2021-2022學(xué)年度強(qiáng)化訓(xùn)練北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第三章 圓同步測評(píng)試題（含解析）

北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第三章圓同步測評(píng)

考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1、如圖，正AABC的邊長為3cm,邊長為1cm的正ARPQ的頂點(diǎn)A與點(diǎn)｛重合，點(diǎn)P,0分別在4G

ABh,將ARPQ沿著邊46,BC,。連續(xù)翻轉(zhuǎn)（如圖所示），直至點(diǎn)夕第一次回到原來的位置，則點(diǎn)？

運(yùn)動(dòng)路徑的長為（）

A(R)QB

A.乃cmB.2^,cmC.3icmD.6?rcm

2、如圖，46是。。的直徑，CD為弦,口，46于點(diǎn)則下列結(jié)論中不成立是（)

A.弧然=弧4〃B.弧8C=弧劭C.CE=DED.OE=BE

3、在△/回中，CA=CB,點(diǎn)0為48中點(diǎn)、.以點(diǎn)。為圓心，CO長為半徑作。C,則。，與48的位置

關(guān)系是（）

C

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

4、如圖，正方形4仇力內(nèi)接于。。，點(diǎn)。在AB上，則下列角中可確定大小的是（）

A.4PCBB.4PBeC.ZBPCD.APBA

5、如圖，有一個(gè)亭子，它的地基是邊長為4m的正六邊形，則地基的面積為（)

o

A.4x/3m2B.12^m2C.24m：D.24Gmz

6、如圖，48是。。的直徑，C、。是。。上的兩點(diǎn)，若NBOC=13（T,則NAZ）C=（）

C____

A.15°B.20°C.25°D.30°

7、直角三角形△為6一條邊為46,另一頂點(diǎn)。在直線/上，下面是三個(gè)學(xué)生做直角三角形的過程以

及自認(rèn)為正確的最終結(jié)論：

甲：過點(diǎn)/作，的垂線，垂足為衣；過點(diǎn)6作1的垂線，垂足為旦；作故符合題意的點(diǎn)。

有三處；

乙：以46為直徑作圓。，。。與交/于兩點(diǎn)A、故符合題意的點(diǎn)尸有兩處；

丙：過點(diǎn)4作幾4，四，垂足為/,交/于點(diǎn)4；過點(diǎn)6作％^四，垂足為8,交/于點(diǎn)心故符合

題意的點(diǎn)尸有兩處.

下列說法正確的是（）

B

A

A.甲的作法和結(jié)論均正確

B.乙、丙的作法和結(jié)論合在一起才正確

C.甲、乙、丙的作法和結(jié)論合在一起才正確

D.丙的作法和結(jié)論均正確

8、如圖，△/阿內(nèi)接于圓，強(qiáng)劭交AC于點(diǎn)、P,連接力〃下列角中，筋所對(duì)圓周角的是（）

A.NAPBB.AABDC.NACBD.NBAC

9、如圖，正方形4?曲的邊長為8,若經(jīng)過C,〃兩點(diǎn)的。。與直線16相切，則。。的半徑為

（）

A.4.8B.5C.4也D.473

10、如圖，AABC中，ZABC=5O°,NACB=74。，點(diǎn)。是AABC的內(nèi)心.則N3OC等于（)

A.124°B.118°C.112°D.62°

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）

1、如圖，四邊形49切內(nèi)接于。0,點(diǎn)材在力〃的延長線上，乙仞0=142°,貝UN曲仁

2、“化圓為方”是古希臘尺規(guī)作圖難題之一，即：求作一個(gè)正方形，使其面積等于給定圓的面

積.這個(gè)問題困擾了人類上千年，直到19世紀(jì)，該問題被證明僅用直尺和圓規(guī)是無法完成的.如果

借用一個(gè)圓形紙片，我們就可以化圓為方，方法如下：

已知：。0(紙片)，其半徑為

求作：一個(gè)正方形，使其面積等于。。的面積.

作法：①如圖1,取。。的直徑A3,作射線84,過點(diǎn)A作A8的垂線/；

②如圖2,以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧交直線/于點(diǎn)C；

③將紙片。。沿著直線/向右無滑動(dòng)地滾動(dòng)半周，使點(diǎn)A,B分別落在對(duì)應(yīng)的4,9處；

④取C8'的中點(diǎn)V,以點(diǎn)用為圓心，MC為半徑畫半圓，交射線54于點(diǎn)E；

⑤以AE為邊作正方形

正方形用"G即為所求.

