浙江省溫州市蒼南縣六校聯(lián)考2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年浙江省溫州市蒼南縣六校聯(lián)考八年級第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題有10個小題，每小題3分，共30分）1．如圖，為了估計一池塘岸邊兩點A，B之間的距離，小穎同學(xué)在池塘一側(cè)選取了一點P，測得PA＝100m，PB＝90m，那么點A與點B之間的距離可能是（）A．10m B．120m C．190m D．220m2．下面由北京冬奧會比賽項目圖標(biāo)組成的四個圖形中，可看作軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．若不等式﹣3x＜1，兩邊同時除以﹣3，得（）A．x＞﹣ B．x＜﹣ C．x＞ D．x＜4．將一副三角尺按如圖的方式擺放，其中l(wèi)1∥l2，則∠α的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．70°5．如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，使△ABC≌△DFE，需添加一個條件，下列所給的條件及相應(yīng)的判定定理不正確的是（）A．AB＝DF（SAS） B．∠B＝∠F（AAS） C．BC＝FE（SSA） D．∠ACB＝∠DEF（ASA）6．給出下列命題：①三角形任何兩邊之和大于第三邊；②三角形任何一外角等于兩內(nèi)角之和；③兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，下列屬于真命題的是（）A．①③ B．②③ C．①② D．①7．如圖，若△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，BB′交MN于點O，則下列說法中不一定正確的是（）A．AC＝A′C′ B．AB∥B′C′ C．AA′⊥MN D．BO＝B′O8．如圖，∠BAC＝100°，AB＞AC．若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ的度數(shù)是（）A．20° B．60° C．50° D．40°9．已知銳角∠AOB＝40°，如圖，按下列步驟作圖：①在OA邊取一點D，以O(shè)為圓心，OD長為半徑畫弧MN，交OB于點C，連接CD．②以D為圓心，DO長為半徑畫弧GH，交OB于點E，連接DE．則∠CDE的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．40°10．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC．O為AC中點，OE⊥OD交AB于點E，EF⊥CD于點F，交AC于點M，BO的延長線交DC于點G．若，則下列結(jié)論正確的（）①OE＝OD；②BG＝CM；③若AB＝10，則四邊形AEOD的面積為25；④OE：AD＝：1．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（每題3分，共24分）11．如圖，若∠α＝38°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，則∠AOB的度數(shù)為．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點E，F(xiàn)；再分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC于點D．若CD＝3，則點D到AB的距離是．13．按照下面給定的計算程序，當(dāng)x＝﹣2時，輸出的結(jié)果是；使代數(shù)式2x+5的值小于20的最大整數(shù)x是．14．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，EF垂直平分BC，點P為直線EF上一動點，則△ABP周長的最小值是．15．直角三角形的周長為12cm，斜邊長為5cm，則其面積是cm2．16．如圖是長方形紙帶a，∠DEF＝20°，將紙帶沿EF折疊成圖b，則∠AEG的度數(shù)為度，再沿BF折疊成圖c，則圖中的∠CFE的度數(shù)是度．17．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．現(xiàn)將△ABC按如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE，則DE的長為．18．如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點，連接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'與AB交于點E，連接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點D到BC的距離為．三、解答題（共46分）19．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列問題（僅用無刻度的直尺作圖，且保留必要的作圖痕跡）：（1）在AB上找一點D，使CD⊥AB；（2）在AC上找一點E，使BE平分∠ABC．20．莆仙戲是現(xiàn)存最古老的地方戲劇種之一，被稱為“宋元南戲的活化石”，2021年5月莆仙戲《踏傘行》獲評為“2020年度國家舞臺藝術(shù)精品創(chuàng)作扶持工程重點扶持劇目”．該劇中“油紙傘”無疑是最重要的道具，依傘設(shè)戲，情節(jié)新穎，結(jié)構(gòu)巧妙，譜寫了一曲美輪美奐、詩意盎然的傳統(tǒng)戲曲樂歌．“油紙傘”的制作工藝十分巧妙．如圖，傘圈D沿著傘柄滑動時，總有傘骨BD＝CD，AB＝AC，從而使得傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAC．為什么？21．已知：如圖，點B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AB＝DC，∠B＝∠C，BE＝CF．（1）求證：△ABF≌△DCE．（2）若∠AGE＝80°，求∠AFE的度數(shù)．22．如圖，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分線，F(xiàn)是AC中點，∠ACB＝50°，∠BAD＝70°．（1）求∠AEC的度數(shù)；（2）若△BCF與△BAF的周長差為3，AB＝7，能否求出BC的值？若能，請寫出理由和結(jié)果；若不能，請你補(bǔ)充條件并解答．23．如圖，在等邊三角形ABC中，D是AB上的一點，E是CB延長線上一點，連接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求證：△DEC是等腰三角形．（2）當(dāng)∠BDC＝5∠EDB，EC＝8時，求△EDC的面積．24．問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以70海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以90海里/小時的速度，前進(jìn)2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

