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反證法與放縮法高二數(shù)學(xué)PPT之人教版數(shù)學(xué)選修4-5課件:2.3反證法與放縮法2021/5/91【自主預(yù)習(xí)】1.反證法(1)方法:先假設(shè)_________________,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用_______________________等,進(jìn)行正確的推理,得到和___________(或已證明的定理、性要證的命題不成立公理、定義、定理、性質(zhì)命題的條件2021/5/92質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說(shuō)明假設(shè)不正確,從而證明___________,我們把它稱為反證法.(2)適用范圍:對(duì)于那些直接證明比較困難的否定性命題,唯一性命題或含有“至多”“至少”等字句的問(wèn)題,常常用反證法證明.原命題成立2021/5/932.放縮法(1)方法:證明不等式時(shí),通過(guò)把不等式中的某些部分的值_____或_____,簡(jiǎn)化不等式,從而達(dá)到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法.(2)關(guān)鍵:放大(縮小)要適當(dāng).放大縮小2021/5/94【即時(shí)小測(cè)】1.應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中,可把下列哪些作為條件使用(
)(1)結(jié)論的反設(shè).(2)已知條件.(3)定義、公理、定理等.(4)原結(jié)論.A.(1)(2)
B.(2)(3)C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(4)2021/5/95【解析】選C.根據(jù)反證法的定義可知,用反證法證明過(guò)程中,可應(yīng)用(1)結(jié)論的反設(shè).(2)已知條件.(3)定義、公理、定理等推出矛盾.2021/5/962.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),∠APB>∠APC,求證:∠BAP<∠CAP用反證法證明時(shí)的假設(shè)為_(kāi)_________________.2021/5/97【解析】反證法對(duì)結(jié)論的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的對(duì)立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.2021/5/98【知識(shí)探究】
探究點(diǎn)反證法與放縮法1.用反證法證明時(shí),導(dǎo)出矛盾有哪幾種可能?提示:①與原命題的條件矛盾;②與假設(shè)矛盾;③與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾;④與客觀事實(shí)矛盾.2021/5/992.用反證法證明命題“若p則q”時(shí),?q假,q即為真嗎?提示:是的.在證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要證明的結(jié)論要么正確,要么錯(cuò)誤,二者中居其一,?q是q的反面,若?q為假,則q必為真.2021/5/910【歸納總結(jié)】1.常見(jiàn)的涉及反證法的文字語(yǔ)言及其相對(duì)應(yīng)的否定假設(shè)常見(jiàn)詞語(yǔ)至少有一個(gè)至多有一個(gè)唯一一個(gè)不是不可能全都是否定假設(shè)一個(gè)也沒(méi)有有兩個(gè)或兩個(gè)以上沒(méi)有或有兩個(gè)或兩個(gè)以上是有或存在不全不都是2021/5/9112.放縮法證明不等式的理論依據(jù)(1)不等式的傳遞性.(2)等量加不等量為不等量.(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較.2021/5/9123.放縮法證明不等式常用的技巧(1)增項(xiàng)或減項(xiàng).(2)在分式中增大或減小分子或分母.(3)應(yīng)用重要不等式放縮,如a2+b2≥2ab,(4)利用函數(shù)的單調(diào)性等.2021/5/913類型一利用反證法證明否定性命題【典例】設(shè)0<a<2,0<b<2,0<c<2,求證:(2-a)·c,(2-b)·a,(2-c)·b不可能同時(shí)大于1.【解題探究】典例中待證結(jié)論的反面是什么?提示:待證結(jié)論的反面為
2021/5/914【證明】假設(shè)(2-a)·c>1,(2-b)·a>1,(2-c)·b>1,則(2-a)·c·(2-b)·a·(2-c)·b>1①,因?yàn)?<a<2,0<b<2,0<c<2,所以(2-a)·a≤=1.同理:(2-b)·b≤1,(2-c)·c≤1.2021/5/915所以(2-a)·a·(2-b)·b·(2-c)·c≤1,這與①式矛盾.所以假設(shè)不成立.即:(2-a)·c,(2-b)·a,(2-c)·b不可能同時(shí)大于1.2021/5/916【方法技巧】1.用反證法證明的一般步驟(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立.(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過(guò)推理論證,得出矛盾.(3)由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.2021/5/9172.否定性不等式的證法及關(guān)注點(diǎn)當(dāng)待證不等式的結(jié)論為否定性命題時(shí),常采用反證法來(lái)證明,對(duì)結(jié)論的否定要全面不能遺漏,最后的結(jié)論可以與已知的定義、定理、已知條件、假設(shè)矛盾.2021/5/918【變式訓(xùn)練】1.(2016·泰安高二檢測(cè))用反證法證明命題“如果a>b,那么”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容是(