根據(jù)上述作圖步驟，完成下列填空：

(1)由①可知，直線/為。。的切線，其依據(jù)是

(2)由②③可知，AC=r,AB'=nr,則MC=,M4=(用含「的代數(shù)式

表示).

(3)連接ME,在廈△4WE中，WAM2+AE2=EM2,可計(jì)算得4爐=(用含，-的代數(shù)式

表小).由此可得S正方形AMG=Sg.

3、如圖，PA,以分別切。。于點(diǎn)4B,0是優(yōu)弧AB上一點(diǎn):,若N片40°,則N。的度數(shù)是

4、如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的切線，切點(diǎn)為A,BC交。。于點(diǎn)。，點(diǎn)E是AC的中

點(diǎn).若。。的半徑為2,N8=50,AC=4.8,則陰影部分的面積為

/^\)

Q

5、如果一個(gè)扇形的圓心角為120。，半徑為2,那么該扇形的面積為一

三、解答題(5小題，每小題10分，共計(jì)50分)

1、已知：如圖，AABC中，AB=AC,以A8為直徑的。。交BC于點(diǎn)尸

C

不，

(1)求證：PO是。。的切線；

(2)若NC4B=120。，AB=6,求8c的值.

2、如圖，在口48(力中，ZZ>=60°,對(duì)角線4灶6G。。經(jīng)過點(diǎn)力、點(diǎn)6,與〃'交于點(diǎn)M,連接/I。并

延長與。。交于點(diǎn)人與"的延長線交于點(diǎn)區(qū)AB=EB.

(1)求證：a1是。。的切線；

(2)若助=26,求。。的半徑.

3、已知直線加與。，4?是。。的直徑，ADLm于點(diǎn)、D.

(1)如圖①，當(dāng)直線加與。。相交于點(diǎn)反尸時(shí)，求證：NDA償NBAF.

(2)如圖②，當(dāng)直線勿與。。相切于點(diǎn)C時(shí)，若/僅1035°,求N倒。的大小;

(3)若％=2G，PB=2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留開).

圖①圖②

4、.如圖，AABC內(nèi)接于。。，相>，8C交。。于點(diǎn)。，垂足為點(diǎn)，，連接B。，CD,ZAOC=105°,

ZC4￡>=7.5°

(1)求N8AC的度數(shù);

(2)過點(diǎn)。作。ELAB,DFrAC,垂足分別為點(diǎn)E,F,連接QI,0C,OB,EH,FH,若。。的半

徑為1,求即+切的值.

A

5、嘗試：如圖①，“ABC中，將繞點(diǎn)4按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到點(diǎn)6、C的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)分別為3'、C,連接89、CC,直接寫出圖中的一對(duì)相似三角形______；

拓展：如圖②，在中，ZC=90°,AC^BC,將“ABC繞點(diǎn)力按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到

4ABe，點(diǎn)、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為8'、C,連接33、CC,若雨=8,求CC的長；

應(yīng)用：如圖③，在Rt/XABC中，ZACB=90°,AB=2,ZA8C=30。，將“ABC繞點(diǎn)力按逆時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)6的對(duì)應(yīng)點(diǎn)？恰好落在Rt/XABC的邊所在的直線上時(shí)，直接寫出此

時(shí)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長.

圖①圖②圖③

-參考答案-

一、單選題

1、B

【分析】

從圖中可以看出在16邊，翻轉(zhuǎn)的第一次是一個(gè)120度的圓心角，半徑是1,第二次是以點(diǎn)p為圓

心，所以沒有路程，同理在/C和回上也是相同的情況，由此求解即可.

【詳解】

解：從圖中可以看出在邊，翻轉(zhuǎn)的第一次是一個(gè)120度的圓心角，半徑是1,所以弧長=筆三，

1ol)

第二次是以點(diǎn)0為圓心，所以沒有路程，在6C邊上，第一次黑/，第二次同樣沒有路程，力。邊上

1OV

也是如此，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路徑的長為零

IOU

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，求弧長，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

2、D

【分析】

根據(jù)垂徑定理解答.

【詳解】

解：是。。的直徑，切為弦，CDLAB于點(diǎn)E,

.?.弧4C=弧44弧8C=弧劭，CE=DE,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，熟記定理是解題的關(guān)鍵.

3、B

【分析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三線合一即可得CO_LA8,根據(jù)三角形切線的判定即可判斷AB是。c的切

線，進(jìn)而可得。C與46的位置關(guān)系

【詳解】

解：連接CO,

???C4=CB,點(diǎn)。為49中點(diǎn):.

