北京理工大學(xué)858運籌學(xué)歷年考研真題匯編（含部分答案）

目錄

2015年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真

題（回憶版）

2014年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真

題（回憶版）

2013年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真

題（回憶版）

2012年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真

題（回憶版）

2010年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真

題（回憶版）

2008年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真

題

2008年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真

題及詳解

2007年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真

題

2007年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真

題及詳解

2006年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真

題

2006年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真

題及詳解

2005年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真

題

2005年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真

題及詳解

2004年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真

題

2004年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真

題及詳解

2003年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真

題

2003年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真

題及詳解

2002年北京理工大學(xué)430運籌學(xué)考研真

題

2002年北京理工大學(xué)430運籌學(xué)考研真

題及詳解

2001年北京理工大學(xué)430運籌學(xué)考研真

題

2001年北京理工大學(xué)430運籌學(xué)考研真

題及詳解

2000年北京理工大學(xué)430運籌學(xué)考研真

題

1999年北京理工大學(xué)運籌學(xué)考研真題

2015年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真題（回憶版）

2015年北京理工大學(xué)運籌學(xué)考研真題（回憶版）

1．考的是線性規(guī)劃單純形法計算和靈敏度分析（45分）

大概是MAXZ=_X1+_X2+_X3

_X1+_X2+_X3=_

_X1+_X2+_X3>=_

X1,X2>=0,X3無約束

第一問計算可行解（要迭代五次，所以一定要把計算的基本功打扎

實）。

第二問是寫出對偶問題和對偶問題可行解。

第三問是b的靈敏度分析，按題設(shè)要求b變化后，需要計算。

第四問是c（基變量）變化，變化后需要計算。

第五問是增設(shè)條件？我記不清了，但是第五問變化后，最優(yōu)解不變。

2．整數(shù)規(guī)劃，考的是隱枚舉法（15分）

Minf=_X1_X2_X3_X4

_X1_X2_X3_X4_X5>=_

_X1_X2_X3_X4_X5>=_

_X1_X2_X3_X4_X5<=4

X1,X2,X3,X4,X5等于0或1

第一個約束條件和第二個約束條件非常像，就差一個數(shù)字。大概就是上

邊是4，－1,2,3,5下邊是5，－1,2,3,4這樣的組合，記不太清楚了，不敢

貿(mào)然寫上去。

3．目標規(guī)劃（15分）

（1）第一題是很普通的目標規(guī)劃問題，不需要求解，很簡單。

（2）第二問是問求解思路：把目標規(guī)劃問題分成多個線性規(guī)劃問題來

求解，簡述解題思路。

4．動態(tài)規(guī)劃（15分）

考的是系統(tǒng)可靠性的問題，自己要先計算出來階段指標。大概問題是一

個系統(tǒng)由ABC三個關(guān)鍵部件組成，通過增加并聯(lián)的部件數(shù)來增加系統(tǒng)的

可靠性。A的單個零件的可靠性是0.7，B的單個零件的可靠性是0.8，C

的單個零件的可靠性是0.9，價錢ABC分別是2，3，4元，現(xiàn)在有15元，

問：用動態(tài)規(guī)劃求解怎樣系統(tǒng)可靠性最高。

5．存儲問題（15分）

需求不確定型，允許缺貨。這道題超綱，我沒復(fù)習(xí)到，所以我沒有仔細

看。但是我覺得和韓伯棠老師的課本的第8題第二問（我現(xiàn)在手頭也沒

有那本書，我記得好像是，要不就是第十題第二問，就是需求服從正太

分布的那道題）是一樣的。

6．排隊論。（15分）

考的基本是定義。告訴你是一個M/M/1/5的系統(tǒng)。P0＝1/8P1＝_P2＝

_P3＝_P4＝_P5＝1/8，計算Lq，Ls，然后告訴你λ，讓你求Ws，1/μ。

7．排隊論。（15分）

機場問題（吳祁宗老師書上課后習(xí)題由原題）。一個飛機場有兩條跑

道。每個飛機著陸或起飛的時間是2分鐘，來和服務(wù)服從M，M分布，

要求飛機等待時間不超過10分鐘問，飛機場科技容納多少飛機。（其實

就是求λ）

2014年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真題（回憶版）

2014年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真題（回憶版）

一、線性規(guī)劃。

maxz＝（4＋θ）*x1＋（12－2θ）*x2

s．t.X1＋2*X2＝10

2*X1＋X2＝10

0＜θ＜5

根據(jù)θ的變化求最優(yōu)值的變化。

二、求線性規(guī)劃的對偶規(guī)劃。吳的書里好像有原題。最后約束條件是：

－2＜X1＜5

a＜X2＜b

X3，X4＞0，X5無約束

（記不清數(shù)字了）好像是原題

三、用對偶單純形法求解。

四、運輸問題。

產(chǎn)量銷量123產(chǎn)量

120

230

銷量102010

將1、2兩種物品向1、2、3地運輸。貨物運輸不完會產(chǎn)生費用。1的費用

是5；2的費用是7；1至少輸出15。求最低費用。

五、目標規(guī)劃。

AB工時

第一道工序150

第二道工序70

利潤記不清了

P1：利潤不低于10000

P2：…恰好等于

P3：最大限度利用第二道工序，最好能加班（這個記得不太全）

六、設(shè)備更新問題。（胡運權(quán)習(xí)題集上原題）。

七、動態(tài)規(guī)劃問題。

Minz＝∑Xk2（k＝1．.....10）（求平方和）

S.t．X1*X2*X3．......X10＝8（不會用求積符號）

Xk>0．k＝1，2．...10

八、排隊論

每個電話持續(xù)時間3分鐘，每個人的忍耐限度為3分鐘。

1．能允許的最大通話量。

2．根據(jù)（1）求P0，Ls，Lq，Ws，Wq。

2013年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真題（回憶版）

2012年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真題（回憶版）

2010年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真題（回憶版）

2008年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真題

2008年北京理工大學(xué)858運籌學(xué)考研真題及詳解

北京理工大學(xué)

2008年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題

科目代碼：858科目名稱：運籌學(xué)

一、（10分）現(xiàn)有一求最大值的線性規(guī)劃問題，對應(yīng)下列含有未知變量

的表，試討論下表中a1，a2，c1，c2，d為何范圍值時，表現(xiàn)為下列情

況：

（1）表中的解為唯一最優(yōu)解；

（2）表中解為無窮多最優(yōu)解之一；

（3）表中解為退化的可行解；

（4）下一步迭代將以x1代替基變量x5；

（5）該線性規(guī)劃問題具有無界解；

（6）該線性規(guī)劃問題無可行解。

解：（1）c1＜0且c2＜0，。

（2）；c1＝0，c2≤0或c2＝0，c1≤0。

（3）d＝0。

（4）。

（5）。

（6）。

二、（35分）某企業(yè)用甲、乙、丙三種原料生產(chǎn)A、B、C、D四種產(chǎn)

