2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練-第四章三角形第6節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用

第6節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用1.(2021·桂林)如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P(3,4),連接OP,則OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值是 (D)第1題圖A.34 B.43 C.35 2.(2021·福州模擬)如圖,A,B,C是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn),連接AC,AB,則tan∠BAC的值是 (C)第2題圖A.52626 B.2626 C.15 3.(2021·甘谷一模)在△ABC中,若2cosA-1+(3-tanB)2=0,則∠C=604.(2021·海南)如圖,△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是(1,0)、(0,3),且∠ABC=90°,∠A=30°,則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,3).

5.(2021·湘西州)有詩(shī)云:東山雨霽畫(huà)屏開(kāi),風(fēng)卷松聲入耳來(lái).一座樓閣鎮(zhèn)四方,團(tuán)結(jié)一心建家鄉(xiāng).1987年為慶祝湘西自治州成立三十周年,湘西州政府在花果山公園內(nèi)修建了一座三層樓高的“一心閣”民族團(tuán)結(jié)樓閣.芙蓉學(xué)校數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組為測(cè)量“一心閣”CH的高度,在樓前的平地上A處,觀測(cè)到樓頂C處的仰角為30°,在平地上B處觀測(cè)到樓頂C處的仰角為45°,并測(cè)得A、B兩處相距20m,求“一心閣”CH的高度.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位.參考數(shù)據(jù):2≈1.41,3=1.73)解:設(shè)CH為xm.由題意,得∠AHC=90°,∠CBH=45°,∠A=30°,∴BH=CH=xm,AH=CHtan30°=∵AH-BH=AB,∴3x-x=20,解得x=10(3+1)≈27.3.答:“一心閣”CH的高度約為27.3m.6.(2021·柳州)在一次海上救援中,兩艘專(zhuān)業(yè)救助船A、B同時(shí)收到某事故漁船P的求救訊息.已知此時(shí)救助船B在A的正北方向,事故漁船P在救助船A的北偏西30°方向上,在救助船B的西南方向上,且事故漁船P與救助船A相距120海里.(1)求收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離;(結(jié)果保留根號(hào))(2)求救助船A、B分別以40海里/小時(shí),30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā),勻速直線前往事故漁船P處搜救,試通過(guò)計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá).解:(1)如圖,作PC⊥AB于點(diǎn)C,則∠PCA=∠PCB=90°.由題意,得PA=120(海里),∠A=30°,∠CBP=45°.在Rt△ACP中,∵∠CAP=30°,∠PCA=90°,∴PC=12PA=60(海里)在Rt△BCP中,∵∠PCB=90°,∠CBP=45°,∴PB=PCsin45°=6022=60答:收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離為602海里.(2)∵PA=120(海里),PB=602(海里),救助船A、B分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā),∴救助船A所用的時(shí)間為12040=3(小時(shí)救助船B所用的時(shí)間為60230=22(∵3>22,∴救助船B先到達(dá).7.(2021·寧波模擬)疫情停課期間,各地區(qū)紛紛開(kāi)展線上教學(xué).為了使孩子更好地學(xué)習(xí)網(wǎng)課,某家長(zhǎng)為孩子上課所用的平板電腦購(gòu)置了支架.圖①為一種平板電腦保護(hù)套的支架效果圖,AM固定于平板電腦背面,與可活動(dòng)的MB,CB部分組成支架.平板電腦的下端N保持在保護(hù)套CB上,不考慮拐角處的弧度及平板電腦和保護(hù)套的厚度,繪制成圖②.其中AN表示平板電腦,M為AN上的定點(diǎn),AN=CB=20cm,AM=8cm,MB=MN.我們把∠ANB叫做傾斜角.(1)當(dāng)傾斜角為45°時(shí),求CN的長(zhǎng);(2)按設(shè)計(jì)要求,傾斜角能小于30°嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)當(dāng)∠ANB=45°時(shí),∵M(jìn)B=MN,∴∠B=∠ANB=45°,∴∠NMB=180°-∠ANB-∠B=90°.在Rt△NMB中,sinB=MNBN∴BN=MNsinB=AN-AMsinB∴CN=CB-BN=(20-122)cm.(2)不能小于30°,理由如下:當(dāng)∠ANB=30°時(shí),作ME⊥CB,垂足為E,如圖.∵M(jìn)B=MN,∴∠B=∠ANB=30°.在Rt△BEM中,cosB=BEBM∴BE=BM·cosB=(AN-AM)·cosB=63.∵M(jìn)B=MN,ME⊥CB,∴BN=2BE=123.∵CB=AN=20cm,且123>20,∴此時(shí)N不在CB邊上,與題目條件不符.隨著∠ANB度數(shù)的減小,BN長(zhǎng)度在增加,∴傾斜角不可以小于30°.8.【數(shù)學(xué)建模】(2020·嘉興)為了測(cè)量一條兩岸平行的河流寬度,三個(gè)數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計(jì)了不同的方案,他們?cè)诤幽习兜狞c(diǎn)A處測(cè)得河北岸的樹(shù)H恰好在A的正北方向.測(cè)量方案與數(shù)據(jù)如下表:課題測(cè)量河流寬度測(cè)量工具測(cè)量角度的儀器,皮尺等測(cè)量小組第一小組第二小組第三小組測(cè)量方案示意圖說(shuō)明點(diǎn)B,C在點(diǎn)A的正東方向點(diǎn)B,D在點(diǎn)A的正東方向點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向,點(diǎn)C在點(diǎn)A的正西方向.測(cè)量數(shù)據(jù)BC=60m,∠ABH=70°,∠ACH=35°.BD=20m,∠ABH=70°,∠BCD=35°.BC=101m,∠ABH=70°,∠ACH=35°.(1)哪個(gè)小組的數(shù)據(jù)無(wú)法計(jì)算出河寬?(2)請(qǐng)選擇其中一個(gè)方案及其數(shù)據(jù)求出河寬.(精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù):sin70°≈0.94,sin35°≈0.57,tan70°≈2.75,tan35°≈0.70)解:(1)第二個(gè)小組的數(shù)據(jù)無(wú)法計(jì)算河寬.(2)第一個(gè)小組的解法:∵∠ABH=∠ACH+∠BHC,∠ABH=70°,∠ACH=35°,∴∠BHC=∠BCH=