參考答案一、選擇題（本題有10個小題，每小題3分，共30分）1．如圖，為了估計一池塘岸邊兩點A，B之間的距離，小穎同學(xué)在池塘一側(cè)選取了一點P，測得PA＝100m，PB＝90m，那么點A與點B之間的距離可能是（）A．10m B．120m C．190m D．220m【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可以確定BC的取值范圍，從而可以解答本題．解：∵在△ABC中，PA＝100m，PB＝90m，∴100﹣90＜AB＜100+90，∴10＜AB＜190，故點A與點B之間的距離可能是120m．故選：B．【點評】本題考查三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．2．下面由北京冬奧會比賽項目圖標(biāo)組成的四個圖形中，可看作軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．解：選項A、B、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．選項D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：D．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．3．若不等式﹣3x＜1，兩邊同時除以﹣3，得（）A．x＞﹣ B．x＜﹣ C．x＞ D．x＜【分析】利用不等式的性質(zhì)解答即可．解：不等式﹣3x＜1，兩邊同時除以﹣3，得x＞﹣．故選：A．【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)．解不等式依據(jù)不等式的性質(zhì)，在不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或整式不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號的方向改變．特別是在系數(shù)化為1這一個過程中要注意不等號的方向的變化．4．將一副三角尺按如圖的方式擺放，其中l(wèi)1∥l2，則∠α的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．70°【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠ABC，再根據(jù)∠CBD＝90°，即可得到∠α＝90°﹣30°＝60°．解：如圖所示，∵l1∥l2，∴∠A＝∠ABC＝30°，又∵∠CBD＝90°，∴∠α＝90°﹣30°＝60°，故選：C．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．5．如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，使△ABC≌△DFE，需添加一個條件，下列所給的條件及相應(yīng)的判定定理不正確的是（）A．AB＝DF（SAS） B．∠B＝∠F（AAS） C．BC＝FE（SSA） D．∠ACB＝∠DEF（ASA）【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．解：A．AB＝DF，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本選項不符合題意；B．∠B＝∠F，∠A＝∠D，AC＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DFE，故本選項不符合題意；C．∠A＝∠D＝90°，BC＝FE，AC＝DE，符合兩直角三角形全等的判定定理HL（不是SSA），能推出△ABC≌△DFE，故本選項符合題意；D．∠ACB＝∠DEF，AC＝DE，∠A＝∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DFE，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．6．給出下列命題：①三角形任何兩邊之和大于第三邊；②三角形任何一外角等于兩內(nèi)角之和；③兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，下列屬于真命題的是（）A．①③ B．②③ C．①② D．①【分析】利用三角形的三邊關(guān)系、外角的性質(zhì)、全等三角形的判定方法等知識分別判斷后即可確定正確的選項．解：①三角形任何兩邊之和大于第三邊，正確，是真命題，符合題意；②三角形任何一外角等于不相鄰的兩內(nèi)角之和，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；③兩邊和夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意．真命題有①，故選：D．【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及定理，難度不大．7．如圖，若△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，BB′交MN于點O，則下列說法中不一定正確的是（）A．AC＝A′C′ B．AB∥B′C′ C．AA′⊥MN D．BO＝B′O【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解．解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、C、D選項正確，AB∥B′C′不一定成立，故B選項錯誤，所以，不一定正確的是B．