:.COrAB

???Q?為。C的半徑，

r.AB是。C的切線，

???OC與的位置關(guān)系是相切

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了三線合一，切線的判定，直線與圓的位置關(guān)系，掌握切線判定定理是解題的關(guān)鍵.

4、C

【分析】

由題意根據(jù)正方形的性質(zhì)得到a1弧所對(duì)的圓心角為90°,則N6叱90°,然后根據(jù)圓周角定理進(jìn)行

分析求解.

【詳解】

解：連接加、0C,如圖,

BJyC

?.?正方形465內(nèi)接于。0,

?*.BC所對(duì)的圓心角為90°,

.?./6叱90°,

：.ABPO\ZBOC=45°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓周角定理和正方形的性質(zhì)，確定回弧所對(duì)的圓心角為90°是解題的關(guān)鍵.

5、D

【分析】

先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出△如C,的面積，然后由地基的面積是比,的6倍即可得到答案

【詳解】

解：如圖所示，正六邊形ABCDEF,連接必，OC,過點(diǎn)。作例L8C于只

由題意得：5C=4cm,

???六邊形］靦是正六邊形，

.?.N63360°+6=60°,

又,：0田OC,

...△如。是等邊三角形，

BP=-BC=2cm,OB=BC=4cm,

2

?*-OP=JOB?-B產(chǎn)=2辰m，

S^OBC=；8C.O尸=4^/§cm2,

..S正六邊粉BCDEF=6S&OBC=246

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟知正多邊形和圓的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

6、C

【分析】

根據(jù)圓周角定理得到的度數(shù)，再根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角，即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：妗130°,

：.Z.BDO-ZBOC=^°,

2

是。。的直徑，

:.NADB=9Q°,

：.ZADC=90Q-65°=25°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

7、B

【分析】

根據(jù)三個(gè)學(xué)生的作法作出圖形即可判斷

【詳解】

解：甲的作圖如下，

PlP3P2

不是直角三角形，故甲的不正確

乙：如圖，

根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可知，乙的作法正確，但不完整,

丙的作法如下,

B

A

P\Pi

丙的作法也正確，但不完整，

乙、丙的作法和結(jié)論合在一起才正確

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形的判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵.

8、C

【分析】

根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解.

【詳解】

解：由圖可知：AB所對(duì)圓周角的是或/力施，

故選C.

【點(diǎn)晴】

本題主要考查圓周角的定義，熟練掌握?qǐng)A周角是解題的關(guān)鍵.

9、B

【分析】

連接￡0,延長后。交繆于凡連接20,設(shè)半徑為x.構(gòu)建方程即可解決問題.

【詳解】

解：設(shè)。。與4?相切于點(diǎn)￡連接加，延長如交切于凡連接加

再設(shè)。。的半徑為X.

:.EFLAB,

'：AB//CD,

：.EFLCD,

勿沙90°,

在放中，；/0FD=9Q°,0戶+D戶=0廿,

(8-x)2+42=x,

產(chǎn)5,

.??。0的半徑為5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知

識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

10、B

【分析】

根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到/痂gN/除25°,/施廬,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算

N8%的度數(shù).

【詳解】

解：?.?點(diǎn)。是'的內(nèi)心，

：.0B平分NABC,0C平■分NACB,

：.ZOBC=^AAB(=^X^°=25°,Z(9C?=|ZJCS=1X740=37°,

：.ZBO(=180°-ZOBaZOCB=180°-25°-37°=118°.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，三角形的內(nèi)

心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.

二、填空題

1、71°

【分析】

根據(jù)圓周角定理得到N6=71°,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角即可得解.

【詳解】

解:?.?/{%=142°,

：.ZB=^ZA0C=71°,

?.?四邊形48切內(nèi)接于。0,

：.￡CDM=￡B=7\a,

故答案為：71°.

【點(diǎn)睛】

此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)

鍵.

2、(1)經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；(2)生業(yè)，竺業(yè)；(3)仃工

22

【分析】

(1)根據(jù)切線的定義判斷即可.

(2)由3AB，，MC=J計(jì)算即可；根據(jù)M4=MC-AC計(jì)算即可.

2

(3)根據(jù)勾股定理，得A￡即為正方形的面積，比較與圓的面積的大小關(guān)機(jī)即可.

【詳解】

解：(1);。。的直徑A8,作射線54,過點(diǎn)A作A8的垂線/,

,經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

故答案為：經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

24/*

(2)根據(jù)題意，得“=r,ABr=—=irr,

/.CBf-AC^ABf-r^-五r,

22

MA=MC-AC,

.(K+l)r(K-l)r

22

故答案為：印，F(xiàn);

22

(3)如圖，連接物?，

根據(jù)勾股定理，得AE2=ME2-MA2=

(TC4-l)r、?