)2021/5/919【解析】選C.結(jié)論的否定是或成立.2021/5/9202.已知三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,但不成等差數(shù)列.求證:不成等差數(shù)列.【證明】假設(shè)成等差數(shù)列,則即a+c+=4b,又三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,即b=.2021/5/921所以a+c+2=4,即a+c-2=0,所以()2=0,所以,即a=c.從而a=b=c,這與已知中a,b,c不成等差數(shù)列矛盾,所以原假設(shè)錯(cuò)誤,故不成等差數(shù)列.2021/5/922類型二利用反證法證明“至少”“至多”型問(wèn)題【典例】已知f(x)=x2+px+q,求證:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.2021/5/923【解題探究】典例(2)中待證結(jié)論的反設(shè)是什么?提示:反設(shè)是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于
.2021/5/924【證明】(1)由于f(x)=x2+px+q,所以f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,則有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,(*)2021/5/925又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.所以|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2與(*)矛盾,假設(shè)不成立.故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.2021/5/926【延伸探究】1.若本例條件變?yōu)椤癮3+b3=2”,求證:a+b≤2.【證明】假設(shè)a+b>2,而a2-ab+b2=但取等號(hào)的條件為a=b=0,顯然不可能,所以a2-ab+b2>0.則a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2),2021/5/927而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1.所以1+ab>a2+b2≥2ab.從而ab<1.所以a2+b2<1+ab<2.所以(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.而由假設(shè)a+b>2,得(a+b)2>4,出現(xiàn)矛盾,故假設(shè)不成立,原結(jié)論成立,即a+b≤2.2021/5/9282.將典例中的條件改為“設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+px+1”,求證:|f(1)|,|f(-1)|中至少有一個(gè)不小于2.【證明】假設(shè)|f(1)|,|f(-1)|都小于2,則有|f(1)|+|f(-1)|<4,(*)又|f(1)|+|f(-1)|≥f(1)+f(-1)=(1+p+1)+[(-1)2+(-1)p+1]=4.2021/5/929所以|f(1)|+|f(-1)|≥4與(*)矛盾,假設(shè)不成立.故|f(1)|,|f(-1)|中至少有一個(gè)不小于2.2021/5/930【方法技巧】“至多”“至少”型問(wèn)題的證明方法(1)在證明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時(shí),若正面難以找到解題的突破口,可轉(zhuǎn)換視角,用反證法證明.2021/5/931(2)在用反證法證明的過(guò)程中,由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè),相當(dāng)于增加了題設(shè)條件,因此在證明過(guò)程中必須使用這個(gè)增加的條件,否則將無(wú)法推出矛盾.2021/5/932【變式訓(xùn)練】若a,b,c均為實(shí)數(shù),且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求證:a,b,c中至少有一個(gè)大于零.2021/5/933【證明】假設(shè)a,b,c都不大于零,則a≤0,b≤0,c≤0,所以a+b+c≤0.而a+b+c==(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,所以a+b+c>0,這與a+b+c≤0矛盾.故a,b,c中至少有一個(gè)大于零.2021/5/934類型三利用放縮法證明不等式【典例】求證:(n∈N+且n≥2).【解題探究】典例中如何將中的分母適當(dāng)放大或縮小轉(zhuǎn)化為求和的形式?提示:(n∈N+且n≥2).2021/5/935【證明】因?yàn)閗(k+1)>k2>k(k-1),所以即(k∈N+且k≥2).分別令k=2,3,…,n得2021/5/936
將這些不等式相加得2021/5/937所以即(n∈N+且n≥2)成立.2021/5/938【方法技巧】放縮法證明不等式的技巧放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個(gè)中間量,如將A放大成C,即A<C,后證C<B.常用的放縮技巧有:2021/5/939(1)舍掉(加進(jìn))一些項(xiàng).(2)在分式中放大(縮小)分子(分母).(3)應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮.2021/5/940【變式訓(xùn)練】已知S=(n是大于2的自然數(shù)),則有(
)A.S<1
B.2<S<3C.1<S<2 D.3<S<42021/5/941【解析】選C.由又因?yàn)镾=>1.2021/5/942【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知an=4n-2n,Tn=求證:T1+T2+T3+…+Tn<2021/5/943【證明】因?yàn)閍1+a2+…+an=41+42+43+…+4n-(21+22+…+2n)=
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