2022北京高考真題數(shù)學(xué)(含答案)

絕密★本科目考試啟用前

2022北樂(lè)圖考真題

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束

后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

(1)已知全集(/={x]—3<x<3},集合A={x[—2<x〈l},則。。力二

(A)(-2,1](B)(-3,-2)u[1,3)

(C)[-2,1)(D)(-3,-2]u(1,3)

(2)若復(fù)數(shù)z滿足i?z=3—4i,則忖=

(A)1(B)5

(C)7(D)25

(3)若直線2x+y-1=0是圓+丁=1的一條對(duì)稱軸，則。=

(A)-(B),1

22

(C)1(D)-1

(4)己知函數(shù)/(x)=」一,則對(duì)任意實(shí)數(shù)

X,有

1+2

(A)/(-%)+/(x)=0(B)/(-x)-/(x)=0

(C)/(-x)+/(x)=l(D)

(5)己知函數(shù)/(xXcc^x-sin'x,則

(A)在(―萬(wàn)>，—不[上單調(diào)遞減在卜上單調(diào)遞增

(B)

(C)/(X)在(0,。)上單調(diào)遞減/(X)在[?，卷]上單調(diào)遞增

(D)

(6)設(shè){%}是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列,則“{q}為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N。，當(dāng)〃〉N。時(shí)，，7“〉0”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(7)在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨

臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)，如圖描述了一定條件

下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和1g尸的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是

K；尸表示壓強(qiáng),單位是bar,下列結(jié)論中正確的是

(A)當(dāng)7=220,P=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

(B)當(dāng)7=270,P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

(C)當(dāng)7=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

(D)當(dāng)T=360,P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

4432

(8)若(2x-I)=a4x+a3x+a2x+a}x+an,則a0+a2+a4-

(A)40(B)41

(C)-40(D)-41

(9)已知正三棱錐P—ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，設(shè)集合

T={QeS\PQ?5},則T表示的區(qū)域的面積為

.、3九

(A)—(B)71

4

(C)2〃(D)37t

(10)在/XABC中,AC=3,BC=4,ZC=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,^PA-PB

的取值范圍是

(A)[-5,3](B)[-3,5]

(C)[F4](D)[<可

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題,每小題5分，共25分。

函數(shù)/(x)=4+Jl-x的定義域是.

(11)

尤2h

(12)己知雙曲線丁+一=1的漸近線方程為＞=±4尢，則〃?

m3

若函數(shù)/(x)=Asinx-bcosx的一個(gè)零點(diǎn)為?，則A=71

(13)

12

—1,x<a

(14)設(shè)函數(shù)/(%)=?,若/(x)存在最小值，則。的一個(gè)取值為.；a的最大值為

U-2)2,

(15)已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前九項(xiàng)和S”，滿足。,「5“=9(〃=1,2,)給出下列四個(gè)結(jié)論：

①｛q｝的第2項(xiàng)小于3；②｛q｝為等比數(shù)列；

③｛4｝為遞減數(shù)列；④｛4｝中存在小于焉的項(xiàng)。

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

(16)(本小題13分)

在/SA8c中，sin2C=GsinC.

(I)求NC：

(H)若8=6,且△ABC的面積為66,求△ABC的周長(zhǎng).

(17)(本小題14分)

如圖，在三棱柱ABC—中，側(cè)面6CGg為正方形，平面6CG用，平面A64A，AB=BC=2,M,N

分別為44，AC的中點(diǎn).

(I)求證：MN〃平面BCCR；

(II)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求

直線AB與平面BMN所成角的正弦值。

條件①：AB上MN；

條件②：BM^MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。

(18)(本小題13分)

在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀

獎(jiǎng)，為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：

m)：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙:9,85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立

(I)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

(II)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX；

(Ill)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證明)

(19)(本小題15分)

)2

x~V

已知橢圓=l(a〉b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(O,1),焦距為2G.

