一個(gè)

傳播鏈中，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間(單位：天).根據(jù)統(tǒng)計(jì)，確診病例

的平均增長(zhǎng)率為40%,兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間的平均數(shù)是5天，根

據(jù)以上RO公式計(jì)算，若甲得這種傳染病，則4輪傳播后由甲引起的

得病的總?cè)藬?shù)約為.

【解析】由題意知，RO=1+40%X5=3,所以得病總?cè)藬?shù)為3+3z+

33+34=120(人).

答案：120

7.(202。泰州模擬)設(shè)函數(shù)")=三+1,若m/c成等差數(shù)列(公

差不為零)，則犬。)+?)=.

【解析】因?yàn)閎,c成等差數(shù)列，所以20=a+c,

1_c—b-\-a-b_a-\-c—2b

1c—b1(a-h)(c-b)2(a—b)(c—b)?

答案：2

8.(2020?如皋模擬)對(duì)于任意一個(gè)偶數(shù)機(jī)，都存在奇數(shù)〃及其正整數(shù)3

使得加=〃",我們把〃稱為根的“奇因子”.若數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公

式為an~

〃2?2"+2—2",則該數(shù)列的前〃項(xiàng)的“奇因子”的倒數(shù)之和為?

【解析】因?yàn)?。產(chǎn)7?2"+2-2"=2〃(4"2—1),所以奇因子為4人一1,所

以奇因子的倒數(shù)為薪匕，

即二?一市H，其前〃項(xiàng)和為

2義0―]+/5+…十月―討

=1n

~2入C2n+lJ-2〃+1.

答案：舟

三'解答題（每小題10分，共20分）

9.（2021?臨滄模擬）已知數(shù)列｛aj是公差不為0的等差數(shù)列，首項(xiàng)a.=l,

且aba2,a1成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

a

（2）設(shè)數(shù)列｛、｝滿足bn=an+2n,求數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和Tn.

【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛aj的公差為d,由已知得,砂二2冏，即（1+d）2=1+3d,

解得d=0或d=1.

又dWO,所以d=1,可得an=n.

n123n

(2)由(1)得bn=n+2,所以T=(1+2)+(2+2)+(3+2)+?--+(n+2)

二(1+2+3+…+n)+(2+22+23+--+2n)=^^+2n+1-2.

2

n+1

10.已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和Sn=2+n-2.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

+

(2)設(shè)b?=log2(an-l),iiE:,*TT-〈L

b2b3b3b4匕71%+1

=2n+1+n-2,

【解析】⑴由《

S=2^+(n-l)-2(n>2),

得anN+l(n，2),

n

當(dāng)n=1時(shí),ai=Si=3符合上式,綜上an=2+1.

(2)由bn=log2(an-1)=log22-n,

111

得++□—++-----=2-+2-+2-+

b3b4

匕速2。2。3bnbn+i1X22X33X4

1

+--------：+???，.得證.

n(n+l)

素養(yǎng)提升練■（20分鐘35分）

1.在等差數(shù)列｛&"｝中，＜21=—2020,其前〃項(xiàng)和為5”，若色—JQ=

2,則S2021=()

A.-2020B.0

C.2020D.2021

【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列｛恁｝的公差為d,

S12。1+02Sioai+?0

12=-2-'To=-2"

S12_S]0_0+。12。1+/0_2d_

12—而=-Y~-2—=T=d=2,

2021X2020

則

52021=(-2020)X202142X2=0.

2.設(shè)數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和為S”，且卬=1,｛5.+〃?！ǎ秊槌?shù)列，則

%=()

A./B?"

65—2n

C.D?

(幾+1)(〃+2)

【解析】選B.由題意知S”+〃a”=2,當(dāng)〃22時(shí)，S?-i+(n—l)aM-i=2,

所以(〃+l)a”=("—I)%-],從而由累乘法得，—?—?—....烏

0]。2。3fln-1

123n-l

一?一.—.???.------

345〃+1'

2,

故(〃+])，當(dāng)〃=1時(shí)上式成立，

所以a,,=n(n+1),

【加練備選?拔高】

n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按題中所示規(guī)律排列，則從2018到2020的箭頭方向

依次為

()

03―>47?811

A人

YVf

1—>25—>69-?10

A.tfB.-*tC.Jr-?D.-*i

【解析】選A.選取1作為起點(diǎn)，由題可知，位置變化規(guī)律是以4為周期，

由于2018=4X504+2,可知2018在2的位置，2019在3的位置，2020

在4的位置，則選項(xiàng)A符合題意.

