專題17三角函數(shù)的性質(zhì)（解析版）

專題17三角函數(shù)的性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測】1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（1）正弦函數(shù)的圖象．=1\*GB3①畫點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中畫出以原點(diǎn)為圓心的單位圓，與軸正半軸的交點(diǎn)為．在單位圓上，將點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)弧度至點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，點(diǎn)的縱坐標(biāo)．由此，以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)畫點(diǎn)，即得到函數(shù)圖象上的點(diǎn)．=2\*GB3②畫（）的圖象把軸上從到這一段分成等份，使的值分別為，，，，…，，它們所對應(yīng)的角的終邊與單位圓的交點(diǎn)將圓周等份，再按上述畫點(diǎn)的方法，就可畫出自變量取這些值時(shí)對應(yīng)的函數(shù)圖象上的點(diǎn)．然后將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來，即得（）的圖象．=3\*GB3③（）的圖象由誘導(dǎo)公式一可知，函數(shù)，，且的圖象，與函數(shù)，的圖象形狀完全一樣．因此將函數(shù)，的圖象不斷向左、向右平行移動(dòng)（每次個(gè)單位長度），就可以得到正弦函數(shù)，的圖象（如下圖）．正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線．=4\*GB3④五點(diǎn)作圖法在函數(shù)，的圖象上，有以下五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：，，，，．畫出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線將它們連接起來，可得到正弦函數(shù)的簡圖．這種作圖的方法稱為”五點(diǎn)作圖法”．（2）余弦函數(shù)的圖象因?yàn)?，所以可將正弦函?shù)，的圖象向左平移個(gè)單位長度即得余弦函數(shù)，的圖象．余弦函數(shù)，的圖象叫做余弦曲線．余弦函數(shù)，的圖象上五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：，，，，．2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）周期性一般地，對于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期．如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期．正弦函數(shù)是周期函數(shù)，（且）都是它的周期，最小正周期是．余弦函數(shù)也是周期函數(shù)，（且）都是它的周期，最小正周期是．（2）奇偶性正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)．（3）單調(diào)性正弦函數(shù)，在每一個(gè)閉區(qū)間（）上都單調(diào)遞增，其值從增大到；在每一個(gè)閉區(qū)間（）上都單調(diào)遞減，其值從減小到．余弦函數(shù)，在每一個(gè)閉區(qū)間（）上都單調(diào)遞增，其值從增大到；在每一個(gè)閉區(qū)間（）上都單調(diào)遞減，其值從減小到．（4）最大值與最小值正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)取得最大值，當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)取得最小值．余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)取得最大值，當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)取得最小值．3、正切函數(shù)的圖象正切函數(shù)的圖象叫做正切曲線．4、正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域正切函數(shù)的定義域?yàn)椋?）周期性正切函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是．（3）奇偶性正切函數(shù)是奇函數(shù)．（4）單調(diào)性正切函數(shù)在每一個(gè)開區(qū)間（）上都單調(diào)遞增．（5）值域正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集．【典型例題】例1．（2022·江西省萬載高一期中）已知函數(shù)，，(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)的最大值、最小值及對應(yīng)的x值的集合；(3)若對任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1），解不等式得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），即時(shí)，

，，即時(shí)，；（3）時(shí)，，，時(shí)，，，要使得，只需，.例2．（2022·新疆·柯坪湖州國慶高一期末）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期；(2)有零點(diǎn)，求的范圍.【解析】（1）由于，故其最小正周期為；（2）因?yàn)橛辛泓c(diǎn)，故有解，即有解，因?yàn)椋?，?例3．（2022·北京·高一期末）已知函數(shù).(1)請用五點(diǎn)法做出一個(gè)周期內(nèi)的圖像；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，請寫出的取值范圍，無需說明理由.【解析】（1）列表00100（2）的取值范圍是.例4．（2022·浙江省杭州第九高一期末）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”作函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，見下表：000(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，直接寫出函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的最小正周期和在上的單調(diào)遞減區(qū)間.(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1）根據(jù)五點(diǎn)法的表格，所以所以的最小正周期令，解之得又，所以或即在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）由于所以所以所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的最小值為;當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的最大值為.例5．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知函數(shù)（，），再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使的解析式唯一確定．條件①：的最小正周期為；條件②：為奇函數(shù)；條件③：圖象的一條對稱軸為．(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】（1）選擇①②：由條件①即已知，可得，所以，由條件②得，所以，即，解得，因?yàn)椋?，所以，?jīng)驗(yàn)證，符合題意；選擇條件①③：由條件①即已知，可得，所以，由條件③得，解得，因?yàn)椋?，所以，選擇條件：②③：由條件②得，所以，即，解得，因?yàn)?，所以，所以，由條件③得，解得，此時(shí)不唯一，不符合題意.（2）由函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為.例6．（2022·安徽·碭山高一期中）已知函數(shù)（，），其圖象一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標(biāo)相差，______；從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在空白橫線中．①函數(shù)向左平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于軸對稱且．②函數(shù)的一條對稱軸為且；(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】(1)由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，∴．選①，將函數(shù)向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)為.由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可得（），解得（）.∵，所以，的可能取值為、．若，則，，符合題意；若，則，，不符合題意．所以，；選②：因?yàn)楹瘮?shù)的一條對稱軸，則（），解得（）.∵，所以，的可能取值為、．若，則，則，符合題意；若，則，則，不符合題意．所以，；(2)令，由得，，所以．其中滿足，時(shí)為增函數(shù)，滿足時(shí)為減函數(shù)解方程得：，要使方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)，即在上存在兩解，故取值范圍應(yīng)在或在或．即或或解得：或或故所求的的取值范圍是【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·上海市控江高一期末）已知常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由于且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，即的取值范圍是.故選：B2．（2022·上?！じ裰赂咭黄谥校┖瘮?shù)的一個(gè)對稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以函數(shù)圖象的對稱中心是，令,得函數(shù)圖像的一個(gè)對稱中心是，故選：C.3．（2022·浙江·高一期末）函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，令可的的遞增區(qū)間為.故選：C4．（2022·湖南·武岡市教育科學(xué)研究所高一期末）關(guān)于函數(shù)圖象的對稱性，下列說法正確的是（

