2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)熱點(diǎn)專(zhuān)題突破專(zhuān)題五中點(diǎn)與角平分線的常見(jiàn)模型

專(zhuān)題五中點(diǎn)與角平分線的常見(jiàn)模型圖形中出現(xiàn)中點(diǎn),可以引起我們豐富的聯(lián)想:它和三角形的中線、中位線緊密聯(lián)系,可以和平行線一起構(gòu)造全等三角形,另外,中點(diǎn)還可以與中心對(duì)稱(chēng)、圓中的垂徑定理相聯(lián)系.解答中點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)聯(lián)想,恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線,如構(gòu)造三角形中位線、作直角三角形斜邊上的中線、作倍長(zhǎng)中線、構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)圖形等.角平分線往往是解決復(fù)雜平面問(wèn)題的切入點(diǎn),當(dāng)題目中出現(xiàn)角平分線(或容易得到角平分線)時(shí),首先考慮利用角平分線定理構(gòu)造與角有關(guān)的對(duì)稱(chēng)圖形,若另有平行或垂直等條件,則可以考慮構(gòu)造等腰三角形或?qū)ΨQ(chēng)圖形求解.目錄一、與中點(diǎn)有關(guān)的常見(jiàn)模型模型1利用中點(diǎn)和平行線構(gòu)造全等三角形模型2利用多個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造中位線模型3在等腰三角形中,構(gòu)造“三線合一”模型4在直角三角形中,構(gòu)造斜邊上的中線模型5在圓中,利用中點(diǎn)構(gòu)造垂徑定理(見(jiàn)圓有關(guān)章節(jié))二、與角平分線有關(guān)的常見(jiàn)模型模型1構(gòu)造與角有關(guān)的對(duì)稱(chēng)圖形模型2“角平分線、平行線、等腰三角形”知二得一典例精析一、與中點(diǎn)有關(guān)的常見(jiàn)模型模型1利用中點(diǎn)和平行線構(gòu)造全等三角形典例1(2020·北京改編)在△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,D是AB的中點(diǎn).E是線段CA的延長(zhǎng)線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接DE.過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接EF.求證:AE2+BF2=EF2.【答案】如圖,過(guò)點(diǎn)B作BM∥AC,與ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,連接MF.∴∠AED=∠BMD,∠CBM=∠ACB=90°.∵D是AB的中點(diǎn),∴AD=BD.在△ADE和△BDM中,∠∴△ADE≌△BDM(AAS),∴AE=BM,DE=DM.∵DF⊥DE,∴EF=MF.在Rt△BMF中,BM2+BF2=MF2,∴AE2+BF2=EF2.如圖1,若D是BC的中點(diǎn),AC∥BE,則△ACD≌△EBD.如圖2,若AD是△ABC的中線,過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線,交三角形的中線AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則AD=DE,這其實(shí)就是我們常講的倍長(zhǎng)中線法.模型2利用多個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造中位線典例2如圖,在△ABC中,分別以AB,AC為腰向外側(cè)作等腰Rt△ADB與等腰Rt△AEC,∠DAB=∠EAC=90°,連接DC,EB相交于點(diǎn)O,BE=BC,且G,F分別是DB,EC的中點(diǎn),求GFBC的值.【答案】取DE的中點(diǎn)H,連接GH,FH.∵∠DAB=∠EAC=90°,∴∠BAE=∠DAC.在△BAE和△DAC中,AB∴△BAE≌△DAC(SAS),∴∠ABE=∠ADC,BE=CD.∵∠BAD=90°,∴∠DOB=90°,即BE⊥CD.∵G是BD的中點(diǎn),∴GH∥BE,GH=12BE同理,FH∥CD,FH=12CD∵BE=CD,BE⊥CD,∴GH=FH,GH⊥FH,∴△HGF為等腰直角三角形,∴GF=2GH.∵GH=12BE∵BE=BC,∴GFBC對(duì)于圖形中有多個(gè)中點(diǎn)的情況,連接同一個(gè)三角形兩邊上的中點(diǎn),構(gòu)造中位線.特別是已知四邊形的對(duì)邊中點(diǎn),常取第三邊的中點(diǎn)或?qū)蔷€的中點(diǎn)構(gòu)造中位線,如圖:模型3在等腰三角形中,構(gòu)造“三線合一”典例3如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=2,AB=6,∠B是銳角,AE⊥BC于點(diǎn)E,F是AB的中點(diǎn),連接DF,EF.若∠EFD=90°,求AE的長(zhǎng).【答案】延長(zhǎng)EF交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接DE,設(shè)BE=x.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DQ∥BC,∴∠Q=∠BEF.∵AF=BF,∠AFQ=∠BFE,∴△QFA≌△EFB(AAS),∴AQ=BE=x,QF=EF.∵∠EFD=90°,∴DF⊥QE,∴DE=DQ=x+2.∵AE⊥BC,BC∥AD,∴AE⊥AD,∴∠EAD=∠AEB=90°.