專題17三角函數的性質（解析版）

專題17三角函數的性質【考點預測】1、正弦函數、余弦函數的圖象（1）正弦函數的圖象．=1\*GB3①畫點在直角坐標系中畫出以原點為圓心的單位圓，與軸正半軸的交點為．在單位圓上，將點繞著點旋轉弧度至點，根據正弦函數的定義，點的縱坐標．由此，以為橫坐標，為縱坐標畫點，即得到函數圖象上的點．=2\*GB3②畫（）的圖象把軸上從到這一段分成等份，使的值分別為，，，，…，，它們所對應的角的終邊與單位圓的交點將圓周等份，再按上述畫點的方法，就可畫出自變量取這些值時對應的函數圖象上的點．然后將這些點用光滑的曲線連接起來，即得（）的圖象．=3\*GB3③（）的圖象由誘導公式一可知，函數，，且的圖象，與函數，的圖象形狀完全一樣．因此將函數，的圖象不斷向左、向右平行移動（每次個單位長度），就可以得到正弦函數，的圖象（如下圖）．正弦函數的圖象叫做正弦曲線．=4\*GB3④五點作圖法在函數，的圖象上，有以下五個關鍵點：，，，，．畫出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線將它們連接起來，可得到正弦函數的簡圖．這種作圖的方法稱為”五點作圖法”．（2）余弦函數的圖象因為，所以可將正弦函數，的圖象向左平移個單位長度即得余弦函數，的圖象．余弦函數，的圖象叫做余弦曲線．余弦函數，的圖象上五個關鍵點是：，，，，．2、正弦函數、余弦函數的性質（1）周期性一般地，對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的每一個值時，都有，那么函數就叫做周期函數．非零常數叫做這個函數的周期．如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做的最小正周期．正弦函數是周期函數，（且）都是它的周期，最小正周期是．余弦函數也是周期函數，（且）都是它的周期，最小正周期是．（2）奇偶性正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數．（3）單調性正弦函數，在每一個閉區(qū)間（）上都單調遞增，其值從增大到；在每一個閉區(qū)間（）上都單調遞減，其值從減小到．余弦函數，在每一個閉區(qū)間（）上都單調遞增，其值從增大到；在每一個閉區(qū)間（）上都單調遞減，其值從減小到．（4）最大值與最小值正弦函數當且僅當（）時取得最大值，當且僅當（）時取得最小值．余弦函數當且僅當（）時取得最大值，當且僅當（）時取得最小值．3、正切函數的圖象正切函數的圖象叫做正切曲線．4、正切函數的性質（1）定義域正切函數的定義域為（2）周期性正切函數是周期函數，最小正周期是．（3）奇偶性正切函數是奇函數．（4）單調性正切函數在每一個開區(qū)間（）上都單調遞增．（5）值域正切函數的值域是實數集．【典型例題】例1．（2022·江西省萬載高一期中）已知函數，，(1)求函數的單調遞減區(qū)間；(2)求函數的最大值、最小值及對應的x值的集合；(3)若對任意，存在，使得，求實數m的取值范圍.【解析】（1），解不等式得：，所以函數的單調遞減區(qū)間為.（2），即時，

