福建省“寧化、永安、尤溪、大田、沙縣一中”五校協(xié)作2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月聯(lián)考 數(shù)學(xué)含答案

“寧化、永安、尤溪、大田、沙縣一中”五校協(xié)作2023—2024學(xué)年高三11月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題命題人：（考試時(shí)間：120分鐘總分150分）試卷分第=1\*ROMANI卷（選擇題）和第=2\*ROMANII卷（非選擇題）兩部分第=1\*ROMANI卷（選擇題，共60分）一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)全集，若集合滿足，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．3．已知向量,滿足，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．若偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．5．“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞利將《孫子算法》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲．1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”，“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1至2022這2022個(gè)數(shù)中，能被5除余1且被7除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）A．58 B．57 C．56 D．556．下列說(shuō)法正確的是（）A．隨機(jī)變量，則B．若隨機(jī)變量，，則C．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)互斥而不對(duì)立的事件D．從除顏色外完全相同的個(gè)紅球和個(gè)白球中，一次摸出個(gè)球，則摸到紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布；7．已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．8．已知在正三棱錐中，為的中點(diǎn)，，則正三棱錐的表面積與該三棱錐的外接球的表面積的比為（）A． B． C． D．二.多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則的值可以是（）A. B.1 C.0 D.210．一副三角板由兩個(gè)直角三角形組成，如圖所示，且，現(xiàn)將兩塊三角板拼接在一起，得到三棱錐，取和中點(diǎn)、，則下列判斷中正確的是（）A．直線面B．三棱錐體積為定值.C．與面所成的角為定值D．設(shè)面面，則∥11．已知，則實(shí)數(shù)滿足（）A． B． C． D．12．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，，且當(dāng)時(shí)，.則下列結(jié)論正確的是（）A.是等差數(shù)列 B．既有最大值也有最小值.C. D.若,則.第=2\*ROMANII卷（非選擇題，共90分）三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，，，則___．14．樓道里有12盞燈，為了節(jié)約用電，需關(guān)掉3盞，關(guān)掉的燈不能相鄰，則關(guān)燈方案有___種．15．已知函數(shù)，則不等式的解集是_____．16．已知函數(shù)和，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)和圖象都相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____．四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）在中，角所對(duì)的邊分別是.已知.（1）若，求；（2）求的取值范圍.18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的最大值為，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的遞增區(qū)間.（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最小正值.19．（本小題滿分12分）等差數(shù)列滿足，.數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)于集合，，定義集合且.設(shè)數(shù)列和中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A，B，將集合的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（本小題滿分12分）在多面體中，，且，，（1）證明:；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.21．（本小題滿分12分）小芳、小明兩人各拿兩顆質(zhì)地均勻的骰子做游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為的倍數(shù)，則由原投擲人繼續(xù)投擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是的倍數(shù)，則由對(duì)方接著投擲．（1）規(guī)定第次從小明開(kāi)始．（?。┣笄按瓮稊S中小明恰好投擲次的概率；（ⅱ）設(shè)游戲的前次中，小芳投擲的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與期望．（2）若第次從小芳開(kāi)始，求第次由小芳投擲的概率．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（1）若在處取得極值，求的值；（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)，滿足，求證：“寧化、永安、尤溪、大田、沙縣一中”五校協(xié)作2023—2024學(xué)年高三11月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)參考答案選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1-4．CBCC5-8.ADBD8．【解析】正三棱錐中，，，∴平面，又平面∴，，又三棱錐為正三棱錐，所以三條側(cè)棱兩兩相互垂直，設(shè)可得正三棱錐的表面積為．設(shè)外接球的半徑為，則，，則外接球的表面積所以兩表面積的比為，故選：D．二.多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．BC10.ACD11.AD12.ABD12．【解析】,且當(dāng)時(shí),.兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得:,即,且,數(shù)列是等差數(shù)列,其公差為2,首項(xiàng)為2,所以A正確.,可得,當(dāng)時(shí),,所以;所以是先遞減再遞增的數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以最大，最小.B正確，C錯(cuò)誤..對(duì)于D.當(dāng)時(shí),,又時(shí),,對(duì)于上式也成立.,時(shí),,，D正確故選ABD三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．31 14．120 15． 16．16．【解析】設(shè)函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，且，函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，且又，則公切線的斜率，則所以，則公切線方程為，即代入得：，則，整理得，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)圖象均相切，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)，則令得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，又可得，則時(shí)，時(shí)，，則函數(shù)的大致圖象如右：所以，解得故實(shí)數(shù)的取值范圍為.四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．解：（1）由已知：， ……1分得， ……2分所以或（舍去）， ……3分即 ……4分若，則； ……5分（2）由題意得， ……7分而，所以， ……8分故，即. ……10分18．解：（1）由題意可得，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，得，，此時(shí)，. ……2分因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，，，，，則……4分令，得，∴取， ……6分因此，函數(shù)在區(qū)間上的遞增區(qū)間為. ……7分（2）又因?yàn)?，所以函?shù)圖象的對(duì)稱中心為，…8分則，所以， ……10分解得， ……11分當(dāng)時(shí)，取到了最小正值為. ……12分19．解:（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則等差數(shù)列通項(xiàng)公式為，所以，所以，所以，所以， ……3分又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，令，則，解得，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以. ……6分法二、由可得，，所以，解得，（其他同上）法三、由可得解得，（其他同上）（2）由（1）可知，所以數(shù)列的前項(xiàng)為數(shù)列的前52項(xiàng)去除 ……10分所以數(shù)列的前50項(xiàng)和. ……12分20．解:（1）證明：連接，，在中，，，，，……2分可得，即，同時(shí)，可得， ……3分同理可得， ……4分因?yàn)椋?，且平面，平面，，所以平面?……5分又因?yàn)槠矫?，所? ……6分（2）解：在中，易得，且，所以，同時(shí)，，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系 .……7分其中，，，，，，， ……8分設(shè)向量為平面的法向量，滿足，不妨取，……10分直線與平面所成角的正弦值為：.……12分21．解:（1）一人投擲兩顆骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)的概為． ……1分（?。┮?yàn)榈?次從小明開(kāi)始，所以前4次投擲中小明恰好投擲2次的概率，． ……2分（ⅱ）設(shè)游戲的前4次中，小芳投擲的次數(shù)為，依題意，可取0，1，2，3，所以，，，．所以的分布列為0123…5分所以． ……6分（2）若第1次從小芳開(kāi)始，則第次由小芳投擲骰子有兩種情況：①第次由小芳投擲，第次繼續(xù)由小芳投擲，其概率為；②第次由小明投擲，第次由小芳投擲，其概率為． ……8分因?yàn)棰佗趦煞N情形是互斥的，所以， ……10分所以．因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)， ……11分為公比的等比數(shù)列，所以，即. ……12分22．（1）解：因?yàn)?，所以? ……1分因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解得． ……2分驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，易得在處取得極大值． ……3分（2）解：因?yàn)?，所以? ……4分①若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．②若，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減