故選：B．【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)與運用，對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等．8．如圖，∠BAC＝100°，AB＞AC．若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ的度數(shù)是（）A．20° B．60° C．50° D．40°【分析】由AB＝AC，∠BAC＝100°，可求得∠B+∠C的度數(shù)，又由MP，NQ分別垂直平分AB，AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AP＝BP，AQ＝CQ，繼而求得∠BAP+∠CAQ的度數(shù)，則可求得答案．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，∵M(jìn)P，NQ分別垂直平分AB，AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝80°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝20°．故選：A．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9．已知銳角∠AOB＝40°，如圖，按下列步驟作圖：①在OA邊取一點D，以O(shè)為圓心，OD長為半徑畫弧MN，交OB于點C，連接CD．②以D為圓心，DO長為半徑畫弧GH，交OB于點E，連接DE．則∠CDE的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析】由作圖步驟①，可知OC＝OD，利用等邊對等角，可得出∠OCD＝∠ODC，在△OCD中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出∠OCD的度數(shù)，由作圖步驟②，可知DO＝DE，利用等邊對等角，可求出∠DEO的度數(shù)，由∠OCD是△CDE的外角，再利用三角形的外角性質(zhì)，即可求出∠CDE的度數(shù)．解：由作圖步驟①可知：OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC．在△OCD中，∠COD＝40°，∠OCD＝∠ODC，∴∠OCD＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣40°）＝70°．由作圖步驟②可知：DO＝DE，∴∠DEO＝∠DOE＝40°．∵∠OCD是△CDE的外角，∴∠OCD＝∠DEC+∠CDE，∴∠CDE＝∠OCD﹣∠DEC＝70°﹣40°＝30°．故選：B．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)作圖的步驟，找出OC＝OD＝DE是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC．O為AC中點，OE⊥OD交AB于點E，EF⊥CD于點F，交AC于點M，BO的延長線交DC于點G．若，則下列結(jié)論正確的（）①OE＝OD；②BG＝CM；③若AB＝10，則四邊形AEOD的面積為25；④OE：AD＝：1．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)推導(dǎo)出∠OBE＝∠OAD，OB＝OA＝OC＝AC，∠BOE＝∠AOD＝90°﹣∠AOE，即可證明△BOE≌△AOD，得OE＝OD，可判斷①正確；由∠DOG＝∠EOM，∠ODG＝90°﹣∠DIF＝90°﹣∠OIE＝∠OEM，OD＝OE，可證明△ODG≌△OEM，得OG＝OM，則OG+OB＝OM+OC，所以BG＝CM，可判斷②正確，由S四邊形AEOD＝S△AOE+S△AOD＝S△AOE+S△BOE＝S△AOB＝S△ABC≠S△ABC，可判斷③錯誤；連接DE，設(shè)AD＝BE＝m，由＝，可推導(dǎo)出AB＝BC＝3m，AE＝AB﹣BE＝2m，則2OE2＝m2+（2m）2，得OE＝m，所以＝，可判斷④正確，于是得到問題的答案．解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠BCA＝45°，∵O為AC中點，∴BO⊥AC，∠OBE＝∠OBC＝∠ABC＝45°，∴∠OBE＝∠OAD，OB＝OA＝OC＝AC，∵OE⊥OD，∴∠AOB＝∠DOE＝∠AOG＝90°，∴∠BOE＝∠AOD＝90°﹣∠AOE，∠DOG＝∠EOM＝90°﹣∠AOD，在△BOE和△AOD中，，∴△BOE≌△AOD（ASA），∴OE＝OD，BE＝AD，故①正確；∵EF⊥CD于點F，∴∠EFD＝90°，∵∠DIF＝∠OIE，∴∠ODG＝90°﹣∠DIF＝90°﹣∠OIE＝∠OEM，在△ODG和△OEM中，，∴△ODG≌△OEM（ASA），∴OG＝OM，∴OG+OB＝OM+OC，∴BG＝CM，故②正確；∵OA＝OC，∴S△AOB＝S△COB＝S△ABC，∵S△AOD＝S△BOE，∴S四邊形AEOD＝S△AOE+S△AOD＝S△AOE+S△BOE＝S△AOB＝S△ABC≠S△ABC，故③錯誤；連接DE，設(shè)AD＝BE＝m，∵＝，∴AB＝BC＝3m，∴AE＝AB﹣BE＝2m，∵∠DOE＝∠DAE＝90°，OE＝OD，∴2OE2＝OE2+OD2＝AD2+AE2＝DE2，∴2OE2＝m2+（2m）2，∴OE＝m，∴＝＝，故④錯誤，故選：B．【點評】此題重點考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識，正確地作出輔助線并且證明△BOE≌△AOD及△ODG≌△OEM是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題3分，共24分）11．如圖，若∠α＝38°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，則∠AOB的度數(shù)為76°．【分析】由尺規(guī)作圖的作法得到∠AOB＝2∠α，代入數(shù)據(jù)即可得到答案．解：由尺規(guī)作圖可知，∠AOB＝2∠α，∵∠α＝38°，∴∠AOB＝76°，故答案為：76°．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，熟練掌握基本作圖的方法是解題的關(guān)鍵．