，，即時，；（3）時，，，時，，，要使得，只需，.例2．（2022·新疆·柯坪湖州國慶高一期末）已知函數，.(1)求的最小正周期；(2)有零點，求的范圍.【解析】（1）由于，故其最小正周期為；（2）因為有零點，故有解，即有解，因為，所以，故.例3．（2022·北京·高一期末）已知函數.(1)請用五點法做出一個周期內的圖像；(2)若函數在區(qū)間上有兩個零點，請寫出的取值范圍，無需說明理由.【解析】（1）列表00100（2）的取值范圍是.例4．（2022·浙江省杭州第九高一期末）某同學用“五點法”作函數（，，）在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，見下表：000(1)根據上表數據，直接寫出函數的解析式，并求函數的最小正周期和在上的單調遞減區(qū)間.(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1）根據五點法的表格，所以所以的最小正周期令，解之得又，所以或即在上的單調遞減區(qū)間為，（2）由于所以所以所以當即時，函數的最小值為;當即時，函數的最大值為.例5．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知函數（，），再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使的解析式唯一確定．條件①：的最小正周期為；條件②：為奇函數；條件③：圖象的一條對稱軸為．(1)求的解析式；(2)設函數，求在區(qū)間上的最大值．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分．【解析】（1）選擇①②：由條件①即已知，可得，所以，由條件②得，所以，即，解得，因為，所以，所以，經驗證，符合題意；選擇條件①③：由條件①即已知，可得，所以，由條件③得，解得，因為，所以，所以，選擇條件：②③：由條件②得，所以，即，解得，因為，所以，所以，由條件③得，解得，此時不唯一，不符合題意.（2）由函數，因為，所以，所以當，即時，函數取得最大值，最大值為.例6．（2022·安徽·碭山高一期中）已知函數（，），其圖象一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，______；從以下兩個條件中任選一個補充在空白橫線中．①函數向左平移個單位得到的圖象關于軸對稱且．②函數的一條對稱軸為且；(1)求函數的解析式；(2)若，方程存在4個不相等的實數根，求實數的取值范圍．【解析】(1)由題意可知，函數的最小正周期為，∴．選①，將函數向左平移個單位，所得函數為.由于函數的圖象關于軸對稱，可得（），解得（）.∵，所以，的可能取值為、．若，則，，符合題意；若，則，，不符合題意．所以，；選②：因為函數的一條對稱軸，則（），解得（）.∵，所以，的可能取值為、．若，則，則，符合題意；若，則，則，不符合題意．所以，；(2)令，由得，，所以．其中滿足，時為增函數，滿足時為減函數解方程得：，要使方程存在4個不相等的實數根，當，即在上存在兩解，故取值范圍應在或在或．即或或解得：或或故所求的的取值范圍是【過關測試】一、單選題1．（2022·上海市控江高一期末）已知常數，函數在區(qū)間上是嚴格增函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由于且在區(qū)間上是嚴格增函數，所以，即的取值范圍是.故選：B2．（2022·上?！じ裰赂咭黄谥校┖瘮档囊粋€對稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以函數圖象的對稱中心是，令,得函數圖像的一個對稱中心是，故選：C.3．（2022·浙江·高一期末）函數為增函數的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，令可的的遞增區(qū)間為.故選：C4．（2022·湖南·武岡市教育科學研究所高一期末）關于函數圖象的對稱性，下列說法正確的是（

）A．關于直線對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于點對稱【答案】D【解析】對A，，，故A錯誤；對B，，，故B錯誤；對C，，，故C錯誤；對D，，此時，故D正確，故選：D5．（2022·全國·高一課時練習）若函數在區(qū)間內存在最小值，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.若在開區(qū)間內存在最小值，則，解得，故選:B.6．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，則（

）A．的最大值為3，最小值為1B．的最大值為3，最小值為-1C．的最大值為，最小值為D．的最大值為，最小值為【答案】C【解析】因為函數，設，，則，所以，，當時，；當時，.故選：C7．（2022·全國·高一課時練習）已知函數的圖象在區(qū)間上恰有3個最高點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，函數，因為，可得，又函數的圖象在區(qū)間上恰有3個最高點，所以，解得，即實數的取值范圍是．故選：C．8．（2022·北京·高一期末）記函數的最小正周期為，若，為的零點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當時，所以的最大值為，故選：B二、多選題9．（2022·全國·高一課時練習）已知直線是函數圖象的一條對稱軸，則（

）A．是偶函數 B．是圖象的一條對稱軸C．在上單調遞減 D．當時，函數取得最小值【答案】AC【解析】因為直線是函數圖象的一條對稱軸，所以，，又，所以，所以．，是偶函數，故A正確；令，解得:，所以圖象的對稱軸方程為，而不能滿足上式，故B錯誤；當時，，此時函數單調遞減，故C正確；顯然函數的最小值為，當時，，故D錯誤．故選：AC．10．（2022·安徽·碭山高一期中）已知函數（）在上單調，則的可能值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【解析】因為，故可得，又的單調增區(qū)間為，故，解得且又，故，.故選：AB.11．（2022·安徽省宿州市苐三高一期中）已知函數，則下列結論正確的有（