故答案為：7rr2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的切線的定義，勾股定理，圓的周長，正方形的面積和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的切線的定

義，勾股定理，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3、70°度

【分析】

連接勿、OB,根據(jù)切線性質(zhì)可得/力6N290°,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°求得N408,然

后利用圓周角定理求解即可.

【詳解】

解：連接如、OB,

,：PA,陽分別切。。于點(diǎn)4B,

:.NOA六NOB六，又N片40°,

.?./月除360°-90°-90°-40°=140°,

：.48三4AOB=10°,

故答案為：70。.

【點(diǎn)睛】

本題考查切線性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和為360。、圓周角定理，熟練掌握切線性質(zhì)和圓周角定理是解答的

關(guān)鍵.

,2410

4、三飛，

【分析】

根據(jù)題意先得出△力龐經(jīng)△〃陽進(jìn)而計(jì)算出//加=2/斤io。。，利用四邊形a皿的面積減去扇形的面

積計(jì)算圖中陰影部分的面積.

【詳解】

解：連接60、DO,

???點(diǎn)夕是的中點(diǎn)，。點(diǎn)為的中點(diǎn),

：.OE//BC,

，乙A0人B,乙EOF乙BDO,

"：OB=OD,

：.AB=ABDO,

：.NAOE=/EOD,

在△?!龐1和△女應(yīng)中

OA=OD

ZAOE=ZDOE,

OE=OE

???△加陛△〃陽

???點(diǎn)￡是］。的中點(diǎn)，

??"田義/信2.4,

ZAOJ)=2ZB=2X50°=100°,

二圖中陰影部分的面積=2?；X2X2.4」嗎=4—1》

23760"59

故答案為：弓一，乃.

【點(diǎn)睛】

本題考查切線的性質(zhì)以及圓周角定理和扇形的面積公式和全等三角形判定性質(zhì)，注意掌握?qǐng)A的切線垂

直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.

4^

5、T

【分析】

利用扇形面積公式直接計(jì)算即可.

【詳解】

解：扇形的圓心角為您。，半徑為2,那么該扇形的面積為：￥背

4乃

故答案為：y

【點(diǎn)睛】

2

本題考查了求扇形面積，解題關(guān)鍵是熟記扇形面積公式：5=簧

三、解答題

1、(1)見解析；(2)BC=6岔.

【分析】

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得N0P8=NC,進(jìn)而證得冰〃〃；再根據(jù)平行線的性質(zhì)和切線的判定

即可證得結(jié)論；

(2)連接AP,根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)可得NAPB=9()。，BP=CP,4=30。，再根據(jù)

含30°角的直角三角形性質(zhì)求出鰭即可求解.

【詳解】

(1)證明：■.■AB=AC,

..NB=NC,

■.OP=OB,

:.ZB=NOPB,

:.4)PB=/C,

：.OPIIAC,

-,-PDA.AC,

:.OP±PD,又少溟半徑，

../>￡>是。。的切線；

(2)解：連接AP,如圖，

QAB為直徑，

：.ZAPB=90°,

'：AB=AC,比120°,

/.BP=CP,ZB=(180s-120)4-2=30°,

在RtZU/%中，A8=6,ZB=30°,

AP=-AB=3,

2

BP=GAP=36，

BC=2BP=66

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、含30°角的直角三

角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握這些知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

2,(1)見詳解；(2)4.

【分析】

(1)連接08,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到乙4叱/場60°,求得N的信30°,根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到N/I63/以廬30°,于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到除，過。作。叱4"于〃，則四邊形0BCH是矩形，解直角

三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】

(1)證明：連接OB,

?.?四邊形/靦是平行四邊形，

.?.N4吐/么60°,

,：ACLBC,

：.ZACB=90°,

/.ZBAC=30°,

■:BFAB,

：.Z^ZBAE,

■：NA盼NE+NBA斤6Q。,

:./拄/BA夕30°,

OA=OB,

力83/勿住30°,

，/詠=30°+60°=90°,

：.OB，CE,

...星是。。的切線；

(2)解：..?四邊形46口是平行四邊形，

：.BC=AD=24i，

過。作O/LL陽/于H,則四邊形08。/是矩形,

O/J=B(=243,

。。的半徑為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3、(1)見解析；(2)/B4c=35。；(3)S睚—S扇形⑻=26-|".