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點E，F(xiàn)；再分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC于點D．若CD＝3，則點D到AB的距離是3．【分析】作DM⊥AB于點M，由作圖知AD平分∠BAC且CD＝3，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出DM＝DC＝3．解：如圖所示，過點D作DM⊥AB于點M，由作圖知AD平分∠BAC，且CD＝3，∴DM＝DC＝3，故答案為：3．【點評】本題主要考查作圖—基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的尺規(guī)作圖和角平分線的性質(zhì)．13．按照下面給定的計算程序，當(dāng)x＝﹣2時，輸出的結(jié)果是1；使代數(shù)式2x+5的值小于20的最大整數(shù)x是7．【分析】由運算程序可計算出當(dāng)x＝2時，輸出結(jié)果，求得使代數(shù)式2x+5的值小于20的最大整數(shù)x是7．解：當(dāng)x＝﹣2時，第1次運算結(jié)果為2×（﹣2）+5＝1，∴當(dāng)x＝﹣2時，輸出結(jié)果是1，使代數(shù)式2x+5的值小于20的最大整數(shù)x是7，故答案為：1，7．【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，EF垂直平分BC，點P為直線EF上一動點，則△ABP周長的最小值是17．【分析】連接PC，如圖，先由勾股定理得AC的長，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PB＝PC，則PA+PB＝PA+PC，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得到PA+PC≥AC（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、C共線時取等號），則PA+PC的最小值為AC的長，所以△ABP周長的最小值＝AB+AC．解：連接PC，如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，∴AC＝＝12，∵EF垂直平分BC，∴PB＝PC，∴PA+PB＝PA+PC，∵PA+PC≥AC（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、C共線時取等號），∴PA+PC的最小值為AC的長，∴△ABP周長的最小值＝AB+AC＝5+12＝17．故答案為：17．【點評】此題考查的是軸對稱﹣最短線路問題、線段垂直平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．15．直角三角形的周長為12cm，斜邊長為5cm，則其面積是6cm2．【分析】根據(jù)周長列出關(guān)于另外兩直角邊的關(guān)系，再利用勾股定理列出另一關(guān)系，聯(lián)立即可解得兩直角邊之積，再進(jìn)行面積的計算．解：設(shè)另外兩直角邊分別為x，y．則x+y+5＝12①x2+y2＝25②①②聯(lián)立解得xy＝12，故直角三角形的面積為．【點評】考查根據(jù)已知條件列方程的能力，并與直角三角形的面積結(jié)合起來進(jìn)行簡單應(yīng)用．注意不需要解出兩直角邊的長．16．如圖是長方形紙帶a，∠DEF＝20°，將紙帶沿EF折疊成圖b，則∠AEG的度數(shù)為140度，再沿BF折疊成圖c，則圖中的∠CFE的度數(shù)是120度．【分析】由折疊知∠DEF＝∠GEF＝20°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEF+∠GFE＝180°，然后再求∠CFE的度數(shù)．解：∵∠DEF＝20°，∴∠FEG＝20°，∴∠AEG＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∵AE∥BF，∴∠AEF+∠GFE＝180°，∵∠AEF＝180°﹣20°＝160°，∴∠GFE＝20°，∴∠CFE＝180°﹣20°×3＝120°，故答案為：140；120．【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和圖形的折疊，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，折疊前后角的度數(shù)不變．17．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．現(xiàn)將△ABC按如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE，則DE的長為．【分析】根據(jù)勾股定理可求AB＝10，由折疊的性質(zhì)可得BE＝AE，AD＝BD＝5，DE⊥AB，根據(jù)勾股定理可求BE的長，DE的長．解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵將△ABC按如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE，∴BE＝AE，AD＝BD＝5，DE⊥AB，在Rt△BEC中，BE2＝BC2+CE2，∴BE2＝36+（8﹣BE）2，∴BE＝，在Rt△BDE中，DE＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了翻折變換，勾股定理，熟練運用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．18．如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點，連接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'與AB交于點E，連接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點D到BC的距離為．【分析】連接CC'，交BD于點M，過點D作DH⊥BC'于點H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，證△ADC'為等邊三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的長，在△BDC'中利用面積法求出DH的長，則可得出答案．