(I)求橢圓E的方程:

(II)過(guò)點(diǎn)P(—2,1)作斜率為Z的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)8,C,直線AB,AC分別與x軸交于點(diǎn)M,N,當(dāng)

|MN|=2時(shí)，求攵的值。

(20)(本小題15分)

己知函數(shù)/(x)=exln(l+x).

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(I)設(shè)g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+oo)上的單調(diào)性；

(III)證明：對(duì)任意的e(0,+8),有/(s+，)>f(s)+f(t).

(21)(本小題15分)

己知。：%,生，，%為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)機(jī)，若對(duì)任意的〃e{1,2,,加},在。中存在

a},aM,aj+2,,ai+J(j..O),使得q+a,*|+q*2++ai+j=n,則稱。為機(jī)一連續(xù)可表數(shù)列.

(I)判斷。：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；

(H)若Q:q，4，，以為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：攵的最小值為4；

(ID)若。：％,。2,，4為20—連續(xù)可表數(shù)列，%+。2+…+4<20,求證：k>l.

參考答案

一、選擇題

12345678910

DBACCCDBBD

1【解析】C"=(—3,—2)Q3)

2.【解析】由條件可知2=^^=-4一3，所以目=5

3.【解析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，圓心坐標(biāo)(出0),所以由2〃+0-1=0解得。=工

2

112、2*+1

4.【解析】由/⑴二「^，可得/(一外二丁)二丁^,所以得

5.【解析】/(x)=cos2_r-sin2x=cos2x,選項(xiàng)A中：2x￡(-乃，一?),此時(shí)/(元)單調(diào)遞增，選項(xiàng)8中:

2xe(—令，此時(shí)/(x)先遞增后遞減，選項(xiàng)C中：2xe(0,斗)，此時(shí)/(x)單調(diào)遞減，選項(xiàng)D中：

2x嗎?)，此時(shí)/(x)先遞減后遞增；所以選C

6.【解析】①充分性證明：

若｛凡｝為遞增數(shù)列，則有對(duì)VneN,a?+l>an,公差d=an+l-a?>0,

取正整數(shù)N0=-幺+2(其中-%為不大于-幺的最大正整數(shù))，

[_ddd

則當(dāng)〃〉N0時(shí)，只要%>0,都有%=%+(〃—l)d>q+(-%+l)J>0;

Ld_

②必要性證明：

若存在正整數(shù)N0,當(dāng)〃〉時(shí)，4>°，

因?yàn)?=4

所以d>《二以，對(duì)V〃>No，〃eN都成立

n

因?yàn)閘im上幺=0,且4工0

所以rf>0

所以對(duì)N,都有a?+l-an=t/>O,an+1>an,即：｛4｝為遞增數(shù)列；

所以“｛q｝為遞增數(shù)列''是"存在正整數(shù)N。,當(dāng)〃〉N。，時(shí)，a?>0”的充要條件”

所以選C

7.【解析】

A選項(xiàng)：lgP=lgl026>3,T=220,由圖易知處于固態(tài)；

B選項(xiàng)：lg尸=lg128>2,7=270,由圖易知處于液態(tài)；

C選項(xiàng)：lgP=lg9987a3.999,7=300,由圖易知處于固態(tài)；

D選項(xiàng)：lgP=lg729>2,7=360,由圖易知處于超臨界狀態(tài)；

所以選D

8.【解析】

當(dāng)x=l時(shí)，1="4+%+。>+%+%①；當(dāng)4-1時(shí)，81=%—%+%—6+/②；①+②得原式=41

9.【解析】

過(guò)點(diǎn)P作底面射影點(diǎn)O,則由題意，。0=2百,「。=6,所以20=2遍,當(dāng)(70上存在一點(diǎn)。使得/>2=5,此時(shí)