品，每種產(chǎn)品消耗原料定額以及三種原料的數(shù)量如下表所示：

求使總利潤最大的生產(chǎn)計劃?，F(xiàn)求得最優(yōu)單純形表為：

請解答下列問題：

（1）寫出此問題的線性規(guī)劃模型及其對偶問題，并寫出問題的最優(yōu)

解、最優(yōu)基、最優(yōu)基的逆和對偶問題的解；

（2）解釋最優(yōu)生產(chǎn)計劃中有的產(chǎn)品不安排生產(chǎn)的原因；

（3）對產(chǎn)品B的利潤進行靈敏度分析；

（4）若原料甲增加420噸，影子價格是否變化，求原料甲增加后的最優(yōu)

解和各原料的影子價格。

解：（1）設(shè)產(chǎn)品A、B、C、D分別生產(chǎn)萬件，則可建立如下線

性規(guī)劃模型：

其對偶問題為：

問題的最優(yōu)解為。

最優(yōu)基為

最優(yōu)基的逆

對偶問題的最優(yōu)解為。

（2）產(chǎn)品A和D沒有安排生產(chǎn)，原因是：雖然他們單位產(chǎn)品的利潤高，

但是生產(chǎn)時消耗的原料也多，這兩種產(chǎn)品三種原料都消耗，而產(chǎn)品B和

C都只消耗兩種原料，在原料有限的情況下，生產(chǎn)A和D較生產(chǎn)B和C不

劃算，所以沒有安排他們的生產(chǎn)。

（3）設(shè)產(chǎn)品B的利潤未知，則在最終單純形表中，要滿足各非基變量

的檢驗數(shù)非正，則：

解得，所以當(dāng)時，最優(yōu)解不發(fā)生變化，否則最優(yōu)解發(fā)

生變化。

（4）原材料甲增加420噸后：

中有負分量，所以最優(yōu)解發(fā)生變化。用對偶單純形法進行求解如下：

25121415000

CBXBx1x2x3x4x5x6x7

12x26101105/41/2－1/40

14x316001013/201/20

0x7－30[－2]00－7/4－3/23/41

－z－29720－100－21－6－40

12x25950103/8－1/41/81/2

14x315850015/8－3/47/81/2

25x1151007/83/4－3/8－1/2

－z－29705000－161/8－21/4－35/8－1/2

所以原料甲增加后的最優(yōu)解為，原料甲、乙、丙

的影子價格分別為21/4，35/8，1/2。

三、（15分）現(xiàn)有某集團公司下屬甲、乙、丙、丁、戊五個生產(chǎn)企業(yè)，

生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，價格、質(zhì)量都相同。需要供應(yīng)A、B、C三個地區(qū)。單

位運輸費用、各企業(yè)的產(chǎn)量、各地區(qū)的需求如下表。其中B地區(qū)的需求

必須滿足。集團公司的目標是使總運輸費用最低。

試求解這個的運輸問題。

解：這是一個產(chǎn)銷不平衡的運輸問題，銷量大于產(chǎn)量，構(gòu)造一個虛擬的

產(chǎn)地己，其產(chǎn)量為10。由于B地區(qū)的需求必須滿足，所以產(chǎn)地己到B地

區(qū)的單位運價為M（無窮大的數(shù)），產(chǎn)地己到其他地區(qū)的單位運價為

0。建立產(chǎn)銷平衡表如下：

甲乙丙丁戊己銷量

地

銷

地

產(chǎn)

A739411030

B425610M24

C681225036

產(chǎn)量121821141510

首先，用伏格爾法尋找得到初始基可行解。

甲乙丙丁戊己銷量

地

銷

地

產(chǎn)

A2181030

B32124

C7141536

產(chǎn)量121821141510

用位勢法計算各空格處的檢驗數(shù)為：

從上表中可以看出，各非基變量的檢驗數(shù)均大于0，所以已求得最優(yōu)

解，總運費為330。

四、（25分）某廠計劃連續(xù)生產(chǎn)B產(chǎn)品，每月初開始生產(chǎn)。B的生產(chǎn)成

本費為每噸X2千元，其中X是B產(chǎn)品當(dāng)月的產(chǎn)量。倉庫存貨成本費是每

月每噸1千元。估計3個月的需求量分別為5，10，15噸?，F(xiàn)設(shè)開始時第1

個月的月初庫存為零，第3個月月末存貨為零。

試問：每月應(yīng)生產(chǎn)多少噸B產(chǎn)品，可使總的生產(chǎn)和存貨費用最小?（用動

態(tài)規(guī)劃方法求出最優(yōu)解，不必求最優(yōu)值）。

解：按月份將問題劃分為三個階段，設(shè)為第k階段對產(chǎn)品的需求量，

為第k階段生產(chǎn)產(chǎn)品B的噸數(shù)，為第k階段結(jié)束時的產(chǎn)品庫存量，則

有。表示第k階段生產(chǎn)產(chǎn)品B噸時的成本，表

示在第k階段結(jié)束時有庫存量所需的庫存費用。，。

動態(tài)規(guī)劃的順序遞推關(guān)系式為：

邊界條件：

五、（20分）有三個研究小組同時獨立研制某產(chǎn)品。為加強力量，決定

選派3名專家到這三個小組去工作，已知增派人數(shù)分別為0，1，2，3人

時各組的不成功概率由表給出，問應(yīng)如何分派這三名專家，以使這三個

小組同時不成功的概率都最小?

解：將問題按研究小組分為三個階段，設(shè)階段變量為第k階段至第3階

段可供增派的專家數(shù)，為第k階段指派的專家數(shù)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

。令為第k階段指派的專家數(shù)為時，不成功的概論。最

優(yōu)值函數(shù)為第k階段至第3階段可供增派的專家數(shù)為時，不成功概

論的最小值。

因此，動態(tài)規(guī)劃的逆序遞推關(guān)系式為：

邊界條件：。

k＝3時，，其數(shù)值計算如下表所示。

0123

00.90.90

10.70.71

20.60.62

30.50.53

當(dāng)k＝2時，，其數(shù)值計算如下表所示。

0123

00.6×0.90.540

10.6×0.70.4×0.90.361

20.6×0.60.4×0.70.3×0.90.272

30.6×0.50.4×0.60.3×0.70.2×0.90.183

當(dāng)k＝1時，，其數(shù)值計算如下表所示。

0123

30.5×0.180.3×0.270.2×0.360.2×0.540.0722

所以，得到最優(yōu)解為：。

六、（30分）某電話亭有一部電話，來打電話的顧客數(shù)服從泊松分布，

相繼兩個人到達間隔的平均時間為10分鐘，通話時間服從負指數(shù)分布，

平均數(shù)為3分鐘。

求：

（1）顧客到達電話廳要等待的概率。

（2）等待打電話的平均顧客數(shù)。

（3）當(dāng)一個顧客至少要3分鐘才能打電話時，電信局打算增設(shè)一臺電話

機，問到達速度增加到多少時，裝第二臺電話機才合理的?

