2021-2022學(xué)年北師大八年級（上）數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（七）

2021-2022學(xué)年北師大新版八年級（上）數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（七）

一.選擇題（共7小題）

1.幻前的平方根是（）

A.±8B.8C.±2D.2

2.如果兩數(shù)和的平方的結(jié)果是7+（?-1）x+25,那么“的值是（）

A.-9B.-9或11C.9或-11D.11

3.下列計算正確的是（）

A.2a+5a=10/B.（x4+2?）4-（-x）2=x2-2

C.（a+b）2—c^+b2D.（.m-ri'）（,-n-m）=〃2-

4.如圖，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,NO8c=15°,分別以A、B兩點為圓心，

以大于JLAB的長為半徑畫圓弧，兩弧分別交于點E、F,直線EF與AC相交于點。，則

2

ZA的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.75°D.45°

5.下列語句正確的有（）個.

①“對頂角相等”的逆命題是真命題.

②“同角（或等角）的補角相等”是假命題.

③立方根等于它本身的數(shù)是非負數(shù).

④用反證法證明：如果在△4BC中，NC=90°,那么NA、中至少有一個角不大于

45°時，應(yīng)假設(shè)/A>45°,ZB>45°.

⑤如果一個等腰三角形的兩邊長分別是2c〃z和5m,則周長是9cm或\2crn.

A.4B.3C.2D.1

6.如圖所示，已知N1=N2,則不一定能使△ABD絲的條件是（)

B

A.BD=CDB.NB=NCC.AB=ACD.A。平分/BAC

7.如圖，長方體的高為9cm,底邊是邊長為6c7〃的正方形，一只美麗的蝴蝶從頂點A開始,

爬向頂點8,那么它爬行的最短路程為()

A.10cmB.12cmC.15cmD.20cm

填空題(共4小題)

8.請寫出一個大于1且小于2的無理數(shù).

9.若△A8C的三邊長是a、b、c,且。2+62+°2=岫+6,+4。，則這個三角形形狀是三

角形.

10.已知一個直角三角形的兩邊長分別是。，人且a,b滿足/二互+|6-4|=0.則斜邊長

是.

11.如圖，將長方形紙片ABCC折疊，使邊QC落在對角線AC上，折痕為CE,且。點落

在對角線。'處.若AB=3,AD=4,則的長為.

12.計算或因式分解.

計算：居+際+{(-2)2-Sil

(2)計算(2/)?-3“廿)24-(-2ab)3；

(3)因式分解：3?-108盯2；

(4)因式分解:a2-h2+2h-1；

(5)先化簡，再求值：(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中》=我+1,y是如

的小數(shù)部分.

13.哈佛大學(xué)一項長達20年的研究表明，愛做家務(wù)的孩子跟不愛做家務(wù)的孩子相比，就業(yè)

率為15：1,收入前者比后者高20%,而且婚姻更幸福.中國教育科學(xué)研究院對全國2

萬個學(xué)生家庭進行的調(diào)查也表明，孩子愛做家務(wù)的家庭比不愛做家務(wù)的家庭，孩子成績

優(yōu)秀的比例高了27倍，為調(diào)查了解某區(qū)學(xué)生做家務(wù)的情況，隨機發(fā)放調(diào)查表進行調(diào)查，

要求被調(diào)查者從“A：不做家務(wù)，B：會煮飯或會做簡單的菜，C：洗碗，D：保持自己的

臥室清潔，E：洗衣服”五個選項中選擇最常做的一項，將所有調(diào)查結(jié)果整理后繪制成不

完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.

請結(jié)合統(tǒng)計圖回答下列問題：

(1)本次調(diào)查中，一共調(diào)查了名學(xué)生；A、B、C、D、E五個選項的頻率之和

等于.

(2)扇形統(tǒng)計圖中，“會煮飯或會做簡單的菜”對應(yīng)的扇形圓心角是度；

(3)補全頻數(shù)分布直方圖；

(4)若某市有小學(xué)生約24萬，請你估計做家務(wù)中“洗碗”的總?cè)藬?shù).

14.如圖所示，在△ABC中，AB：BC：C4=3：4：5,且周長為36cm,點尸從點A開始

沿AB邊向B點以每秒\cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度

移動，如果同時出發(fā)，問過3秒時，△BPQ的面積為多少？

15.如圖所示：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及4c延長線上的一點，且BD=CE,

連接。E交BC于點M.求證：MD=ME.