QO=1,則動(dòng)點(diǎn)Q在以QO為半徑，O為圓心得圓里，所以面積為〃

10.【解析】

方法一：

建立如圖所示坐標(biāo)系，由題易知，設(shè)。(0,0),A(3,0),B(0,4),

因?yàn)镻C=1,所以設(shè)P(cossin0\0G[0,2TF],

PA-PB=(3-cos6^,-sin6)?(—cos夕,4-sin0)=-3cos0.-4sin0+cos2夕+sin?0

=1—5sin(9+°)(sin夕=[,cos9=1)￡[-4,6],

所以選D

方法二：

注意：<PC,CB>=色一<PC,C4>,且CAC5=0

2

所以PB=(PC+CA)-(PC+CB)

.2

=PC+PCCA+PCCB+CACB

二、填空題

11.【答案】(…,0)(0,1］

【解析】依題意1解得XG(-oo,0)U(0,ll

l-x>0,

12.【答案】—3

【解析】雙曲線>2+一=1的漸近線方程為y=±-7==，故%=一3

myj-m

13.【答案】1,一

【解析】/(-)=Asin--^cos-=-71--=0,MWA=l

33322

/(x)=sinx-cosx—2sin(x-(-^)=2sin(-^—y)=2sin(一()=一桓

14.0(答案不唯一),1

【解析】由題意知，函數(shù)最值于單調(diào)性相關(guān)，故可考慮以0,2為分界點(diǎn)研究函數(shù)兀v)的性質(zhì)，當(dāng)x<0時(shí)，

段)=?+l,x<a,該段的值域?yàn)?-00,-?2+1),故整個(gè)函數(shù)沒(méi)有最小值；當(dāng)。=0時(shí)，段)=3+1該段值域?yàn)閧1},而

/(%)=(%-2)2)2。的值域?yàn)椋?,+00),故此時(shí)段)的值域?yàn)椋?,+00),即存在最小值為0,故第一個(gè)空可填寫0；當(dāng)

0<把2時(shí)，段)=zx+l,x<a,該段的值域?yàn)?一/+1,+00),而/(x)=(x-2)2,xZ。的值域?yàn)椋?,+8),若存在最小值，則

需滿足一4+1?0,于是可得o<a<1；當(dāng)公2時(shí)/龍)=-辦+1該段得值域?yàn)?4+1,+8),而/(x)=(%—2-,x2a

的值域?yàn)椋?a-2f,+8),若存在最小值，則需滿足-/+12(0-2)2,此不等式無(wú)解.綜上，a的取值范圍是［0,1］,故a

的最大值為1.

15.【答案】①③④

【解析】”=1可得。：=9,又各項(xiàng)均為正，可得4=3,令n=2可得生(3+生)=9,可解得

3(75-1)99994一9一a；

a,=—~~^<3,故①正確；當(dāng)*2時(shí)，由S“==得S----,于是可得=--------,即，若

a

2ann-\a“a,Ian-\9

｛4｝為等比數(shù)列，則應(yīng)2時(shí)，《用=。“，即從第二項(xiàng)起為常數(shù)，可檢驗(yàn)〃=3則不成立，故②錯(cuò)誤;

a

a,,-S“=9(〃=1,2…).可得an-Sn=an+i-Sn+i，于是3=2<1,所以an+t<a?，于是③正確，對(duì)于④，若所有項(xiàng)

a

,,Sll+I

均大于等于擊，取〃>90000,則42+,5.>900,于是4尸“>9,與已知矛盾，所以④正確.

三、解答題

16.(I)由已知2sinCcosC=GsinC

由于NC在A4BC中，故0<NC(肛sinCHO,故cosC=43

2

zc=i

(II)由(I)知sinC=一,「.50族,6sinC=6G代入sinC?L〃=6得。=4百

由余弦定理：C=[a1+/?2-2-<cosC=2>/3,

??^MBC=+6>/3

17.(1)設(shè)點(diǎn)P為A8中點(diǎn)，由于P為A8中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)

所以尸N為A4BC中位線

PN〃BC

又M為AB中點(diǎn),PM是正方形的中位線

所以PM〃BB]

