面波多模式頻散曲線正演

層狀介質(zhì)中多模式面波頻散曲線正演

2021/5/91一、問題的提出二、瑞雷波的基本原理和頻散方程三、固體層狀介質(zhì)中瑞雷波頻散曲線 2021/5/922021/5/932021/5/942021/5/95WaveTypePercentoftotalenergyRayleighShearCompression

672672021/5/9660年代初，Hoykallen－半波長解釋法，將穩(wěn)態(tài)瑞雷波法首先應(yīng)用于地基勘察80年代初，日本VIC株式會社－GR-810佐藤式全自動地下勘探系統(tǒng)1989年，楊成林自行研制了一套穩(wěn)態(tài)瑞雷波勘探系統(tǒng)，用于第四系地層分層和地基處理效果評價瑞雷波勘探的歷史回顧

20世紀50年代初，開始利用人工地震波中的瑞雷波進行工程勘察穩(wěn)態(tài)瑞雷波法2021/5/971986年,Nazarian利用表面波譜分析方法（SASW）對高速公路路面及路基進行了探測,為瞬態(tài)瑞雷波法在工程中的廣泛應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)1996年，劉云楨等自行研制了SWS瞬態(tài)面波多道數(shù)據(jù)采集處理系統(tǒng),將其應(yīng)用于機場工程勘察、淺層煤田勘探、地下煤巷探測等方面的工作中1996年,李哲生應(yīng)用瞬態(tài)多道瑞雷波法對某建筑物場地地層分層進行勘察1998年,肖柏勛等研制的LXII巖土工程質(zhì)量檢測分析儀中包含的瞬態(tài)多道瑞雷波勘探的子系統(tǒng)瞬態(tài)瑞雷波法2021/5/98數(shù)據(jù)的采集和處理正演問題(快速、穩(wěn)定的算法)反演問題(線性及非線性算法)瑞雷面波干擾波(在反射地震中)勘探波(頻散特性)2021/5/99多模問題數(shù)值計算存在多種模式什么特征怎樣解釋怎樣與實測中的一條頻散曲線相對應(yīng)瑞雷波反演局部線性化方法：阻尼最小二乘方法。對初始模型要求較高非線性反演方法：遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、蒙特卡羅法等。計算量大反演速度慢。2021/5/910一、問題的提出二、瑞雷波的基本原理和頻散方程三、固體層狀介質(zhì)中瑞雷波頻散曲線 2021/5/9112.1面波的形成

面波的形成可以用一個簡單的例子來說明。下圖是地表下某一厚度為H的覆蓋層的模型，如果一體波的簡諧波在層內(nèi)的傳播滿足全反射的條件，射線路徑為ABCDEF，則根據(jù)波前面與射線垂直的性質(zhì)，虛線CF即可代表波由C、D、E、F經(jīng)兩次反射后到達F的地震波波前，也可代表由A傳播到C的后續(xù)振動的波陣面。如兩者波程差CDEF正好等于波長的整數(shù)倍，則它們們完全同相，其合成或疊加屬于相長干涉，并形成一種沿界面行進的次生波，這種波的能量更強且主要能量集中在地表附近。

DHAEBCF2021/5/912彈性波動方程：縱橫波波動方程：瑞雷波存在條件：

α為縱波速度β為橫波速度,c為瑞雷波速度2021/5/9132.2瑞雷波的傳播及其特點（1）沿地表水平方向傳播，振幅沿垂向方向按指數(shù)規(guī)律衰減的一種非均勻平面波。（2）瑞雷波沿水平方向傳播的速度小于橫波速度,（3）其能量分布僅限于自由表面垂向方向為兩倍瑞雷波波長范圍的薄層介質(zhì)內(nèi)。（4）其垂向位移分量較之水平位移分量超前相位（5）瑞雷波質(zhì)點位移的軌跡是一個逆進的橢圓，如下面兩圖所示：2021/5/914（6）若半無限均勻彈性介質(zhì)含有一個疏松薄覆蓋層，則在自由表面存在具有頻散的瑞雷波，傳播速度是頻率的函數(shù)（7）在半無限均勻彈性介質(zhì)中的瑞雷波速度與頻率無關(guān)，即無頻散。（8）由實際觀測和數(shù)學(xué)模型研究知道，瑞雷波能量強，頻率低。（9）在兩層或者多層分層介質(zhì)中，瑞雷波的相速度都隨頻率變化，這種情況稱為面波的頻散。2021/5/915頻散：波初始擾動的每一個簡諧成分都以不同的速度前進，從而初始擾動的形狀將在前進中發(fā)生變化，擾動將分散成一系列波，這即為所謂的頻散現(xiàn)象。