16.如圖①，在aABC中，AGLBC于點G,以4為直角頂點，分別以A8,4C為直角邊，

向△力BC外作等腰直角△4BE和等腰直角△ACF,過點E、尸作射線G4的垂線，垂足分

別為P，Q.

(1)試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖②，若連接EF交GA的延長線于點H,由(1)中的結(jié)論你能判斷EH與尸”

的大小關(guān)系嗎？并說明理由：

(3)圖②中AABC與AAEF的面積相等嗎(不用證明)？直接寫出結(jié)論.

2021-2022學(xué)年北師大新版八年級(上)數(shù)學(xué)寒假作業(yè)(七)

參考答案與試題解析

選擇題(共7小題)

1.病的平方根是()

A.±8B.8C.±2D.2

【考點】立方根；平方根.

【專題】計算題；運算能力.

【分析】先根據(jù)立方根定義求出切瓦，再根據(jù)平方根定義求得答案.

【解答】解：?.?43=64,

A/64=4,

(±2)2=4,

A4的平方根是±2,

洞的平方根是±2.

故選：C.

【點評】本題考查了立方根，平方根的概念及計算，是一道基礎(chǔ)型?？碱}，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握立方根、平方根的定義及運算方法.

2.如果兩數(shù)和的平方的結(jié)果是/+(?-1)x+25,那么。的值是()

A.-9B.-9或11C.9或-11D.11

【考點】完全平方式.

【專題】常規(guī)題型.

【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出％的值.

【解答】解：二?兩數(shù)和的平方的結(jié)果是/+(?-1)x+25,

.,.x2+(a-1)x+25—(x±5)2,

則a-1=±10,

解得：a=-9或11.

故選：B.

【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

3.下列計算正確的是()

A.2a+5a=10/B.(x4+2?)4-(-x)2=x2-2

C.(a+b)2=a2+Z>2D.(〃？-")(-〃-m')—n1-m2

【考點】整式的混合運算.

【專題】整式；運算能力.

【分析】根據(jù)A選項：2a+5a=7a；8選項：(/+2x2)4-(-x)2=?+2；C選項：Ca+b)

2=a2+2ab+b2；。選項：km-/?)(-n-m)—n2-m2；從而可以得出答案.

【解答】解：A選項：2a+54=7〃；

8選項：(X4+2?)-?(-%)2=?+2；

C選項：(a+b)2=/+2"+廿；

￡)選項：(%-〃)(-n-m)—n2-m-,

故選：D.

【點評】本題主要考查整式的混合運算，掌握整式混合運算的計算方法是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,NDBC=15°,分別以A、8兩點為圓心，

以大于二48的長為半徑畫圓弧，兩弧分別交于點E、F,直線E尸與AC相交于點。，則

2

ZA的度數(shù)是()

A.50°B.60°C.75°D.45°

【考點】作圖一基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】作圖題；推理能力.

【分析】利用基本作圖得到垂直平分A8,利用線段垂直平分線的定義得到DA=DB,

然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：由作法得E尸垂直平分48,

:.DA=DB,

：.ZA=ZABD,

設(shè)/A=N48O=a,

：.ZABC=a+\5°,

"：AB=AC,

；./A8C=NC=a+15°,

：/A+/A8C+/C=180°,

，a+a+15°+a+15°=180°,

Aa=50°,

AZA=50°,

故選：A.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì).

5.下列語句正確的有（）個.

①“對頂角相等”的逆命題是真命題.

②“同角（或等角）的補角相等”是假命題.

③立方根等于它本身的數(shù)是非負數(shù).

④用反證法證明：如果在△ABC中，ZC=90°,那么NA、NB中至少有一個角不大于

45°時，應(yīng)假設(shè)NA>45°,ZB>45°.

⑤如果一個等腰三角形的兩邊長分別是2cm和5m,則周長是9cm或12c

A.4B.3C.2D.1

【考點】對頂角、鄰補角；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)；立方根.

【專題】反證法；推理能力.

【分析】根據(jù)逆命題的概念、命題的真假判斷、立方根的概念、反證法的應(yīng)用、三角形

的三邊關(guān)系和等腰三角形的概念判斷即可.