BB、〃PM

BC//PN

n面8CG4〃面MPN

BBiBC=B

PMCPN=P

又MNq面MPN

.?.MN〃面BCCg

(2)選擇條件①，：面BCC｝耳±面ABB1A

面BB￡C面ABC=BC,面4B}BA面ABC=AB

BC1AB,又NP//BC

.,.NPJ.AB,又由①：MN1AB

NP1AB

：.<MNLAB=>面MNP1AB

NPMN=N

PMu面MNP,

PM1AB

故AB,BC,B4兩兩垂直

以B為原點(diǎn),BC為x軸正方向，函為y軸正方向，為z軸正方向建立坐標(biāo)系

B:(0,0,0),M(0,1,2),AT：(1,1,0),A:((),2,0),BM:(0,1,2),B7V:(1,1,0),AB:(0,-2,0)

則BMN的法向量”：(2,-2,1)

ABn_-4_2

48與面BMN所成角的正弦等于A3與〃所夾余弦的絕對(duì)值，即

卜明〃|63

答：所求正弦為三2.

3

18.(1)甲共投10次,優(yōu)秀4次

42

由頻率估計(jì)概率/優(yōu)秀

To5

丙優(yōu)秀概率為‘X,X可取的值為0,1,2,3

522

3113

故尸(x=0)==x一義一=又二

52220

?,,211311311

&X=D=—x—X—+—X—X—+—X—X—=-

522522822

n/311311311

P(x=2)=—x—x--F—x—x—+—x—x—=

522522522

?c、2112

P(x=3)=-x—x—=——

52220

33717

,-.￡X=0x—+lx-+2x—+3x—=-

20520105

(3)丙：丙投到過(guò)3人中的最大值9.85,比甲、乙的最大值都要大，若比賽中發(fā)揮出好狀態(tài)，丙實(shí)力最強(qiáng)。

19.

(1)由已知/?=1,2c=26,a=2,E:—+y12=1

4

(2)由題可設(shè)直線方程為：y-1=k(x+2),B=(xi,yi)C:(x2,y2)

y-1=k(x+1),

聯(lián)立直線和橢圓E方程：/

—+y2=\,

I4,

可得=(4%2+1)82+(1642+8A)X+(16%2+16%)=0

由A>0可得(16k2+8左產(chǎn)-4x(1+4攵2)(16k2+\6k)>0,解得由0,

—(16公+8%)\6k2+l6k

根據(jù)韋達(dá)定理可得=，%1%2

4^+14左2+1

直線AB的斜率為kAH=&二！,AB的直線方程為：y=上二1+1,

王X,

令產(chǎn)0,可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為=一^,同理可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)/=一匚

'1-X1-%

則有

-g+2)/々X+2)1+2々+2

\MN\不2王)

i-yif

2

1x(Xj+2)-Xj(x+2)12-y(%,+x2)—4X,X2

22=2,

kx,x24-2(X1+X2)+4kx[x2+2(x,+x2)+4

j-(166+84)丫16公+16Z

*1+4-2-)-1+4F

代入韋達(dá)定理可得-

k\6k2+l6kJ-16k2-Sk}.

1+4/I1+4女2

64(2/:2+A:)2-4x16(k2+k)(\+4k2)

1N1+4S

化簡(jiǎn)可得:

~k16公+16攵—32%2―16%4+16P

1+4公1+4F1+4公

即L4"/+4/+二一4/一4二一公一，二2

k

可得l^p|=1,兩邊平方則有m=；，解得k=-4

故女的值為-4.

20.解：(1)尸(x)=e'[ln(l+x)+」一],則/>'(())=1,又/?(())=0,故所求切線方程為產(chǎn)x

1+x

2]

(2)g\x)=eW+x)+-——-~~-],

1+X(1+X)

21+2%八

又e*>0,ln(l+x)+-v>lnl+------7>0

1+x(1+x)2(1+幻2

故g'(%)>0對(duì)Vxe[0,+oo)成立，g(x)在[0,+oo)上單調(diào)遞增

(3)證明：不妨設(shè)於f,由拉個(gè)日朗中值定理

小)，其中“Ss+H,即加+力-/⑶/?