（4）打一次電話要逗留10分鐘以上的概率是多少?（可用指數(shù)式表示）

（5）目前情況下，安裝第二臺電話機后，顧客的平均等待時間是多少?

解：（1）（人/小時），（人/小時）；

顧客到達電話廳要等待的概率為：。

（2）。

（3）由題意，令到達速度為人/小時，則：

。

（4）顧客在系統(tǒng)中的逗留時間，服從參數(shù)為的負指數(shù)分布。在

本題中，逗留時間，服從參數(shù)為的負指數(shù)分布。

分布函數(shù)為；

所以打一次電話要逗留10分鐘以上的概率為：。

（5）安裝兩部電話機后，系統(tǒng)變?yōu)镸/M/2模型：

；

；

。

七、（15分）某碼頭平均3天有2艘船?？?，平均每艘船需要1天時間卸

貨。設(shè)船的到達間隔時間和卸貨時間服從負指數(shù)分布。船只在港口逗留

一天給公司造成1000元的費用。港口現(xiàn)共有100名工人，他們每人的平

均工資為30元/天，某咨詢公司建議碼頭另招40名工人，并將全部工人

分成兩班，每班70人。這將導(dǎo)致每班為每船裝卸時間變?yōu)?/2，你認為

碼頭采用哪個方案好?為什么?

答：以一個周期（3天）為例。

（1）按碼頭的現(xiàn)有方案（為M/M/1系統(tǒng)）：

（艘/天），（艘/天）；

；

船只期望損失與港口工人成本之和為：

。

（2）按咨詢公司建議的方案（為M/M/2系統(tǒng)）：

（艘/天），（艘/天），

；

；

。

船只期望損失與港口工人成本之和為：

因為按咨詢公司建議的方案的期望總成本較小，所以，應(yīng)采納咨詢公司

建議的方案。

2007年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真題

2007年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真題及詳解

北京理工大學(xué)

2007年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題

科目代碼：458科目名稱：運籌學(xué)

一、（20分）

考慮下列線性規(guī)劃問題：

1．用單純形法計算此問題，并寫出最優(yōu)解、最優(yōu)值與最優(yōu)基；

答：將原問題改寫為標準形式為：

根據(jù)標準形式用單純形法計算：

－1－14－M00

－M91121009/2

0211－1010

04－11[1]0014

M－1M－12M＋4000

－1－14－M00

－M1[3]－1010－21/3

06020011_

44－111001－4

3M＋3－5－M000－2M－4

－1－14－M00

－11/31－1/301/30－2/3

06020011

413/302/311/301/3

0－40－M－10－2

此時由計算可知，非基變量的檢驗數(shù)均不為正數(shù)，故已得到最優(yōu)解，

，最優(yōu)值為17，最優(yōu)基為。

2．寫出此線性規(guī)劃問題的對偶問題，并求出對偶問題的解。

答：對偶問題為：

由原問題的最優(yōu)解可知，對偶問題中的第一個和第三個約束條件是等

式，且

則對偶問題的最優(yōu)解為，最優(yōu)值為17．

二、（25分）

某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，各種產(chǎn)品每件所需原料A分別為2、

4、2kg：每件所需原料B為4、6、5kg；消耗工時為6、3、8小時；各產(chǎn)

品的利潤分別為每件160、180、120元。每周企業(yè)可用于這些產(chǎn)品的工

時為900小時，可提供的原料A、B分別為480kg和800kg。以總利潤最

大為目標考慮各產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃。

通過計算，得到下列最優(yōu)單純形表：

請解答下列問題：

（1）寫出此問題的線性規(guī)劃模型及其最優(yōu)解、最優(yōu)基和最優(yōu)基的逆；

（2）把最優(yōu)單純型表中“*”的格中數(shù)字補充完整；

（3）若產(chǎn)品乙的利潤從180變?yōu)?50而其它參數(shù)均不變時，問題的最優(yōu)

解和最優(yōu)值是什么?

答：（1）規(guī)劃模型為：

由最優(yōu)單純形表可知，最優(yōu)解為

最優(yōu)基為

（2）

cj160180120000

CBXBb

1805001－1/1201/4－1/6

1601251011/80－1/811/8

03000－5/121－3/4－5/12

00－850－25－10

（3）

cj160250120000

CBXBb

2505001－1/1201/4－1/615/2

1601251011/80－1/811/820

03000－5/121－3/4－5/1210

00－950/120－170/4－1070/6

由此可得最優(yōu)值為，最優(yōu)值是29000．

三、（15分）

甲、乙兩個企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，價格、質(zhì)量都相同?，F(xiàn)需供應(yīng)A、

B、C、D四個地區(qū)。單位運輸費用、各企業(yè)的產(chǎn)量、各地區(qū)的需求如下

表：

由于某種原因，企業(yè)乙必須滿額生產(chǎn)。試用表上作業(yè)法求解以上便總運

輸費用最低的運輸問題。

答：由題意知，該運輸問題是產(chǎn)銷不平衡問題，添加一個虛擬銷地E，

銷量為10，使該問題變成平衡問題。

產(chǎn)地銷地ABCDE產(chǎn)量

甲3475050

乙8659M70

銷量2035253010

第一步，用伏格爾法尋找得到初始基可行解

ABCDE銷量

地

銷

地

產(chǎn)

甲20201050

乙35251070

產(chǎn)量2035253010

第二步，用位勢法計算各空格處的檢驗數(shù)為：

產(chǎn)地銷地ABCDE產(chǎn)量ui

甲3246750500

乙18659M－4M704

銷量2035253010

vj32150

從上表中可以看出，各非基變量的檢驗數(shù)均大于0，所以已求得最優(yōu)

解：甲——A20，D20，E10；乙——B35，C25，D10．

四、（25分）

某企業(yè)根據(jù)市場需求預(yù)測今后3個月月底的交貨任務(wù)分別是2千件、3千

件、3千件。該廠的生產(chǎn)能力為每月6千件，該廠倉庫的存貨能力為3千

件，每生產(chǎn)1千件產(chǎn)品的費用為1千元。在進行生產(chǎn)的月份，工廠要固定

支出3千元開工費。倉庫保管費用為每1千件0.5千元。假定開始時和計

劃期末庫存量都是零。試問應(yīng)在各個月生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，才能既滿足交

貨任務(wù)又使總費用最少?

