高一數(shù)學必修四 2.5平面向量應用舉例

2.5.1平面幾何中的向量方法2021/5/91所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于相鄰兩邊的平方和的兩倍.幾何問題向量化向量運算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化利用向量解決平面幾何問題舉例2021/5/92用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：簡述：幾何問題向量化向量運算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。2021/5/93例2如圖，ABCD中，點E、F分別是AD、

DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT利用向量

解決平面

幾何問題

舉例簡述：幾何問題向量化向量運算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化2021/5/94

例2．如圖，在□ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于點R、T兩點.你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？解：由圖可猜想：AR=RT=TC.證明如下：則由得

又而∴由向量基本定理得2021/5/95同理可證：于是故猜想：AR=RT=TC成立.2021/5/962.5.2向量在物理中的應用舉例2021/5/97探究（一）：向量在力學中的應用思考1：如圖，用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個重量是10N的燈具，根據(jù)力的平衡理論，每根繩子的拉力與燈具的重力具有什么關(guān)系？每根繩子的拉力是多少？120°OCBA10N|F1|=|F2|=10NF1+F2+G=02021/5/98思考2：兩個人共提一個旅行包，或在單杠上做引體向上運動，根據(jù)生活經(jīng)驗，兩只手臂的夾角大小與所耗力氣的大小有什么關(guān)系？夾角越大越費力.2021/5/99思考3：假設(shè)兩只手臂的拉力大小相等，夾角為θ，那么|F1|、|G|、θ之間的關(guān)系如何？FF1F2Gθ

上述關(guān)系表明，若重力G一定，則拉力的大小是關(guān)于夾角θ的函數(shù).并且拉力大小和夾角大小成正比例關(guān)系.θ∈[0°，180°)2021/5/910探究（二）：向量在運動學中的應用思考1：如圖，一條河的兩岸平行，一艘船從A處出發(fā)到河對岸，已知船在靜水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝2㎞/h，如果船垂直向?qū)Π恶側(cè)?，那么船的實際速度v的大小是多少？A2021/5/911思考2：如果船沿與上游河岸成60°方向行駛，那么船的實際速度v的大小是多少？v1v2v60°2021/5/912思考3：船應沿什么方向行駛，才能使航程最短？v1v2vABC與上游河岸的夾角為78.73°.思考4：如果河的寬度d＝500m，那么船行駛到對岸至少要幾分鐘？2021/5/913“向量法解決幾何問題”的兩個角度：

非坐標角度和坐標角度例3.如圖，正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，PECF是矩形，用向量證明：（1）PA=EF（2）PA⊥EFABCDPEF2021/5/9141、已知：AD、BE、CF是△ABC的三條中線；求證：AD、BE、CF交于一點．2、已知△ABC的三個頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則重心G的坐標為____________________．3、用向量法證明：三角形三條高線交于一點．2021/5/9151、已知：AD、BE、CF是△ABC的三條中線；求證：AD、BE、CF交于一點．證明：如圖AD、BE相交于點G，聯(lián)結(jié)DE．ABCDEGF易知△GDE∽△GAB，DE＝AB．12所以，BG＝BE．23CG＝CB+BG＝CB+

BE23＝CB+

(

CA-CB)2312＝(CB+CA)132021/5/9161、已知：AD、BE、CF是△ABC的三條中線；求證：AD、BE、CF交于一點．因此C、G、F三點在同一直線上．所以，AD、BE、CF交于一點．所以CG＝CF，23＝(CB＋CA)13即CG又因為CF＝(CB＋CA)．12ABCDEGF2021/5/917

2、已知△ABC的三個頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則重心G的坐標為____________________．(，)x1+x2+x33y1+y2+y33OG＝OA＋

AG＝OA＋AD23＝OA＋(AB＋AC)13＝OA＋(OB－OA＋OC－OA)13＝OA＋OB＋OC3解：設(shè)原點為O，則2021/5/9183、用向量法證明：三角形三條高線交于一點．ABCDEHF證明：設(shè)H是高線BE、CF的交點，且設(shè)AB＝a，AC＝b，AH＝h，則有BH＝h－a，CH＝h－b，BC＝b－a．所以(h－a)·b＝(h－b)·a

＝0．化簡得h·(a－b)＝0AH⊥BC．因為BH⊥AC，CH⊥AB．所以，三角形三條高線交于一點．2021/5/919三角形四心的向量表示外重2021/5/920三角形四心的向量表示內(nèi)垂2021/5/921例1、已知O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則P點的軌跡一定通過△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心點撥：由得出由平行四邊形法則和共線定理可得AP一定經(jīng)過△ABC的重心。C2021/5/922變式1、已知P是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，點O滿足則O點一定是△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心點撥：由得出故O是△ABC的重心。C2021/5/923變式2、已知O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則P點的軌跡一定通過△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心2021/5/924點撥：在△ABC中，由正弦定理有令則由平行四邊形法則和共線定理可得AP一定經(jīng)過△ABC的重心。C2021/5/925例2、已知O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則P點的軌跡一定通過△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心2021/5/926點撥：取BC的中點D，則由已知條件可得又因為所以所以DP是BC的垂直平分線，所以P點的軌跡一定經(jīng)過△ABC的外心。A2021/5/927外心的向量表示結(jié)論2：△ABC所在平面一定點O，動點P滿足

P點軌跡經(jīng)過△ABC的外心結(jié)論1：O是三角形的外心或2021/5/928例3、已知O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則P點的軌跡一定通過△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心2021/5/929點撥：由已知等式可知在等式的兩邊同時乘以即故點P的軌跡一定通過△ABC的垂心。D2021/5/930變式3、已知O是平面上一點，A,B,C是平面上不共線的三個點，點O滿足則O點一定是△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心點撥：同理可得D2021/5/931垂心的向量表示結(jié)論1：O是△ABC的垂心的充要條件是結(jié)論2、動點P滿足P點的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心2021/5/932例4、已知O是平面上一點,A、B、C是平面上不共線的三個點,(a,,b,c是△ABC的A,B,C所對的三邊)點O滿足則O點一定是△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心點撥：由已知條件可得同理可得則O點一定是△ABC的內(nèi)心B2021/5/933例5、已知非零向量與滿足且，則△ABC為（）A三邊均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形D等邊三角形點撥：從可知的平分線垂直對邊BC，故△ABC為等腰三角形；可知cosA=，所以=60°，故△ABC為等邊三角形。從D2021/5/934例6、已知O是平面上一點,A、B、C是平面上不共線的三個點,點O滿足則O點一定是△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心則O點一定是△ABC的內(nèi)心四心逐個突破B2021/5/935ABCO證：設(shè)例7、已知O為⊿ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足:問：O是△ABC的____心?；啠和恚簭亩剐?021/5/936（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。

小結(jié)1.用向量方法解決平面幾何問題的