/“)一《°)=1①)，其中"e(0,f)，即/(0-/(0)=(f'(/?)

由g(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，故/'C)>/'(Z7)

f(s+t)-f(s)>fit)-/(0)=f(t)

.1?/(s+f)>/G)+/(f)證畢

21.【解析】(1)若加=5,則對(duì)于任意〃6{1,2,3,4,5}

a2=1=1，4=2=2,G+a2=2+1=3,%=4=4,a,+a3=1+4=5,

所以。是5-連續(xù)可表數(shù)列；

由不存在任意連續(xù)若干項(xiàng)之和相加為6,所以。不是6-連續(xù)可表數(shù)列；

1a

(2)反證法：假設(shè)k的值為3,則q,a2,6最多能表示6，?2i'q+“2，。2+。3嗎+。2+4共6個(gè)數(shù)字，

與。為8-連續(xù)可表數(shù)列矛盾，故后4；

現(xiàn)構(gòu)造Q：1,2,3,4可以表達(dá)出1,2,3,4,5,6,7,8這8個(gè)數(shù)字，

即存在仁4滿足題意，故々的最小值為4；

(3)用反證法證明：假設(shè)狂6,

①不妨取06,因?yàn)椤?0-可表數(shù)列，且q+a2+a3+---+ak<20,

所以有一項(xiàng)必為負(fù)數(shù)，所以最多有5項(xiàng)時(shí)正數(shù).

(i)假設(shè)6項(xiàng)中，1項(xiàng)是負(fù)數(shù)，5項(xiàng)是正數(shù)，

從6個(gè)正數(shù)中，取一個(gè)數(shù)字只能表示自身，共6個(gè)數(shù)字，

取兩個(gè)數(shù)字能表示5個(gè)數(shù)字，取三個(gè)數(shù)字能表示4個(gè)數(shù)字，

取四個(gè)數(shù)字能表示3個(gè)數(shù)字，取五個(gè)數(shù)字能表示2個(gè)數(shù)字

取六個(gè)數(shù)字能表示1個(gè)數(shù)字，可以表示6+5+4+3+2+1=21個(gè)整數(shù).

但是其中有一項(xiàng)是負(fù)數(shù)，所以最多能表示20個(gè)正整數(shù)，

即除去單個(gè)的負(fù)數(shù)項(xiàng)，剩下的連加形成的數(shù)字必須是1,2,3,-,19,20.

假如負(fù)數(shù)在中間，因?yàn)榱鶖?shù)連加小于20,所以將沒(méi)有一個(gè)連加項(xiàng)之和為20,

所以負(fù)數(shù)必然在首或者尾，不妨設(shè)4<0,

想到每一個(gè)項(xiàng)在連加中都用了6次，

這些連加產(chǎn)生了一項(xiàng)負(fù)數(shù)和1,2,3,???,19,20共21個(gè)整數(shù)，

所以由和相等可得4+1+2+…+20=63+4+/+…+4)=6(4+20)

解得：q=18>0,與q<0,矛盾，故假設(shè)不成立.

即假設(shè)6項(xiàng)中，1項(xiàng)是負(fù)數(shù)，5項(xiàng)是正數(shù)，不能滿足題意；

(ii)再假設(shè)6項(xiàng)中，2項(xiàng)是負(fù)數(shù)，4項(xiàng)是正數(shù)，或其他情況，同理可證不能滿足題意.

②如果當(dāng)仁5時(shí)，連加所形成的整數(shù)只有5+4+3+2+1=15,不夠20個(gè)，舍去.

③如果當(dāng)仁4時(shí)，理由同上，舍去.

綜上所述必有泛7

堅(jiān)持希望

一天，一個(gè)瞎子和一個(gè)病子結(jié)伴去尋找那種仙果，他們一直走呀走，途中他們翻山越嶺。歷經(jīng)千辛

萬(wàn)苦，頭發(fā)開(kāi)始斑白。有一天，那病子對(duì)瞎子說(shuō)：“天哪！這樣下去哪有盡頭？我不干了，受不了了。

“