正頻散：逆頻散：群速度：相速度：2.3瑞雷波的頻散和相速度a圖：粘彈性固體中頻散導(dǎo)致的波形變化

b圖：能量轉(zhuǎn)移到后面的周期導(dǎo)致波形變化2021/5/9162.3瑞雷波頻散曲線正演方法1、Thomson－Haskell法

1953年，Haskell在Thomson的基礎(chǔ)上，通過相鄰兩界面的傳遞矩陣公式以及自由表面邊界條件和無窮遠處的輻射條件，導(dǎo)出了層狀介質(zhì)中平面瑞雷波的頻散方程，人們把這種方法稱為Thomson－Haskell法。

Knopoff在Haskell的矩陣方法基礎(chǔ)上，提出了一種新的求取頻散曲線的方法。與Haskell不同的是Knopoff得出了4n＋2階的頻散方程行列式，此行列式的求解使用了Knopoff分解法（一種循環(huán)的Laplace行分解法）。

1967年，Randall對Knopoff分解進行了計算，成功地避免了Thomson－Haskell方法中存在的數(shù)值不穩(wěn)定性問題，但是此方法過于復(fù)雜，不利于廣泛應(yīng)用。

對于層狀介質(zhì)中面波頻散曲線的正演問題，多年來大量學(xué)者進行了研究，并提出了各種方法，取得了好的效果，也為其它復(fù)雜介質(zhì)中面波的正演問題奠定了基礎(chǔ)。其主要的方法:2021/5/9172、Schwab－Knopoff法Schwab和Knopoff對Knopoff分解在數(shù)值上進行了進一步的研究和改進，形成了完整的Schwab－Knopoff方法1970年，Schwab通過變換使得頻散函數(shù)以特別簡單的代數(shù)形式表達出來，并編制了計算量小的程序，這種方法稱為快速Schwab－Knopoff方法3、δ矩陣法1963年，Pestel和Leckie介紹了δ矩陣法1965年，Thrower和Dunkin首次將δ矩陣方法應(yīng)用于瑞雷波的頻散方程推導(dǎo)，避免了數(shù)值精度丟失的問題。1970年，Watson應(yīng)用簡化的δ矩陣求解瑞雷波頻散問題，減小了計算量。1996年，Buchen和Ben－Hadon提出快速δ矩陣方法1998年，Ivasson用更簡便的方法同樣得到了快速δ矩陣算法。2021/5/9184、Abo－Zena法1979年，Abo-Zena為解決頻散方程的數(shù)值不穩(wěn)定性問題，通過一系列的4×4階反對稱矩陣的循環(huán)計算得到了瑞雷波的頻散方程1979年，Menke解釋了Abo－Zena提出的反對稱矩陣的物理含義1968年，Ben－Menahem等提出B、P、C坐標系，大大簡化了層狀介質(zhì)中三維聲波場問題的求解過程1982年，李幼銘等在B、P、C坐標下采用的δ矩陣運算用五個形式簡單的矩陣連乘形式重新組織了Abo－Zana算法，使運算步驟大量簡化1996年，張碧星簡化了傳遞矩陣的乘積運算2001年，凡友華等從柱面波出發(fā)，討論了頻散函數(shù)的求取問題。2002年，ShuangXZhang對各向異性介質(zhì)中瑞雷波的頻散特征進行了系統(tǒng)研究。5、RT矩陣法1974年及1979年，Kennett等人提出并發(fā)展了RT矩陣祛，此方法使用了反射和透射子矩陣技術(shù)，巧妙地避開了數(shù)值不穩(wěn)定性問題。但這種方法要求所有的計算均使用復(fù)數(shù)運算形式，故計算量較大1993年，陳曉非在Luco和Apsel的廣義反射－透射系數(shù)方法基礎(chǔ)上提出了一種系統(tǒng)、有效的算法來求解固體層狀介質(zhì)中的面波振型2021/5/919…….xz自由表面空氣或者液體無限厚底層

u，w沿x,z方向的位移，波數(shù)切向應(yīng)力法向應(yīng)力

密度；

厚度；縱波波速橫波波速

Lame常數(shù)；對于第m層介質(zhì)：Knopoff快速計算法2021/5/920當m+1為偶數(shù)時有：

其中:當m+1為奇數(shù)時有:其中:

（a）（b）2021/5/921

無液體表層存在液體表層頻散函數(shù)是由以下實數(shù)初值遞推的：

將（c）代入（a）和（b）中反復(fù)遞推，直到頻散函數(shù)計算到（n-1）界面為止。（c）2021/5/922最后的頻散函數(shù)為2021/5/923頻散曲線算法流程框圖輸出頻散曲線給對應(yīng)模式下賦初值和迭代的精度E給定模型的參數(shù)以及需要計算的頻率輸出相應(yīng)頻率下的瑞雷波速度計算頻散函數(shù)Fi2021/5/9242.5多模式面波頻散曲線的計算1、選取一定的相速度初值，給定一段相應(yīng)的頻率步長和范圍，運用線性插值法來計算得到與頻率相對應(yīng)的瑞雷波相速度，并且通過在計算的過程中不斷的修正得到的瑞雷波速度來提高計算瑞雷波頻散函數(shù)的精度和計算頻率。2、先利用上述方法計算基階模式的瑞雷波速度，得到基階模式的頻散曲線3、將基階模式的瑞雷波速度加上相應(yīng)的步長，重復(fù)上面的步驟，得到第二階模式的瑞雷波速度4、以及類推，可以得到第3階、第4階、······第n階模式的頻散曲線，直到第n階模式的頻散曲線的截止頻率大于相應(yīng)的終止頻率為止5、一般情況下，階數(shù)越高，得到面波在高頻頻率段下的位移越小，相對應(yīng)的能量也就越弱。所以根據(jù)一般的實際需要和意義，我們一般計算到3－5階瑞雷波頻散曲線模式來分析其相應(yīng)的瑞雷波頻散曲線的特征2021/5/925編程計算需要注意的關(guān)鍵問題：1、如何選擇初始速度。在基階模式頻散曲線的求取中，我們一般使用的初始速度為最小橫波速度的某個百分比（比如80％）；而在高階模式頻散曲線的求取中，我們使用前一階模式的瑞雷波速度加上相應(yīng)的步長。2、頻散方程計算過程中的復(fù)數(shù)問題。上述頻散方程在求取過程中全部使用了實數(shù)運算，這樣大大減少了運算量，也便于在計算機上實現(xiàn)編程，但是事實證明：在使用頻散方程求取瑞雷波速度的過程中，由于迭代速度過大（大于某一層介質(zhì)的橫波速度）導(dǎo)致運算過程中仍然會出現(xiàn)虛數(shù)運算的情況，這時我們對相應(yīng)的頻散方程中的各個元素，采用分別討論編程計算的方法避免虛數(shù)的出現(xiàn)。3、對高階模計算過程中速度步長的問題。速度步長過大，可能導(dǎo)致漏根以至于漏掉了某一高階模式；而速度步長過小，迭代次數(shù)過多又會導(dǎo)致計算量加大。2021/5/926一、問題的提出二、瑞雷波的基本原理和頻散方程三、固體層狀介質(zhì)中瑞雷波頻散曲線2021/5/927

橫波速度遞增的固體介質(zhì)模型，它模擬了工程勘探中最為常見的速度遞增型的地質(zhì)情況，如存在下伏高速基巖的黃土地區(qū)以及表面為土壤或者砂，下面為第四系砂、泥沉積，再往下為壓實底層的灘涂地區(qū)地質(zhì)結(jié)構(gòu)等。3.1.1橫波速度隨深度遞增的兩層模型

先討論上層介質(zhì)厚度不同時兩層模型的瑞雷波頻散曲線模型1模型號厚度h(m)1400025002500h122695000300028002743縱波速度橫波速度瑞雷波速度