∵AE2=DE2－AD2=AB2－BE2,∴(x+2)2－4=6－x2,整理得2x2+4x－6=0,解得x=1或x=－3(舍去),∴BE=1,∴AE=AB當(dāng)?shù)妊切斡械走吷系闹悬c(diǎn)時(shí),通常作底邊上的中線,利用“三線合一”的性質(zhì)解題.模型4在直角三角形中,構(gòu)造斜邊上的中線典例4如圖,在△ABC中,∠C=25°,點(diǎn)D在邊BC上,且∠DAC=90°,AB=12DC,求∠BAC的度數(shù).【答案】取CD的中點(diǎn)E,連接AE.∵∠DAC=90°,∴AE=EC=12DC∴∠EAC=∠C=25°,∴∠AED=25°+25°=50°.又∵AB=12DC,∴AB=AE,∴∠B=∠AED=50°∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－50°－25°=105°.當(dāng)直角三角形中有斜邊上的中點(diǎn)時(shí),常作斜邊上的中線,利用“斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CD=AD=BD=12AB來(lái)解題.有時(shí)有直角無(wú)中點(diǎn),要找中點(diǎn),可簡(jiǎn)記為“直角+中點(diǎn),等腰必呈現(xiàn)”此模型作用:①證明線段相等或求線段長(zhǎng);②構(gòu)造角相等進(jìn)行等量代換.模型5在圓中,利用中點(diǎn)構(gòu)造垂徑定理(見(jiàn)圓有關(guān)章節(jié))二、與角平分線有關(guān)的常見(jiàn)模型模型1構(gòu)造與角有關(guān)的對(duì)稱(chēng)圖形典例5如圖,在四邊形ABCD中,AB=14,CD=8,∠BAD=45°,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,求BC的長(zhǎng).【答案】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.∵BD平分∠ABC,∴DE=CD=8.∵∠BAD=45°,DE⊥AB,∴AE=DE=8,∴BE=AB－AE=6,∴BC=BE=6.若P是∠AOB平分線上一點(diǎn),通常利用角的對(duì)稱(chēng)性構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形.①若PC⊥OA于點(diǎn)C,則作PD⊥OB于點(diǎn)D,如圖1;②若C是OA上任意一點(diǎn),則在OB上取點(diǎn)D,使OD=OC,連接PD,如圖2;③過(guò)點(diǎn)P作OP的垂線分別交OA,OB于點(diǎn)C,D,如圖3.模型2“角平分線、平行線、等腰三角形”知二得一典例6如圖,在?ABCD中,AE平分∠BAD,交CD于點(diǎn)F,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BF.求證:BE=CD.【答案】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AB=CD,∴∠EAD=∠E.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD,∴∠BAE=∠E,∴AB=BE.又∵AB=CD,∴BE=CD.如圖,AD平分∠EAC,AD∥BC,AB=AC,把其中兩個(gè)作為條件,第三個(gè)作為結(jié)論的命題都是真命題,可簡(jiǎn)記為“平平等”.針對(duì)訓(xùn)練1.如圖,P是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn),PD⊥OB,垂足為D.若PD=2,則點(diǎn)P到邊OA的距離是(B)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA,垂足為E.∵P是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn),PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD=2.2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD為中線,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=BC,連接DE,F為DE中點(diǎn),連接BF.若AC=8,BC=6,則BF的長(zhǎng)為(B)A.2 B.2.5 C.3 D.4【解析】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB=AC2+BC3.如圖,在?ABCD中,按以下步驟作圖:①以點(diǎn)A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑作弧,分別交AB,AD于點(diǎn)M,N;②分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于12MN的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)P;③作射線AP交邊CD于點(diǎn)Q.若DQ=2QC,BC=2,則?ABCD的周長(zhǎng)為10.【解析】由作圖知,AQ是∠BAD的平分線,∴∠BAQ=∠DAQ.又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠DQA=∠BAQ,∴∠DAQ=∠DQA,∴DQ=DA=2.∵DQ=2QC,∴QC=1,∴?ABCD的周長(zhǎng)為2(BC+CD)=2×5=10.4.(2021·江蘇泰州)如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD=4,且AB與CD不平行,P,M,N分別是AD,BD,AC的中點(diǎn),設(shè)△PMN的面積為S,則S的范圍是0<S≤2.