3.(2020?北京模擬)《九章算術(shù)》的盈不足章第19個(gè)問題中提到：“今

有良馬與弩馬發(fā)長(zhǎng)安，至齊.齊去長(zhǎng)安三千里.良馬初日行一百九十

三里，日增一十三里.弩馬初日行九十七里，日減半里……”其大意

為：“現(xiàn)在有良馬和弩馬同時(shí)從長(zhǎng)安出發(fā)到齊去.已知長(zhǎng)安和齊的距

離是3000里.良馬第一天行193里，之后每天比前一天多行13里.弩

馬第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”試問前4天，

良馬和弩馬共走過的路程之和的里數(shù)為()

，

M?I牛

「

型

福

HF.有

冷wlA

n'再Bu

之?A

行

易i

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_十

同

tlXT:#九

豐

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八H

_同

一

三

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*十

行

日_

五

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七

H十

行*

十

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五

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百

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十

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三

RII長(zhǎng)

布

何

襟

十

星

星

舟

軍

H行

不

七

！4

一

十

一

三

借

足

里

百

五

方^

年

球

九

」

_寺

_

_

A.1235B.1800C.2600D.3000

【解析】選A.因?yàn)殚L(zhǎng)安和齊的距離是3000里.良馬第一天行193里,

之后每天比前一天多行13里.鸞馬第一天行97里，之后每天比前一

天少行0.5里，所以前4天，良馬和鸞馬共走過的路程之和的里數(shù)為：

(,4X3),,4X3(H

S4=[4X193+^-X13j+[4X97+-y-><[一9]=1235.

【加練備選?拔高】

'(3-癡(%-3)x<7

設(shè)函數(shù)f(x)=’一，數(shù)列｛的｝滿足4=f(n),n￡Nr且

jnx-6,x>7

數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【解析】由題知3-m>0,m>0且a>a,則Ym<3,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是

872

停，3)

答案：(|，3)

4.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為(〃￡N+),求其前30項(xiàng)中

最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)與最小項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和.

r色“太斤］〃一遮^99-^98

【解析】5廣弼T+〃-眄'

所以當(dāng)〃W9時(shí)，用隨著n的增大越來越小且小于1,當(dāng)10W〃W30時(shí),

a”隨著〃的增大越來越小且大于1,則前30項(xiàng)中最大項(xiàng)為勾()，最小項(xiàng)

為外，則9+10=19.

5.(2020?膠州模擬)已知數(shù)歹！］｛勾｝的前〃項(xiàng)和為S,”Sn+a?=n+2,n

￡N*.

(1)證明：數(shù)列｛。〃-1｝為等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列｛小｝滿足：an=bn+i—bn+l,bi=l,證明：h?<2.

【證明】(1)由題知：5”+?！?〃+2,=1(〃22),

兩式相減得2。〃一恁_1=1(〃22),

a?-11

所以2(。”-—1(〃22),~r=5(八22),

CLn—\—1Z

3

又因?yàn)?1+。1=3,所以0=］,

因?yàn)?-1=3wo,所以數(shù)列｛?！币?｝是首項(xiàng)為:，公比為g的等比數(shù)

列.

(2)由⑴知斯一1=(,得0"=1+￡,

==

所以dn-1bn+i-bn~^n，

所以。”=加+（。2—。1）+（仇一^2）H-----/??-］）=1+^+*H--------------F

2〃一］，所以。”=2-2，1<2.

培優(yōu)創(chuàng)新練

1.在進(jìn)行1+2+3+…+100的求和運(yùn)算時(shí)，德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯提出

了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定

的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知數(shù)列

幾

2〃7+4()34，則2H-----Fa,”+2016=()

771777

A.y+504B.+504

C.m+504D.2m+504

【解析】選B.依題意，記S=ai+a2T-----加+2016,

,1,2,川+2016

貝?q=--------------4--------------+…-------------

J2m+40342m+40342m+4034,

m+2016,m+2015,,1

q---i--i-???—i—

2m+40342m+40342m+4034'

k-i~m+2017,m+2017,,m+2017

兩式相叱于2s=2.+4034+2m+4034+，，，+2m+4034

m+2016m+2016=￡+504.

~2~則5=~1~

【加練備選?拔高】

已知數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列數(shù)"｝的前n項(xiàng)和為己滿足a=2,

3Sn=(n+m)a,?(meR,nGN*)且a?bn=^.若對(duì)任意n￡N*,TW入恒成立,

則實(shí)數(shù)人的最小值為

【解析】因?yàn)?Sn=(n+m)an,

令n=1有3S,=(1+m)ab可得m=2,

所以3Sn=(n+2)an,

當(dāng)n，2時(shí)，3Sn-F(n+l)an-b

故

3an=(n+2)an-(n+l)an-i,(n-1)an=(n+1)?an-i,

a_an-ia_an-i

即nn

n+1n-19n(n+l)(TIT)TI'

故｛號(hào))為常數(shù)列，

aaa

所以n__i_i_

n(n+l)1(1+1)2’

又3i—2,故