密度β(m/s)h250030002000h12021/5/928(a)(b)(c)(d)基階模式的零頻極限為高頻極限為

高階模式在截止頻率處的相速度為高階模式的高頻極限為

隨著瑞雷波模式的增加，各高階模式的截止頻率也隨之變大隨著上層介質(zhì)厚度的增加，較低頻率范圍內(nèi)的瑞雷波頻散曲線的模式階數(shù)越來越多2021/5/929橫波速度遞減的固體介質(zhì)模型，它在實際生產(chǎn)中大多都為道路型結(jié)構(gòu)的地球物理模型（表層為水泥混凝土或者瀝青之類的高速介質(zhì)）3.1.2橫波速度隨深度增加而遞減的兩層模型模型5模型組號厚度h(m)5500030002800h127434000250025002269縱波速度橫波速度瑞雷波速度密度其頻散曲線只有一個模式，且頻散曲線均表現(xiàn)為逆頻散，并且都存在截止頻率零頻極限為

截止頻率處的瑞雷波相速度都為當上層介質(zhì)的厚度變小時，瑞雷波頻散曲線模式的截斷頻率隨著變大，但是在相同頻率下的瑞雷波相速度變小C<β2的解釋：頻散方程的實數(shù)解對應(yīng)著瑞雷波，復(fù)數(shù)解對應(yīng)著泄漏模式波，對于長距離的傳播，泄漏模式波的影響很小，我們在此將其忽略β(m/s)h250030002000h12021/5/930模型6模型組號厚度h(m)6600031002800h128845000300025002743縱波速度橫波速度瑞雷波速度密度該模型的頻散曲線同樣表現(xiàn)為逆頻散，并且只有單一模式，但是其頻散曲線不存在截止頻率，頻散曲線的相速度的高頻極限為在較大的頻率范圍內(nèi)（小于1400Hz）當上層介質(zhì)的厚度變小時，相同頻率下的瑞雷波相速度也變小。β(m/s)h300031002900h12021/5/931模型7模型組號厚度h(m)7500030002800h127435990296045002763縱波速度橫波速度

瑞雷波速度密度曲線首先隨頻率的增大而遞增，然后在約200Hz附近后又隨頻率的增大而遞減；即在約200Hz以前為逆頻散，而200Hz以后則為正頻散，且頻散曲線在200Hz附近出現(xiàn)一個極大值點零頻極限為高頻極限為當上層介質(zhì)的厚度變小時，整個頻散曲線的形態(tài)向高頻方向移動β(m/s)h296030002900h12021/5/932模型組號厚度h(m)7’500030002800h127435990296025002763縱波速度橫波速度

瑞雷波速度密度模型7密度變化此時的瑞雷波頻散曲線呈現(xiàn)出來的頻散曲線形態(tài)相反，原來表現(xiàn)為逆頻散的，現(xiàn)在表現(xiàn)為正頻散，而原來表現(xiàn)為逆頻散的，現(xiàn)在則表現(xiàn)為正頻散現(xiàn)象，并且此時瑞雷波的頻散曲線呈現(xiàn)一個極小值。當表層介質(zhì)的厚度變小時，頻散曲線的極大值明顯向高頻方向移動。頻散曲線在零頻極限與高頻極限的相速度趨勢情況與原來是相同的。2021/5/933模型組號厚度h(m)7－A20001400ρ1

h1274324001350ρ22763縱波速度橫波速度瑞雷波速度密度(a)(b)(c)(d)1、說明密度在一定頻率和速度的情況下，對頻散曲線的形態(tài)影響也是比較大的。2、在一般的情況下，大多數(shù)學(xué)者都以(a)、(b)、(d)三個密度參數(shù)下的頻散曲線來研究其形態(tài)的變化3、從一定程度上說明了瑞雷波頻散曲線的復(fù)雜以及利用瑞雷波進行勘察研究的困難程度2021/5/934模型8：中間層厚度不同時三層模型3.2.1橫波速度隨深度遞增的三層模型上節(jié)我們已經(jīng)討論過兩層介質(zhì)情況下表層厚度不同時的頻散曲線形態(tài)的變化，因此，在三層厚度不同時橫波速度遞增的水平層狀介質(zhì)中，我們主要研究中間層厚度變化時所引起的頻散曲線形態(tài)特征的變化。模型組號厚度h(m)840002500250062269500030002800h227436000350030003213縱波速度橫波速度