【分析】

(1)通過已知條件可知NZME+NE>E4=90。，ZAB尸+N54尸=90。，再通過同角的補(bǔ)交相等證得

ZDEA=ZABF,即可得到答案；

(2)利用OCHAD,得ZACO=ZDAC=35°,再通過勿=0C,得ZBAC=ZACO=35°；

(3)現(xiàn)在放△OCP中，利用勾股定理求得半徑尸2,再通過tanNOPC=e^=立，得NOPC=3()。，

CP3

即可求得NCOP=90°-Z.OPC=60°,那么S陰影=S^OCP-SmcoB,即可求解.

【詳解】

解：（1）如圖，連接跖

圖①

\ADLm

：.ZZME+ZDE4=90°

???48是。。的直徑

???ZAFB=90°

，ZABF+ZBAF=90°

??ZDEA+ZAEF=180°,ZABF+ZAEF=180°

：.ZDEA=ZABF

：.ZDA^ZBAF

(2)連接0C

圖②

??,直線加與。。相切于點(diǎn)C

：.OC.LDP

/.OC//AD

:.ZACO=ZDAC=35°

:O^OC

：.ZBAC=ZACO=35°

(3)連接OC

圖②

?.?直線勿與。。相切于點(diǎn)C

：.NOCP=90。

設(shè)半徑O(=OB=r

在用△如「中，0。2+<?尸=0尸貝|」：OC-+CP2^OB+BP^

，/+Q可=(r+2)2

解得：尸2,即公廠2

0m℃_2G

?(tan40PC---=—=—

CP2G3

，ZOPC=30°

：.ZCOP=90°-ZOPC=60°

S=SS2

S]^^OCP-^COB=-1oC-CP-^Jt.?-=2^-|n.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓切線、內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及解直角三角形的應(yīng)用，扇形面積求法，解答此題的關(guān)鍵

是掌握?qǐng)A的性質(zhì).

4、(1)45°；(2)EH+FH=—

2

【分析】

(1)根據(jù)圓周角定理，計(jì)算N48C的大小，利用互余原理計(jì)算N胡〃，最后，利用兩個(gè)角的和，計(jì)算

NBAC；

(2)證明ACOBSAEDE,再求￡?〃+"/的值.

【詳解】

(1)VZA<9C=105°

?.NABC=-ZAOC=52.5°

2

：Aa_L3C于點(diǎn)H

ZAHB=90°

,NBAH=\8Q°-ZAHB-ZABC=37.5°

ACAD=1.5°

：.ABAC=ACAD+ZBAH=45°

（2）如圖過點(diǎn)。作DELAB,DFLAC,垂足分別為點(diǎn)E,F

A

??/DHB=/DEB=90。,

???D、”、E、8四點(diǎn)共圓，

，AEHB=AEDB,

同理可得，

O、H、C、尸四點(diǎn)共圓，NCHF=/CDF,

?.*ZCHF=ZCDF=90°-Z,DCF,

ADCF=\^OQ-ZACD=ZABD,

：.ZCHF=Z.CDF=90°-ZDCF=90°-ZABD=ZEDB=ZEHB

即NCHF=/EHB,

???E、H、F三點(diǎn)共線,

???EH+FH=EF,

?：4HED=/HBD,ZDCH=/DFH,

???在△GM與VFDE中

ZFED=ZHED=ZHBD=ZCBD，

ZEFD=ZHFD=ZHCD=/BCD,

/.ACDBsAFDE,

.EFDE

VZABC=52.5°,ZDBC=7.5°,

???ZABD=ZABC+ZDBC=60°,

：.—^sinZABD=—

BD2

OB=OC=l,NBOC=2ZBAC=90°,

??BCJOB2+OC2=&

：.EF=—xBC=—,

22

即E4+FH=^

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理，四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，特殊角的三角

函數(shù)值，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，特殊角

的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵.

5、嘗試：^ABB'-^ACC'-,拓展：CC=4&;應(yīng)用：點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長為g或號(hào)或年或開或

3DD

2兀,

【分析】

嘗試：根據(jù)△A?C是由△/回旋轉(zhuǎn)得到的，可得至IJNE4C=NH4C,AB=ABr,AC=AC,即可推

出N3Ag=NG4C,--=--=1,則AAB^sA4cc；

ABAC7

40DD'

拓展：由N43=90°,可得A8=0AC，同（1）可證得到弁=47，由

ACCV

此求解即可；

應(yīng)用：分點(diǎn)9在AC延長線上時(shí)，點(diǎn)9在C4的延長線上時(shí)，當(dāng)