（人教A版）2021年新高二數(shù)學(xué)暑假講義-第十講 函數(shù)的圖象（學(xué)生版）

第十講函數(shù)的圖象

【基礎(chǔ)知識(shí)】

1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象

步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）化簡函數(shù)解析式；（3）討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期

性、對稱性等）；（4）列表（尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等）,

描點(diǎn)，連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

⑴平移變換

|吃）+」|

上個(gè)單位

移

ML<’：：啊n丑…）?

下

移MAX））個(gè)單位

I

（2）對稱變換

y=外幻的圖象——關(guān)于x軸對稱一:二^的圖象；

）=/）的圖象——關(guān)于［軸對稱一>y="力的圖象；

y=Kx）的圖象----關(guān)丁:原點(diǎn)對稱——?y=一日一x）的圖象；

y=a\a>0,且的圖象一~關(guān)了月.線？二工對稱一丫=］0々內(nèi)（4〉0,且。#1）的圖象.

（3）伸縮變換

縱坐標(biāo)不變

y=/U）-----------------------；-------------y=j{ax）.

各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹辏ā?gt;0）倍

橫坐標(biāo)不變

y=/U）--------------------------------------=A/U）.

各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A>0）倍

（4）翻折變換

無軸下方部分翻折到上方

y=Kx）的圖象——；［二的圖象;

x軸及上方部分不變

y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)

y=/仇)的圖象盾二八二二八土玷“皿7行》產(chǎn)4曲的圖象.

原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變

［微點(diǎn)提醒］

記住幾個(gè)重要結(jié)論

(1)函數(shù)y=/(x)與>=42&—x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

⑵函數(shù)y=/U)與y=2〃一式2a—x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,加中心對稱.

(3)若函數(shù)y=/(x)對定義域內(nèi)任意自變量x滿足：J［a+x)=j{a—x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直

線x=a對稱.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象

【例1】作出下列函數(shù)的圖象：

n\w

(l)y=|jJ；(2)y=|log2(x+l)|；(3)y=f—2兇一1.

【解析】(1)先作出y=(0的圖象，保留y=Q)圖象中x20的部分，再作出y=g)的圖象

中x>0部分關(guān)于y軸的對稱部分，即得)，=(?的圖象，如圖①實(shí)線部分.

⑵將函數(shù)y=log2X的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到

函數(shù)y=|log2(x+l)|的圖象，如圖②.

(3)；y=;二’且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出［0，+8)上的圖象，再根據(jù)對

I2x19x<0,

稱性作出(-8,0)上的圖象，得圖象如圖③.

規(guī)律方法作函數(shù)圖象的一般方法

(1)直接法.當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描

出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.

(2)圖象變換法.若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象

變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

考點(diǎn)二函數(shù)圖象的辨識(shí)

【解析】(1)法一易知g(x)=x+學(xué)為奇函數(shù)，故y=l+x+誓的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對

稱，排除C；當(dāng)xG(0,1)時(shí)，>?0,排除A；當(dāng)尤=無時(shí)，丫=1+兀，排除B,選項(xiàng)D滿足.

法二當(dāng)x=l時(shí)，/Q)=l+l+sinl=2+sin1>2,排除A,C；又當(dāng)x—+8時(shí)，y--Foo,排

除B,而D滿足.

(2)*x)=2f-e叫xE［-2,2］是偶函數(shù),

又_A2)=8—e2?(0,1),排除選項(xiàng)A,B；

當(dāng)x20時(shí)，fix)=2x2~ex,/(x)=4x—eA,

所以八0)=—1<0,/(2)=8-e2>0,

所以函數(shù)./U)在(0,2)上有解，

故函數(shù)凡外在［0,2］上不單調(diào)，排除C,故選D.

規(guī)律方法1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：

⑴從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)

的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；（4）從函數(shù)的奇偶性，

判斷圖象的對稱性.

2.抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：

從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問題.

考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用

【例3—1】已知函數(shù)7U）=x|x|-2x,則下列結(jié)論正確的是（）

AKx）是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是（0,+°°）

是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是（一8,1）

C：*X）是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是（一1,1）

是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是（一8,0）

【解析】將函數(shù)/U）=xR—版去掉絕對值得

X2—2x,x20,

fix）="~

[—A2x,x<0,

畫出函數(shù)“0的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)yu）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)為奇函

數(shù)，且在（一1,1）上是減少的.

【例3—2】已知函數(shù)y=/（x）的圖象是如圖所示的折線ACB,且函數(shù)g（x）=log2（龍+1）”，則不

等式式幻2g（x）的解集是（）

A.{x|-l<x<0}

B.{x|TWxWl}

C.{A|-1<XW1}

D.{X|-14W2}

【解析】令g(x)=y=log2(x+l),

作出函數(shù)g(x)圖象如圖,

g(x)=log2(.v+l)

x+y=2,

sy=log2(x+1),

結(jié)合圖象知不等式/U)2k)g2(x+1)的解集為{川一

【例3—3】已知函數(shù)兀其中加＞0.若存在實(shí)數(shù)A使得關(guān)于x的方程

J{x)=b有三個(gè)不同的根，則"2的取值范圍是.

【解析】在同一坐標(biāo)系中，作y=/(x)與的圖象.

當(dāng)x＞m時(shí)，x2—2mx+47??=(x—m)2+4m—nr,

...要使方程有三個(gè)不同的根，則有4，“一，“2＜加，

即加―3加＞0.又加＞0,解得m＞3.

規(guī)律方法1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，

其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)

與圖象特征的對應(yīng)關(guān)系.

2.利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問題，方程兀r)=g(x)的根就是函數(shù)/U)與g(x)

圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；不等式y(tǒng)(x)＜g(x)的解集是函數(shù)/U)的圖象位于g(x)圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)

的集合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

【真題演練】

1.(2021?浙江高考真題)已知函數(shù)/(x)=x2+!，g(x)=sinx,則圖象為如圖的函數(shù)可能是()

y

B-y"（x）-g（x）T

c、，一g（X）

c.y=f(x)g(x)D.y=------

于（X）

（2021.全國高三其他模擬）函數(shù)”x）=x2sinx+g在［T,4］上的圖象大致為（）

2.

（2021?寧波中學(xué)高三其他模擬）函數(shù)〃x）=（2二2-m2”的圖象大致為（）

3.

x

4.（2021?陜西咸陽市?高三其他模擬）已知函數(shù)/（x）=JpH（aeR）,則y=/（幻的大致圖象不可能

為（）

5.(2021.全國高考真題(文))已知函數(shù)/(x)=K-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-l|.

(1)畫出y=f(x)和y=g(x)的圖像;

⑵若/(x+a)2g(x),求a的取值范圍.

【過關(guān)檢測】

1.函數(shù)/(x)=e"sinx(r為常數(shù)，，＞0,e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象可能為()

3.已知函數(shù)/(x)=xsitu:,則其大致圖象是下列圖中的()

4.函數(shù)/（幻=￡^的圖象是（）

eA+e

5.以下四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖的是（）

_(x2+\)ex