答：用動態(tài)規(guī)劃方法來求解。

按3個月將問題分為3個階段。

令為狀態(tài)變量，它表示第k階段開始時的庫存量，；

為決策變量，它表示第k階段的生產(chǎn)量。

表示第k階段生產(chǎn)產(chǎn)品時的成本費用；

表示在第k階段有庫存量時所需的存儲費用，。

故第k月內(nèi)的總成本為

最優(yōu)值函數(shù)表示從第k階段初庫存量為到第n階段末庫存量為0時

的最小總費用。則基本方程為：

（1）

當(dāng)k＝3時，，由于第3月末的庫存量為0，第3階段的生產(chǎn)量必

為，計算結(jié)果見下表所示：

0123

0663

1552

2441

3000

（2）當(dāng)k＝2時，

0123456

06＋67.5＋59＋410.510.56

15＋66.58＋48.58.55

＋5

24＋65.5＋57＋48.58.54

364.5＋56＋47.560

（3）當(dāng)k＝1時，s1＝0，

012345

05＋10.56.5＋8＋8.59.5＋6153

8.5

再按計算的順序反推算，可找出每個月的最優(yōu)生產(chǎn)決策為：

其相應(yīng)的最小成本為15千元。

五、（20分）

考慮一種由4種不同部件A1，A2，A3，A4組成的系統(tǒng)，各部件都運行時

系統(tǒng)才能運行。系統(tǒng)的可靠性可以通過在一個或幾個部件中并聯(lián)若干個

單元而得到提高。并聯(lián)n個單元后部件的可靠性（概率）R和費用C（單

位為千元）見下表：現(xiàn)有資金15于元。

在4個部件中各并聯(lián)多少個單元才使系統(tǒng)運行的可靠性最高?

答：將問題按照4種不同部件分為4個階段：

決策變量：分配給第k種部件的個數(shù)，為對應(yīng)所需的費用，相應(yīng)

的可靠性概率為；

狀態(tài)變量：在階段k到第4階段剩余的費用；

則表示分配給第K＋1種至第4種部件所剩余的費用；

遞推關(guān)系：

當(dāng)k＝4時：

30.81

50.822

當(dāng)k＝3時：

1

60.9×0.8＝0.720.721

80.9×0.82＝0.7380.7381

當(dāng)k＝2時：

12

80.6×0.72＝0.432——0.4321

100.6×0.738＝0.44280.8×0.72＝0.5760.5762

110.6×0.738＝0.44280.8×0.72＝0.5760.5762

當(dāng)k＝1時：

123

150.7×0.576＝0.75×0.576＝0.85×0.432＝0.4322

0.40320.4320.3672

最優(yōu)解為；可靠性為0.432．

六、（25分）

高速公路某出口只有一個收費通道，假設(shè)到達該出口的汽車流為泊松

流，平均每小時為30輛，收費員的服務(wù)時問服從負指數(shù)分布，平均每小

時可服務(wù)40輛汽車。

（1）計算這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標Po、Lq、Ls、Wq、Ws。

（2）考慮到車主的抱怨，該出口考慮在該出口多安排一外員工，這

樣，每小時可服務(wù)50輛汽車，計算這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標Po、Lq、

Ls、Wq、Ws。

（3）另外，該出口也可考慮多安排一個收費通道，每個收費通道的服

務(wù)率仍為40輛汽車。

（4）請對（2）（3）這兩個方案進行評價。

答：（1）

（2）

（3）此為M/M/2排隊模型。

（4）綜合比較（2）（3）方案，（3）方案的等待時間要更為短，各項

系統(tǒng)指標更好，系統(tǒng)的效率更高，有顯著優(yōu)越性。

七、（20分）

某航空公司售票處開展電話訂票業(yè)務(wù)。據(jù)統(tǒng)計分析，電話到達過程服從

泊松分布，平均到達率為每小時20個，平均每個業(yè)務(wù)員每小時可以處理

10個電話訂票業(yè)務(wù)。請問該公司應(yīng)該安裝多少臺電話，才能使因電話占

線而損失的概率小于10%。

答：此題目為M/M/S/S排隊模型：

假設(shè)公司應(yīng)該安裝c臺電話，故：

【注：此題目為M/M/S/S排隊模型，有些超綱?！?/p>

2006年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真題

2006年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真題及詳解

北京理工大學(xué)

2006年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題

科目代碼：458科目名稱：運籌學(xué)

一、（20分）考慮下列線性規(guī)劃問題：

（1）不通過計算，直接討論此問題是否存在最優(yōu)解：

（2）用較簡單的方法求出此問題的最優(yōu)解及最優(yōu)值，并解釋為什么說

這是較簡單的方法。

答：（1）存在最優(yōu)解。

（2）因為是只有兩個變量，所以用圖解法較為簡單。最優(yōu)解是

，最優(yōu)值為f＝110。

二、（25分）考慮下列線性規(guī)劃：

最優(yōu)單純形表為：

（1）計算此線性規(guī)劃原問題的各參數(shù)；

（2）寫出此線性規(guī)劃的最優(yōu)解、最優(yōu)基B、它的逆B－1和影子價格；

（3）試求c2在什么范圍內(nèi)，此線性規(guī)劃的最優(yōu)解不變；

（4）若b1變?yōu)?5，最優(yōu)解及最優(yōu)值是什么?