）A．B．函數圖像關于直線對稱C．函數的值域為D．若函數有四個零點，則實數的取值范圍是【答案】AC【解析】因為，所以，故A正確；由題可知函數的定義域為，不關于對稱，故B錯誤；當時，，當時，，，所以函數的值域為，故C正確；由可得，則函數與有四個交點，作出函數與的大致圖象，由圖象可知函數有四個零點，則實數的取值范圍是，故D錯誤.故選：AC.12．（2022·全國·高一課時練習）關于函數，的圖象與直線（為常數）的交點情況，下列說法正確的是（

）A．當或時，有0個交點 B．當或時，有1個交點C．當時，有2個交點 D．當時，有2個交點【答案】AB【解析】根據函數的解析式作出函數的圖象如圖所示,對于選項A，當或時，有0個交點，故A正確；對于選項B，當或時，有1個交點，故B正確；對于選項C，當時，只有1個交點，故C錯誤；對于選項D，當時，只有1個交點，故D錯誤．故選:AB．三、填空題13．（2022·上海市曹楊高一期末）已知函數，若存在，有，則的最小值為______．【答案】【解析】∵的周期，由得.故答案為：.14．（2022·全國·高一課時練習）寫出一個同時具有下列性質①②的函數______．（注：不是常函數）①；②．【答案】（答案不唯一）【解析】由知函數的一個周期是，則滿足條件②．∵，∴滿足條件①．故答案為：（答案不唯一）15．（2022·全國·高一課時練習）函數的值域為_____________．【答案】【解析】令，，則，即，所以，又因為，所以，即函數的值域為．故答案為：.16．（2022·全國·高一課時練習）設函數若在區(qū)間上單調，且，則的最小正周期為____．【答案】【解析】函數，，，若在區(qū)間上單調，則，．，為的一條對稱軸，且即為的一個對稱中心，只有當時，解得，，故答案為:四、解答題17．（2022·上海市金匯高級高一期末）函數的部分圖象如圖所示．(1)寫出的最小正周期及圖中、的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【解析】（1）,令，，解得：，由圖可知，當時，，此時函數取得最大值；（2）當時，，此時所以函數的最大值是3，最小值是18．（2022·江蘇鹽城·高一期末）設.(1)若函數的最大值是最小值的3倍，求b的值；(2)當時，函數正零點由小到大依次為x1，x2，x3，…，若，求ω的值.【解析】(1)由題設，可得.(2)令，則，所以或且，則或且，由且正零點由小到大依次為x1，x2，x3，…，所以、、，則，所以.19．（2022·全國·高一課時練習）已知下列三個條件：①函數為奇函數；②當時，；③是函數的一個零點．從這三個條件中任選一個填在下面的橫線處，并解答下列問題．已知函數，______．(1)求函數的解析式；(2)求函數在上的單調遞增區(qū)間．【解析】（1）選擇條件①．∵為奇函數，∴，解得，．∵，∴，∴；選條件②．，∴，∴，或，，∵，∴，∴選條件③．（1）∵是函數的一個零點，∴，∴，．∵，∴，∴.（2）由，，得，，令，得，令，得，∴函數在上的單調遞增區(qū)間為，．20．（2022·山東東營·高一期中）函數的最小值為，(1)當時，求；(2)若，求實數【解析】（1）當時，.所以，當時，取得最小值，即.（2），若，即時，則當時，有最小值，.若，即時，則當時，有最小值，.所以，若，得或由解得或（舍去），由解得（舍去）.所以21．（2022·甘肅蘭州·高一期中）已知點、是函數圖象上的任意兩點，角的終邊經過點，當時，的最小值為．(1)求函數的解析式；