）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點(diǎn)對稱 D．關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】D【解析】對A，，，故A錯(cuò)誤；對B，，，故B錯(cuò)誤；對C，，，故C錯(cuò)誤；對D，，此時(shí)，故D正確，故選：D5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.若在開區(qū)間內(nèi)存在最小值，則，解得，故選:B.6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為3，最小值為1B．的最大值為3，最小值為-1C．的最大值為，最小值為D．的最大值為，最小值為【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，設(shè)，，則，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：C7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有3個(gè)最高點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，因?yàn)?，可得，又函?shù)的圖象在區(qū)間上恰有3個(gè)最高點(diǎn)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．8．（2022·北京·高一期末）記函數(shù)的最小正周期為，若，為的零點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樗宰钚≌芷?，因?yàn)?，又，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以的最大值為，故選：B二、多選題9．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則（

）A．是偶函數(shù) B．是圖象的一條對稱軸C．在上單調(diào)遞減 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值【答案】AC【解析】因?yàn)橹本€是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，，又，所以，所以．，是偶函數(shù)，故A正確；令，解得:，所以圖象的對稱軸方程為，而不能滿足上式，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故C正確；顯然函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10．（2022·安徽·碭山高一期中）已知函數(shù)（）在上單調(diào)，則的可能值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【解析】因?yàn)?，故可得，又的單調(diào)增區(qū)間為，故，解得且又，故，.故選：AB.11．（2022·安徽省宿州市苐三高一期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的值域?yàn)镈．若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以，故A正確；由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于對稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故C正確；由可得，則函數(shù)與有四個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)與的大致圖象，由圖象可知函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，的圖象與直線（為常數(shù)）的交點(diǎn)情況，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)或時(shí)，有0個(gè)交點(diǎn) B．當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)【答案】AB【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象如圖所示,對于選項(xiàng)A，當(dāng)或時(shí)，有0個(gè)交點(diǎn)，故A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，故B正確；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選:AB．三、填空題13．（2022·上海市曹楊高一期末）已知函數(shù)，若存在，有，則的最小值為______．【答案】【解析】∵的周期，由得.故答案為：.14．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)______．（注：不是常函數(shù)）①；②．【答案】（答案不唯一）【解析】由知函數(shù)的一個(gè)周期是，則滿足條件②．∵，∴滿足條件①．故答案為：（答案不唯一）15．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開____________．【答案】【解析】令，，則，即，所以，又因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?16．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)若在區(qū)間上單調(diào)，且，則的最小正周期為____．【答案】【解析】函數(shù)，，，若在區(qū)間上單調(diào)，則，．，為的一條對稱軸，且即為的一個(gè)對稱中心，只有當(dāng)時(shí)，解得，，故答案為:四、解答題17．（2022·上海市金匯高級高一期末）函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)寫出的最小正周期及圖中、的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【解析】（1）,令，，解得：，由圖可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取得最大值；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)所以函數(shù)的最大值是3，最小值是18．（2022·江蘇鹽城·高一期末）設(shè).(1)若函數(shù)的最大值是最小值的3倍，求b的值；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)正零點(diǎn)由小到大依次為x1，x2，x3，…，若，求ω的值.【解析】(1)由題設(shè)，可得.(2)令，則，所以或且，則或且，由且正零點(diǎn)由小到大依次為x1，x2，x3，…，所以、、，則，所以.19．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知下列三個(gè)條件：①函數(shù)為奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，；③是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．從這三個(gè)條件中任選一個(gè)填在下面的橫線處，并解答下列問題．已知函數(shù)，______．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】（1）選擇條件①．∵為奇函數(shù)，∴，解得，．∵，∴，∴；選條件②．，∴，∴，或，，∵，∴，∴選條件③．（1）∵是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，∴，∴，．∵，∴，∴.（2）由，，得，，令，得，令，得，∴函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，．20．（2022·山東東營·高一期中）函數(shù)的最小值為，(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即.（2），若，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有最小值，.若，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有最小值，.所以，若，得或由解得或（舍去），由解得（舍去）.所以21．（2022·甘肅蘭州·高一期中）已知點(diǎn)、是函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最小值為．(1)求函數(shù)的解析式；