答：（1）由最優(yōu)單純形表可知，為所加的松弛變量，

。

由可得，；

由此解得。

同理，，，可解出：

，，。

（2）該規(guī)劃問題的最優(yōu)解為：，最優(yōu)基為：

，影子價格是

（3）這時最優(yōu)單純形表變?yōu)橄卤硭荆?/p>

cj－38＋c213000

CBXBbX1X2X3X4X5X6

8＋c2X2200111/703/7

－3X1510－32/70－1/7

0X55003－2/711/7

cj－zj00－4－c2－2/7－1/7c20－27/7－1/7c2

若要保證最優(yōu)解不變，則有：

故c2可以在[6，＋]之間變化，而不影響最優(yōu)解。

（4），故最優(yōu)解為：

。

最優(yōu)值是1035/7。

三、（15分）甲、乙、丙三個企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，價格、質(zhì)量都相

同。現(xiàn)需供應(yīng)A、B、C、D四個地區(qū)。單位運輸費用、各企業(yè)的產(chǎn)量、

各地區(qū)的需求如下表：

由于某種原因，企業(yè)甲必須滿額生產(chǎn)。試用表上作業(yè)法求解以上使總運

輸費用最低的運輸問題。

答：此題為運輸不平衡問題，故添加一個銷地E，這樣可以寫出這個問

題的產(chǎn)銷平衡表

產(chǎn)地銷地ABCDE產(chǎn)量

甲79811M30

乙108912070

/p>

銷量4530354010

第一步，用伏格爾法尋找得到初始基可行解

ABCDE銷量

地

銷

地

產(chǎn)

甲3030

乙1530151070

丙352560

產(chǎn)量4530354010

第二步，用位勢法計算各空格處的檢驗數(shù)為：

產(chǎn)地銷地ABCDE產(chǎn)量ui

甲74948211M＋3M300

乙10829120703

丙1142131015－30606

銷量4530354010

vj7549－3

第三步，由于，檢驗數(shù)中有個負數(shù)，所以需要對上述解進行改進，改進

的解為下表：

ABCDE銷量

地

銷

地

產(chǎn)

甲3030

乙15302570

丙35151060

產(chǎn)量4530354010

第四步，對上述改進的解用位勢法計算各空格處的檢驗數(shù)：

產(chǎn)地銷地ABCDE產(chǎn)量ui

甲74948211M＋6M300

乙108291230703

丙11421310150606

銷量4530354010

vj7549－6

從上表中可以看出，各非基變量的檢驗數(shù)均大于0，所以已求得最優(yōu)

解：甲——A30，乙——A15，B30，D25，丙——C35，D15，E10。

四、（23分）某公司擬在甲、乙、丙三個地區(qū)設(shè)置5個銷售點，各地區(qū)

設(shè)置銷售點數(shù)目的盈利情況如下表，問這應(yīng)如何設(shè)置這5個銷售點，使

公司利潤最大?

答：將問題按地區(qū)分為三個階段，甲、乙、丙三個地區(qū)分別編號為1，

2，3。

設(shè)表示為分配給第K個地區(qū)到第n個地區(qū)的銷售點數(shù)目。

表示為分配給第K個地區(qū)的銷售點數(shù)目。

則為分配給第K＋1個地區(qū)至第n個地區(qū)的銷售點數(shù)目。

表示為個銷售點分配給第K個地區(qū)所得的盈利值。

表示為個銷售地分配給第K個地區(qū)到第n個地區(qū)時所得到的最大

盈利值。

因而可寫出逆推關(guān)系式為：

下面從最后一階段開始向前逆推計算：

第三階段：

設(shè)將個銷售點（）全部分配給地區(qū)丙時，則最大盈利值

為：

，其中，

因為此時只有一個地區(qū)，有多少個銷售點就全部分配給地區(qū)丙，故它的

盈利值就是該段的最大盈利值。其數(shù)值計算如下表所示。

012345

0000

1441

2442

311113

412124

512125

其中表示使為最大值時的最優(yōu)決策。

第二階段：

設(shè)把個銷售地（）分配給地區(qū)乙和地區(qū)丙時，則對每個

值，有一種最優(yōu)分配方案，使最大盈利值為：

因為給乙地區(qū)個銷售點，其盈利值為，余下的個銷售點就給

丙地區(qū)，則它的盈利最大值為?，F(xiàn)在要選擇的值，使

取最大值。其數(shù)值計算如下表：

012345

0000

10＋45＋051

20＋45＋410＋0102

30＋115＋410＋411142

＋0

40＋125＋1110＋41111＋0161

＋4

50＋125＋1210＋111111＋411212

＋4

第一階段：

設(shè)把個銷售地（這里只有的情況）分配給地區(qū)甲、乙和地區(qū)丙

時，則最大盈利值為：

因為給甲地區(qū)個銷售點，其盈利值為，余下的個銷售點就給乙

和丙地區(qū)，則它的盈利最大值為?，F(xiàn)在要選擇的值，使

取最大值，它就是所求的總盈利最大值，其數(shù)值計算如下

表：

012345

50＋213＋167＋149＋12＋513210，2

10

然后按計算表格的順序反推算，可知最優(yōu)分配方案有兩個：

（1）由于即得甲地

區(qū)分配0個，乙地區(qū)分配2個，丙地區(qū)分配3個銷售點，可使盈利值最

大。

（2）由于即得甲地

區(qū)分配2個，乙地區(qū)分配2個，丙地區(qū)分配1個銷售點，可使盈利值最

大。

兩個分配方案所得到的總盈利值均為21。

五、（22分）某公司承擔(dān)一種新產(chǎn)品研制任務(wù)，合同要求三個月內(nèi)交出

一件合格的樣品，否則將索賠2000元。根據(jù)有經(jīng)驗的技術(shù)人員估計，試

制品合格的概率為0.4，每次試制一批的裝配費為200元，每件產(chǎn)品的制

造成本為100元。每次試制的周期為1個月。問該如何安排試制，每次生

產(chǎn)多少件，才能使得期望費用最??？

解：把三次試制當(dāng)作三個階段（k＝1，2，3），決策變量xk表示第k次

生產(chǎn)的產(chǎn)品的件數(shù)；狀態(tài)變量sk表示第k次試制前是否已經(jīng)生產(chǎn)出合格

品，如果有合格品，則sk＝0；如果沒有合格品，記sk＝1。最優(yōu)函數(shù)