【解析】過(guò)點(diǎn)M作ME⊥PN,垂足為E.∵P,M,N分別是AD,BD,AC的中點(diǎn),∴PM=12AB=2,PN=12CD=2,∴S=12PN·ME=ME.∵AB與CD不平行,∴M,N不能重合,∴ME>05.如圖,E是?ABCD的邊AD的中點(diǎn),連接CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若CD=6,求BF的長(zhǎng).解:∵E是?ABCD的邊AD的中點(diǎn),∴AE=DE.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD=6,AB∥CD,∴∠F=∠DCE.在△AEF和△DEC中,∠∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD=6,∴BF=AB+AF=12.6.如圖,△ABC和△ECD是等腰直角三角形,CE⊥BC于點(diǎn)C,取BD的中點(diǎn)N,連接EN并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M,連接AN,AM,AE.(1)直接寫(xiě)出:AN與EM的位置關(guān)系是AN⊥EM,AN與EM的數(shù)量關(guān)系是AN=12EM.(2)請(qǐng)證明上述關(guān)系.解:(2)∵∠DEC=∠BCE=90°,∴DE∥BC,∴∠EDN=∠MBN.又∵DN=BN,∠END=∠MNB,∴△END≌△MNB(ASA),∴MN=EN,BM=DE.∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,∠ACB=45°.∵∠BCE=90°,∴∠ACE=45°=∠ABM.∵AB=AC,∠ABM=∠ACE,BM=CE,∴△ABM≌△ACE(SAS),∴AM=AE,∠BAM=∠CAE,∴∠MAE=∠BAC=90°.∵M(jìn)N=EN,∴AN⊥EM,AN=12EM7.在△ABC中,如圖1,D,E分別是線段AB,AC上的點(diǎn),G,F,H分別是DE,BE,BC的中點(diǎn).(1)證明:∠A+∠GFH=180°.(2)若AB=AC,AD=AE,將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,其他條件不變,連接BD,CE,GH,如圖2.求證:△FGH是等腰三角形.解:(1)∵G,F,H分別是DE,BE,BC的中點(diǎn),∴FG,FH分別是△BDE和△BCE的中位線,∴FG∥BD,FH∥CE,∴∠ABE=∠EFG,∠EFH=∠EBC+∠BHF=∠EBC+∠C,∴∠GFH=∠ABE+∠EBC+∠C=180°－∠A,∴∠A+∠GFH=180°.(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠DAE=∠BAC,∴∠DAB=∠EAC.又∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC(SAS),∴BD=CE.又∵FG,FH分別是△BDE和△BCE的中位線,∴FG=12BD∴FG=FH,即△FGH是等腰三角形.8.(2021·山東東營(yíng))已知O是線段AB的中點(diǎn),P是直線l上的任意一點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線,垂足分別為C和D.我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”.(1)【猜想驗(yàn)證】如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí),請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫(xiě)出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是OC=OD.

(2)【探究證明】如圖2,當(dāng)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí),“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立,若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)【拓展延伸】如圖3,①當(dāng)P是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí),“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立,若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.②若∠COD=60°,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AC,BD,OC之間的數(shù)量關(guān)系.解:(2)數(shù)量關(guān)系依然成立.理由:如圖1,過(guò)點(diǎn)O作EF∥CD,交BD于點(diǎn)F,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵EF∥CD,∴∠D