瑞雷波速度密度β(m/s)h2500300020003500h1h22021/5/935高頻極限的速度則隨著階數(shù)的變大而變大，并且互不相同?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著中間層介質(zhì)厚度的遞增，頻散曲線具有水平段的趨勢越來越明顯。相鄰高階模式在某一頻段處的間隔越來越小，即相同頻率段范圍內(nèi)，瑞雷波模式階數(shù)越來越多,通過我們加密相應(yīng)的頻率段,發(fā)現(xiàn)它們并不相交(a)(b)(c)(d)基階模式的零頻極限為

高頻極限為各高階模式均存在截止頻率，高階模式在截止頻率處的速度為最底層介質(zhì)的橫波速度

（d）圖第4、5階模式在某段頻率處的頻散曲線2021/5/9363.2.2橫波速度隨深度而遞減的三層模型模型9模擬黃土地區(qū)混凝土地面下的等效模型模型組號厚度h(m)9600031003000h13213500030002800h227434000250025002269縱波速度橫波速度

瑞雷波速度密度頻散曲線均只有一個瑞雷波模式，瑞雷波模式存在截斷頻率，它是因為瑞雷波速度達到最底層介質(zhì)橫波速度的緣故，當中間層和上層介質(zhì)變薄時，相同頻率下的相速度都變小零頻極限為β(m/s)h2500300020003100h1h22021/5/937模型10模型組號厚度h(m)10600031002200h12884500030002800h227435990296045402763縱波速度橫波速度

瑞雷波速度密度頻散曲線的瑞雷波模式也只有一個，此時的瑞雷波頻散曲線不存在截止頻率，并且存在正頻散和逆頻散兩種現(xiàn)象。在較低頻率段（約小于10Hz）和較高的頻率段（約大于300Hz）時，瑞雷波頻散曲線表現(xiàn)為正頻散現(xiàn)象，而在大約10Hz到300Hz的頻率范圍內(nèi)，瑞雷波的頻散模式為逆頻散現(xiàn)象。而且可以看出，在300Hz左右存在一個極大值，而在10Hz左右存在一個極小值高頻極限為當中間層變薄時，整個頻散曲線的形態(tài)變化不大，但是當上層和中間層厚度都為3m時，瑞雷波頻散曲線的極大值變大，極小值變小，并且逆頻散的范圍變大零頻極限為h2960300029003100β(m/s)h1h22021/5/9383.2.3含有低速夾層時的三層固體模型(a)存在低速夾層時的固體介質(zhì)模型，它模擬了地層中出現(xiàn)地裂縫、空洞、暗穴、塌陷以及破碎帶，還有諸如油氣勘探中的儲層、高強度材料中的裂隙、氣泡等情況。模型組號厚度h(m)11400025002500h12269235011201060h210485000300028002743縱波速度橫波速度

瑞雷波速度密度存在低速夾層的瑞雷波頻散曲線的復(fù)雜性更為明顯，基階模式表現(xiàn)為正頻散和逆頻散現(xiàn)象，分別在大約50Hz和300Hz表現(xiàn)為局部極小值和局部極大值?；A模式相速度的零頻極限為

高階模式都存在截止頻率，且在截止頻率處的瑞雷波相速度

h2500300010001120β(m/s)h1h2高頻極限趨近中間層介質(zhì)的瑞雷波速度2021/5/939(b)(c)在約1075Hz附近，模型11中間層厚度為2m的瑞雷波第4階和第5階模式的頻散曲線并不相交上層厚度和中間層介質(zhì)的厚度變化時其頻散曲線的形態(tài)總體變化不大，但在(b)圖中的高階模式的頻散曲線，在很大頻段出現(xiàn)瑞雷波相速度相等的水平段區(qū)域，并在水平段的速度為第一層介質(zhì)的瑞雷波速度2021/5/940模型8：速度遞增型模型模型11：存在低速夾層模型在橫波速度遞增的模型中，基階模式的瑞雷波能量占主要地位，左圖中高階模式水平段的出現(xiàn)并不影響實際勘探中得到的頻散曲線，但在模型11的頻散曲線中，張碧星等）計算出水平段在地表的能量在其頻率范圍內(nèi)是最強的，這也說明當模型存在低速夾層時，頻散曲線在水平段瑞雷波的能量就主要集中在第一層介質(zhì)內(nèi)，符合高頻瑞雷波探測深度受限的物理機制。同時，配合基階零頻與高頻極限，再借助“水平段”特征，容易提取底層瑞雷波相速度和橫波速度及其關(guān)系，進一步求出中間夾層的橫波速度，有助于對目的夾層的其它彈性參數(shù)進行計算。