表示從狀態(tài)sk、決策xk出發(fā)的第k階段以后的最小期望費用。故有

。

生產(chǎn)出一件合格品的概率為0.4，所以生產(chǎn)xk件產(chǎn)品都不合格的概率為

，至少有一件合格品的概率為，故有狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

其中k＝1，2，3

用表示第k階段的費用，第k階段的費用包括制

造成本和裝配費用，故有

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程以及C（xk），可得到：

如果3個月后沒有試制出一件合格品，則要承擔(dān)2000元的罰金，因此有

。

當(dāng)k＝3時，計算如下表：

C（x3）＋20×f3（s3）x3*

0123456

00——————00

1201511.29.328.598.568.938.565

當(dāng)k＝2時，計算如下表：

C（x2）＋8.56×f2（s2）x2*

01234

00————00

18.568.147.086.857.116.853

當(dāng)k＝1時，有：

C（x1）＋6.85×f1（s1）x1*

0123

00———00

16.857.116.466.486.462

上面三個表中并沒有列出xk取更大數(shù)值的情況，因為可以證明以后的

的值是對單調(diào)增加的。

因此得到的最優(yōu)策略是，在第1個階段試制2件產(chǎn)品；如果都不合格，在

第2階段試制3件產(chǎn)品；如果仍都不合格，則在第3個階段試制5件產(chǎn)品。

該策略得到的最小的期望費用6.46。

六、（20分）某單服務(wù)臺的服務(wù)系統(tǒng)，顧客按平均每小時40人的泊松流

到達，服務(wù)時間服從指數(shù)分布，平均每小時服務(wù)率為μ。已知顧客因排

隊耽誤造成的損失為每小時每人平均50元，服務(wù)系統(tǒng)每小時的費用為

20μ元。假設(shè)這是某公司內(nèi)部的一個服務(wù)系統(tǒng)，試確定使公司總支出最

少的服務(wù)率μ。并依據(jù)求出的最優(yōu)服務(wù)率，計算此服務(wù)系統(tǒng)的空閑概

率，平均系統(tǒng)隊長和平均系統(tǒng)逗留時間三項數(shù)量指標。

答：由題意可知，該模型是M/M/1，＝40；

，故最優(yōu)服務(wù)率為50；

，空閑概率為1/5。

平均系統(tǒng)隊長為：；

平均系統(tǒng)逗留時間為：。

七、（25分）某兩個服務(wù)臺的排隊系統(tǒng)，最多容納4名顧客。已知系統(tǒng)

的穩(wěn)態(tài)概率為：

試求：

（1）系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls；

（2）系統(tǒng)中的平均排隊顧客數(shù)Lq；

（3）某一時刻正在被服務(wù)的顧客平均數(shù)；

（4）若顧客的平均到達率為每小時2人，求顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時

間Ws；

（5）若2名服務(wù)員具有相同的服務(wù)率，利用前面得出的結(jié)果，求服務(wù)員

為一名顧客服務(wù)的平均時間（1/μ）。

答：（1）該系統(tǒng)可看成是一個M/M/2/4排隊系統(tǒng)，其中，

；

由。

可求出系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)為2人。

（2）。

則系統(tǒng)中的平均排隊顧客數(shù)為。

（3）某一時刻正在被服務(wù)的顧客平均數(shù)為：（人）。

（4）由題意可知，；

系統(tǒng)的實際到達率。

由公式可得。

則顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間為64分鐘。

（5）由于，且2名服務(wù)員具有相同的服務(wù)率。

；

則服務(wù)員為一名顧客服務(wù)的平均時間52分鐘。

2005年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真題

2005年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真題及詳解

北京理工大學(xué)

2005年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題

科目代碼：458科目名稱：運籌學(xué)

一、（20分）考慮下列線性規(guī)劃問題：

（1）求解此問題；

（2）寫出此問題的對偶規(guī)劃及其最優(yōu)解。

答：（1）將原問題添加松弛變量，人工變量，改為標準形式為：

用大M法進行計算，列出單純形表，見下表：

cj14300－M

CBXBb

0151[2]210015/2

02021501020

－M1011100110

1＋M4＋M3＋M000

cj14300－M

CBXBb

415/21/2111/20015

025/23/204－1/21025/3

－M5/2[1/2]00－1/2015

1/2M－10－1－1/2M－200

cj14300－M

CBXBb

4501110－1

0500411－3

15100－102

00－1－302－M

此時所有的非基變量的檢驗數(shù)均小于0，得到最優(yōu)解，為，

最優(yōu)值為25。

（2）對偶規(guī)劃為：

由（1）已解出原問題的最優(yōu)解，可得，最優(yōu)值為25。

二、（25分）考慮下列線性規(guī)劃：

x4，X5分別為第1、2個約束的松弛變量，則最優(yōu)單純形表為：

填寫出此線性規(guī)劃最優(yōu)單純形表中空格處的數(shù)值，并求：

（1）寫出此線性規(guī)劃的最優(yōu)解、最優(yōu)值、最優(yōu)基B和它的逆B－1；

（2）求此線性規(guī)劃的影子價格?

（3）試求c2在什么范圍內(nèi)，此線性規(guī)劃的最優(yōu)解不變；

答：（1）最優(yōu)解為，最優(yōu)值則為20；

最優(yōu)基為，。

（2）影子價格為。

（3）設(shè)，此時最優(yōu)單純形表變?yōu)椋?/p>

cj3100

CBXBb

0520－11－2

511101

00

若要使最優(yōu)解不變，則只需：

故可以在之間變化，而不影響最優(yōu)解。

三、（15分）用表上作業(yè)法求解以下運輸問題：

答：此運輸問題是不平衡，添加一個虛擬銷地D，則這個問題的產(chǎn)銷平

衡表為：

ABCD產(chǎn)量

地

產(chǎn)

地

銷

甲365060

乙857030

丙498030

產(chǎn)量3845298

第一步，用伏格爾法尋找得到初始基可行解：

ABCD產(chǎn)量

地

產(chǎn)

地

銷

甲8232960

乙22830

丙3030

產(chǎn)量3845298

第二步，用位勢法計算各空格處的檢驗數(shù)為：

產(chǎn)地銷地ABCD產(chǎn)量ui

甲365－10600

乙68537030－1

丙42928－20301

銷量3845298

vj3651

第三步，由于，檢驗數(shù)中有兩個負數(shù)，所以需要對上述解進行改進，選

取最小的－2為換入變量，改進的解為下表：

ABCD產(chǎn)量

地

產(chǎn)

地

銷

甲16152960

乙3030

丙22830

產(chǎn)量3845298

第四步，對上述改進的解用位勢法計算各空格處的檢驗數(shù)：

產(chǎn)地銷地ABCD產(chǎn)量ui

甲36510600

乙685372030－1

丙429280301

銷量3845298

vj365－1

從上表中可以看出，各非基變量的檢驗數(shù)均大于0，所以已求得最優(yōu)