解：如圖，連接CC'，交BD于點M，過點D作DH⊥BC'于點H，∵AD＝AC′＝2，D是AC邊上的中點，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'為等邊三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'?DH＝BD?CM，∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴點D到BC的距離為．故答案為：．【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，解題關(guān)鍵是會通過面積法求線段的長度．三、解答題（共46分）19．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列問題（僅用無刻度的直尺作圖，且保留必要的作圖痕跡）：（1）在AB上找一點D，使CD⊥AB；（2）在AC上找一點E，使BE平分∠ABC．【分析】（1）取格點T，連接CT交AB于點D，點D即為所求；（2）取格點P，連接AP，取AP的中點Q，連接BQ交AC于點E，點E即為所求．【解答】解；（1）如圖，點D即為所求；（2）如圖，點E即為所求．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形的高，角平分線等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．20．莆仙戲是現(xiàn)存最古老的地方戲劇種之一，被稱為“宋元南戲的活化石”，2021年5月莆仙戲《踏傘行》獲評為“2020年度國家舞臺藝術(shù)精品創(chuàng)作扶持工程重點扶持劇目”．該劇中“油紙傘”無疑是最重要的道具，依傘設(shè)戲，情節(jié)新穎，結(jié)構(gòu)巧妙，譜寫了一曲美輪美奐、詩意盎然的傳統(tǒng)戲曲樂歌．“油紙傘”的制作工藝十分巧妙．如圖，傘圈D沿著傘柄滑動時，總有傘骨BD＝CD，AB＝AC，從而使得傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAC．為什么？【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABD≌△ACD（SSS），進(jìn)而得出答案．解：AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAC，理由：在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，即AP平分∠BAC．【點評】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，正確得出△ABD≌△ACD是解題關(guān)鍵．21．已知：如圖，點B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AB＝DC，∠B＝∠C，BE＝CF．（1）求證：△ABF≌△DCE．（2）若∠AGE＝80°，求∠AFE的度數(shù)．【分析】（1）由BE＝CF，兩邊加上EF，得到BF＝CE，利用SAS即可得證．（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【解答】（1）證明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴GE＝GF，∵∠AGE＝80°，∴∠EGF＝180°﹣80°＝100°，∴∠AFE＝＝40°．【點評】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．22．如圖，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分線，F(xiàn)是AC中點，∠ACB＝50°，∠BAD＝70°．（1）求∠AEC的度數(shù)；（2）若△BCF與△BAF的周長差為3，AB＝7，能否求出BC的值？若能，請寫出理由和結(jié)果；若不能，請你補(bǔ)充條件并解答．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)角平分線的定義求出∠ECB，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)三角形的中線的定義得到AF＝FC，再根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．解：（1）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°，∵CE是△ACB的角平分線，∠ACB＝50°，∴∠ECB＝∠ACB＝×50°＝25°，∴∠AEC＝∠ABC+∠ECB＝20°+25°＝45°；（2）能求出BC的值，理由如下：∵F是AC中點，∴AF＝FC，∵△BCF與△BAF的周長差為3，∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，∴BC﹣AB＝3，∵AB＝7，∴BC＝3+7＝10．【點評】本題考查的是三角形的高、中線、角平分線，掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在等邊三角形ABC中，D是AB上的一點，E是CB延長線上一點，連接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求證：△DEC是等腰三角形．（2）當(dāng)∠BDC＝5∠EDB，EC＝8時，求△EDC的面積．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)∠EDB＝α，則∠BDC＝5α，得∠E＝∠DCE＝60°﹣α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得α＝15°，過D作DH⊥CE于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得DH的長，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：設(shè)∠EDB＝α，則∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如圖，過D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面積＝EC?DH＝8×4＝16．