2021/5/941

代表了壓實路面（地面）下伏軟弱層（或空腔）的工程情況模型12模型組號厚度h(m)1260003100220062884235011201060h210485000300028002743縱波速度橫波速度

瑞雷波速度密度當中間層的厚度變小時的頻散曲線則更為復(fù)雜，如右圖所示，除了在相同頻段內(nèi)瑞雷波頻散曲線的導(dǎo)波模式減少以外，瑞雷波的各階模式都在水平方向上被“拉長”，然后不同模式之間瑞雷波頻散曲線的相交趨勢更加猛烈，第1階與第2階，第2階與第3階，第3階與第4階等之間都有近似相交的趨勢β(m/s)3000310010001120hh1h22021/5/942模型12中第1階模式和第2階模式處的頻散曲線，可以發(fā)現(xiàn)它們并不相交

模型組號厚度h(m)135000300028006274323501120106031048400025002500226914500030002800h12743235011201060310485000300028002743縱波速度橫波速度

瑞雷波速度密度h模型13β(m/s)300010001120h模型14h1h2β(m/s)2500300010001120h1h22021/5/943

模型13模型14與前面兩種存在低速夾層時的瑞雷波頻散曲線類似，說明低速夾層對面波頻散的影響占主導(dǎo)地位。模型14實際上是構(gòu)筑物澆灌時內(nèi)部存在質(zhì)量問題的情況，如橋面、橋墩、樁基等，其頻散曲線的理論研究可以為超聲波檢測提供技術(shù)依據(jù)。

2021/5/944

當?shù)貙又谐霈F(xiàn)低速軟夾層的時候，頻散曲線不是從逐漸過渡到也就是說，當頻率較高時，實地勘探中接受道的肯定不止是只有基階模式，而是存在高階模式，也就是說，接收到的信號肯定是多階瑞雷波模式的疊加。另外，此時模型相速度的頻散曲線都存在近似水平段，此時的瑞雷波相速度為

，而近似水平段又不是同一個模式，當頻率增大時，接收到的導(dǎo)波必定以某一模式為主，在另一頻率段又以另一模式為主，這可能由于各導(dǎo)波間的能量存在跳躍，從而導(dǎo)致了“之”字形頻散現(xiàn)象。2021/5/9453.2.4含有高速夾層時的三層固體模型

模型15存在高速夾層時的固體介質(zhì)模型，它模擬了疏松表層黃土區(qū)、泥灘區(qū)以及松散路面公路地區(qū)，探測下伏高速地質(zhì)不均勻體時的情況。

模型組號厚度h(m)15500030002500h12743600031002800h228844000250022002269縱波速度橫波速度

瑞雷波速度密度零頻極限

截止頻率處的瑞雷波速度為最底層介質(zhì)的橫波速度

當中間層厚度和上層介質(zhì)的厚度減小時，頻散曲線的截止頻率向高頻方向移動。并且在相同頻率下的瑞雷波相速度變小。

β(m/s)3000310010002500hh1h22021/5/946模型16模型組號厚度h(m)16500030002500h12743600031002800h228845990296024502763縱波速度橫波速度

瑞雷波速度密度瑞雷波的頻散曲線存在著正頻散和逆頻散現(xiàn)象，且都在100Hz左右出現(xiàn)局部極小值，并隨著頻率的增大出現(xiàn)一個極大值，零頻極限為高頻極限為當中間層的厚度h2減小時，相速度的曲線幅值降低，曲線向高頻方向移動，當h1變小，相速度的曲線幅值增大，且其峰值位置向高頻方向移動β(m/s)3000310010002960hh1h22021/5/947

模型17模型組號厚度h(m)17400025002200h12269600031002800h228845000300025002743縱波速度橫波速度

瑞雷波速度密度這個模型是唯一存在多個瑞雷波模式的中間層為高速夾層的三層模型，各瑞雷波模式之間