解：

甲——A16，B15，C29

乙——B30

丙——A22

四、（20分）有一種設(shè)備最長使用3年時間，現(xiàn)考慮它在3年內(nèi)的更新問

題。在每年年初要作出決策，是繼續(xù)使用還是更新。如果繼續(xù)使用，已

知每年需要支付的維修費用如下表所示（單位：百元）：

如果更新設(shè)備，已知在各年年初購置該種設(shè)備的價格如下表所示（殘值

忽略不，計）（單位：百元）：

己知開始時該設(shè)備已經(jīng)使用了1年，問每年年初應(yīng)怎樣作出決策，才能

使3年內(nèi)該項設(shè)備的購置和維修總費用最少?（用動態(tài)規(guī)劃方法求解）

答：建立動態(tài)規(guī)劃模型，n＝3

設(shè)：在第k年設(shè)備已使用過t年，再使用一年的維修費用；

：在第k年賣掉一臺已使用過t年的設(shè)備，買進一臺新設(shè)備的更新費用。

階段k（k＝1，2，3）表示計劃使用該設(shè)備的年限數(shù)。

狀態(tài)變量：第k年初，設(shè)備已使用過的年數(shù)；

狀態(tài)變量：是第k年初更新，還是保留使用舊設(shè)備，分別用R與K表

示。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

階段指標為：

最優(yōu)指標函數(shù)表示第k年初，使用一臺已使用了年的設(shè)備，到第n

年末的最大收益，則可得如下的逆序動態(tài)規(guī)劃方程：

實際上：

當(dāng)k＝3時：

狀態(tài)變量可取1，2，3。

當(dāng)k＝2時：

能取1，2。

當(dāng)k＝1時：

由于年初已經(jīng)使用了一年，故取1；

所以

上述計算遞推回去，當(dāng)時，由狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

知，得；

則推出；

所以最少費用為1900元。

五、（25分）某廠有100臺設(shè)備，可用于加工甲、乙兩種產(chǎn)品。根據(jù)以

往經(jīng)驗，、這些設(shè)備都用于加工甲產(chǎn)品時，每季度末損壞1/3臺：而都

用于加工乙產(chǎn)品時，每季度末損壞1/10臺，損壞的設(shè)備當(dāng)年不能修復(fù)。

每臺機器一季度用于加工甲產(chǎn)品可獲利10百元：加工乙產(chǎn)品可獲利7百

元。問如何安排各季度加工甲、乙產(chǎn)品的設(shè)備臺數(shù)，才能使全年獲利最

大?（用動態(tài)規(guī)劃方法求解）

答：設(shè)階段序數(shù)k表示季度，k＝1，2，3，4。

狀態(tài)變量：第k季度初，擁有的完好的設(shè)備臺數(shù)；

狀態(tài)變量：第k季度中用于加工甲產(chǎn)品的設(shè)備臺數(shù)，則為該季度中

用于生產(chǎn)乙產(chǎn)品的設(shè)備臺數(shù)。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：。

設(shè)為第k年度的獲利，則：。

令最優(yōu)值函數(shù)表示由設(shè)備數(shù)出發(fā)，從第k個季度開始到第4個季度

結(jié)束時所生產(chǎn)的產(chǎn)品的最大獲益值。因而有逆推關(guān)系式：

從第4季度開始，向前逆推計算。

當(dāng)k＝4時：

因是的線性單調(diào)增函數(shù)，故得最大解，相應(yīng)的有

當(dāng)k＝3時：

此時有。

當(dāng)k＝2時：

此時

當(dāng)k＝1時：

此時。

已知，于是可得：

第一季度，用于生產(chǎn)甲產(chǎn)品的設(shè)備數(shù)目是0臺，100臺全部用于生產(chǎn)乙產(chǎn)

品；

第二季度，用于生產(chǎn)甲產(chǎn)品的設(shè)備數(shù)目是0臺，用于生產(chǎn)乙產(chǎn)品的設(shè)備

數(shù)目是90臺；

第三季度，用于生產(chǎn)甲產(chǎn)品的設(shè)備數(shù)目是81臺，用于生產(chǎn)乙產(chǎn)品的設(shè)備

數(shù)目是0臺；

第四季度，用于生產(chǎn)甲產(chǎn)品的設(shè)備數(shù)目是54臺，用于生產(chǎn)乙產(chǎn)品的設(shè)備

數(shù)目是0臺。

這樣所得的利潤是最高，其最高利潤為2680。

六、（20分）一個小型的平價自選市場只有一個收款出口，假設(shè)到達收

款出口的顧客流為泊松流，平均每小時為30人。收款員的服務(wù)時間服從

負指數(shù)分布，平均每小時可服務(wù)40人。

（1）計算這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標Po，Lq，Ls，Wq，Ws；

（2）顧客對這個排隊系統(tǒng)抱怨化費時間太多。商店為了改進服務(wù)，準

備對以下兩方案進行選擇：

a．在收款出口除了收款員外，專顧一名包裝員。這樣可以使每小時的

服務(wù)率從40人提高到60人。

b．增加一個收款出口，使排隊系統(tǒng)變成M/M/2系統(tǒng)，每個收款出口每

小時的服務(wù)率仍為40人。

請對這兩個排隊系統(tǒng)進行評價，并作出選擇。

答：（1）；

（2）對于a）方案中，

對于b方案中，

a與b方案相比較，b的等待時間較為短，故比較好。

七、（25分）某機場有一條專供飛機降落的跑道。假定飛機降落占用跑

道的平均時間為2分鐘（這里“占用”指不準其他飛機使用）。設(shè)飛機在

空中的平均耽誤時間（Wq）不得超過10分鐘，飛機的到達為泊松分

布。

（1）如果飛機占用跑道時間服從負指數(shù)分布，機場的最大允許載荷量

（以每小時能到達的飛機平均數(shù)表示）是多少?

（2）如果飛機占用跑道時間服從任意獨立分布，并已知一架飛機占用

跑道的標準差為1分鐘，那么機場的最大允許載荷量是多少?

（3）如果飛機占用跑道時間服從負指數(shù)分布，并另外規(guī)定：要求一架

飛機從到達到降落時間大于20分鐘的概率小于0.05，這時機場的最大允

許載荷量是多少?（計算過程中如有對數(shù)，不必求出，結(jié)果可用含對數(shù)

的式子表示）

答：（1）由題意知：。

此排隊系統(tǒng)模型為M/M/1排隊模型：

則機場的最大允許載荷量（以每小時能到達的飛機平均數(shù)表示）是25

架。

（2）由題意知：，標準差。

此排隊系統(tǒng)模型為M/G/1排隊模型，且。

故此時機場的最大允許載荷量是26.67架。

（3）由題意知：。

此排隊系統(tǒng)模型為M/M/1排隊模型，由于要滿足，則

由于，則：

求解可得：

。

因為，則。

即這時機場的最大允許載荷量是架。

2004年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真題

2004年北京理工大學(xué)458運籌學(xué)考研真題及詳解

北京理工大學(xué)2004年攻讀碩士學(xué)位研究生

入學(xué)考試試題

科目代碼：458科目分號：0802科目名稱：運籌學(xué)

一、（25分）求解下列線性規(guī)劃問題。

答：將上述規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為標準形式，為：

用大M法列單純形表求解，得：

－50－2100－M－M

－M21－1[6]－10101/3

－M11120－1011/2

2M－508M－21－M－M00

－50－00－M－

21M

－1/31/6－1/61－1/601/60

21

－1/32/3[4/3]01/3－1－1/311/4

M

2/3M－4/3M－01/3M－－－4/3M＋0

3/27/27/2M7/2

－50－2100－M－M

－213/81/401－1/8－1/81/81/83/2

01/4[1/2]101/4－3/4－1/43/41/2

1/400－21/8－21/8－M＋21/8－M＋21/8

－50－2100－M－M

－211/40－1/21－1/41/41/4－1/4

－51/21201/2－3/2－1/23/2

0－1/20－11/4－9/4－M＋11/4－M＋9/4

此時表中非基變量的檢驗數(shù)均不為正數(shù)，故達到最優(yōu)解，

。

二、（25分）某公司制造三種產(chǎn)品A、B、C，需要兩種資源（勞動力和

原材料），這些產(chǎn)品對兩種資源的需求、單位利潤以及該公司的資源限

制如下表所示，要求確定總利潤最大的最優(yōu)生產(chǎn)計劃。

設(shè)x1，X2，x3分別是產(chǎn)品A、B、C的產(chǎn)量，我們可得到該問題的線性規(guī)

劃模型如下：

其中，x1，x2，x3是產(chǎn)品A、B、C的產(chǎn)量。

這個線性規(guī)劃問題的最終單純形表如下：

（1）求出使得最優(yōu)解不變的產(chǎn)品A的單位利潤變動范圍。問C1＝2時最

優(yōu)解變不變?

（2）從上表中判斷該規(guī)劃最優(yōu)解是否唯一，并說明理由．

（3）求出使原材料對偶價格不變的b2的變化范圍。

（4）由于技術(shù)上的突破，每單位產(chǎn)品B對原材料的需要量減少為2個單

位，這時是否需要改變生產(chǎn)計劃?為什么?

答：（1）假設(shè)，把它代入最優(yōu)單純形表中，得：

1500

510

53011

00

若要使最優(yōu)解不變，則：

所以當(dāng)c1在[3，6]之間變化時，最優(yōu)解不會變化。故當(dāng)C1＝2時最優(yōu)解發(fā)

生變化。

（2）不是唯一的，因為非基變量存在一個檢驗數(shù)為0，所以該規(guī)劃問題

有無窮多最優(yōu)解。

（3）

將其反映到最優(yōu)單純形表中，列的數(shù)值為：

當(dāng)時問題的最優(yōu)基不會變化，解得：

（4）由題意知，變?yōu)?/p>

變化后的單純形表為：

31500

3510

5301

0－100－1

由于，故上述基可行解是最優(yōu)解，。

5．假如這時，又試制新產(chǎn)品D，生產(chǎn)一個單位新產(chǎn)品D需要勞動力4個

單位，原材料3個單位，而每單位的新產(chǎn)品D的利潤為3元。請問這時生

產(chǎn)計劃是否需要進行修改?為什么?如果需要修改，怎樣修改?

答：增加新產(chǎn)品后，原模型變?yōu)椋?/p>

故以B為基的單純形表如下表所示：

315300

3510

5301

0－1000－1

因為，故上述基可行解仍然是最優(yōu)解，。

三、（10分）已知線性規(guī)劃問題：

試應(yīng)用對偶理論證明上述線性規(guī)劃問題無最優(yōu)解。

答：原規(guī)劃問題的對偶問題為：

由對偶問題可以看出，對偶問題無可行解，但原問題可行，故原問題無

最優(yōu)解。

四、（20分）金泰公司計劃在三個不同的地區(qū)設(shè)置4個銷售店，根據(jù)市

場預(yù)測部門估計，在不同的地區(qū)設(shè)置不同數(shù)量的銷售店每月利潤如下表

所示。試問在各個地區(qū)設(shè)幾個銷售店才能使各月的總利潤為最大，其值

為多少。請用動態(tài)規(guī)劃求解。

答：將問題按地區(qū)分為三個階段，分別編號為1，2，3。

設(shè)表示為分配給第K個地區(qū)到第n個地區(qū)的銷售點數(shù)目。

表示為分配給第K個地區(qū)的銷售點數(shù)目。

則為分配給第K＋1個地區(qū)至第n個地區(qū)的銷售點數(shù)目。

表示為個銷售點分配給第K個地區(qū)所得的盈利值。

表示為個銷售地分配給第K個地區(qū)到第n個地區(qū)時所得到的最大

盈利值。

因而可寫出逆推關(guān)系式為

下面從最后一階段開始向前逆推計算：

第三階段：

設(shè)將個銷售點（）全部分配給地區(qū)3時，則最大盈利值為：

其中，

因為此時只有一個地區(qū)，有多少個銷售點就全部分配給地區(qū)3，故它的

盈利值就是該段的最大盈利值。其數(shù)值計算如下表所示。

01234

0000

110101

214142

316163

417174

其中表示使為最大值時的最優(yōu)決策。

第二階段：

設(shè)把個銷售地（）分配給地區(qū)2和地區(qū)3時，則對每個值，

有一種最優(yōu)分配方案，使最大盈利值為

因為給乙地區(qū)個銷售點，其盈利值為，余下的個銷售點就給

丙地區(qū)，則它的盈利最大值為?，F(xiàn)在要選擇的值，使

取最大值。其數(shù)值計算如下表：

01234

0000

10＋1012＋0121

20＋1412＋1017＋0172

30＋1612＋1417＋1021＋0272

40＋1712＋1617＋1421＋22＋0312，3

10

第一階段：

設(shè)把個銷售地（這里只有的情況）分配給地區(qū)1、2和地區(qū)3時，則

最大盈利值為

因為給甲地區(qū)個銷售點，其盈利值為，余下的個銷售點就給乙

和丙地區(qū)，則它的盈利最大值為。現(xiàn)在要選擇的值，使

取最大值，它就是所求的總盈利最大值，其數(shù)值計算如下

表：

01234

40＋3116＋2725＋1730＋32＋0431

12

然后按計算表格的順序反推算，可知最優(yōu)分配方案有一個：

由于即得1地區(qū)分配

1個，2地區(qū)分配2個，3地區(qū)分配1個銷售點，可使盈利值最大。

兩個分配方案所得到的總盈利值均為43。

五、（25分）向陽廠打算在今后四周內(nèi)采購某種原料，事先可以估計出

未來四周內(nèi)原料的價格及其發(fā)生的概率如下表所示：

由于生產(chǎn)需要，該廠必須在今后的四周