【解答】解：①“對頂角相等”的逆命題是相等的兩個角是對頂角，是假命題，本小題

說法錯誤；

②“同角（或等角）的補角相等”是真命題，本小題說法錯誤；

③立方根等于它本身的數(shù)是0和±1,本小題說法錯誤；

④用反證法證明：如果在△ABC中，ZC=90°,那么乙4、NB中至少有一個角不大于

45°時，應(yīng)假設(shè)/A>45°,NB>45°,本小題說法正確；

⑤如果一個等腰三角形的兩邊長分別是2cm和5m,則三邊長分別為2cin,5cm,5cm,

周長是12cm,本小題說法錯誤；

故選：D.

【點評】本題考查的是逆命題的概念、命題的真假判斷、立方根的概念、反證法的應(yīng)用、

三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的概念，掌握相關(guān)的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖所示，已知N1=N2,則不一定能使△ABO絲△AC￡＞的條件是（）

A.BD=CDB.ZB=ZCC.AB=ACD.AC平分NBAC

【考點】全等三角形的判定.

【專題】圖形的全等；推理能力.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可.

【解答】解：A.BD=CD,Z1=Z2,AD=AD,符合全等三角形的判定定理SAS,能

推出ZVIB。絲△ACO,故本選項不符合題意；

B.NB=NC,Z1-Z2,AD^AD,符合全等三角形的判定定理445,能推出△A8O名

/XACD,故本選項不符合題意；

C.AB=AC,AD=AD,Z1=Z2,不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABOg

/\ACD,故本選項符合題意；

D.平分/84C,

：.ZBAD=ZCAD,

\"AD=AD,Z1=Z2,

出△ACC（ASA）,故本選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的

關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有：ASA,SAS,A4S,SSS,兩直角三角形全等，還

有HL.

7.如圖，長方體的高為9c〃?，底邊是邊長為的正方形，一只美麗的蝴蝶從頂點4開始,

爬向頂點那么它爬行的最短路程為（)

A.10cmB.\2cmC.15cmD.20cm

【考點】平面展開-最短路徑問題.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；應(yīng)用意識.

【分析】將立體圖形展開，有兩種不同的展法，連接利用勾股定理求出AB的長,

找出最短的即可.

【解答】解：如圖，

（1），8=462+（6+9）2=7^1=3痛;

（2）AB=?（6+6）2+g2=15,

由于15<3&^；

則螞蟻爬行的最短路程為15cm.

故選：C.

/6

【點評】本題主要考查了對平面展開-最短路線問題，利用勾股定理求出斜邊的長是解

題的關(guān)鍵，而兩點之間線段最短是解題的依據(jù).

二.填空題（共4小題）

8.請寫出一個大于1且小于2的無理數(shù)_料_.

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【專題】開放型；數(shù)感.

【分析】由于所求無理數(shù)大于1且小于2,則該數(shù)的平方大于1小于4,所以可選其中的

任意一個數(shù)開平方即可.

【解答】解：大于1且小于2的無理數(shù)是加，答案不唯一.

故答案為：Vs-

【點評】此題主要考查了無理數(shù)的估算，現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算，估算應(yīng)是我們具備

的數(shù)學(xué)能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.

9.若△ABC的三邊長是〃、b、c,Jia1+b1+c1=ab+bc+ac,則這個三角形形狀是等邊三

角形.

【考點】因式分解的應(yīng)用.

【專題】配方法；符號意識.

【分析】利用完全平方公式，將等式轉(zhuǎn)化為工(a-b)2+1(b-c)2+1(c-a)2=0,

222

利用偶次方的非負性即可解答.

【解答】解：a^+b~+c^—ab+bc+aci

a2+/72+c2-ab-be-ac=0,

：.l(a-b)2+l(b-c)2+l(c-a)2=0,

222

.".a-b—0,b-c—0,c-a=0,

??ci=b=c>

...△ABC是等邊三角形，

故答案為：等邊.

【點評】本題以三角形的形狀為背景考查了完全平方公式的應(yīng)用，利用完全平方公式將

等式轉(zhuǎn)化為偶次方數(shù)的和是解題的關(guān)鍵.

10.已知一個直角三角形的兩邊長分別是〃，匕且“，〃滿足互+1〃-41=0.則斜邊長是

5或4.

【考點】勾股定理；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根.

【專題】分類討論；實數(shù)；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力.

【分析】由絕對值和算術(shù)平方根的非負性質(zhì)求出。=3,b=4,再分兩種情況求解即可.

【解答】解：?.?直角三角形的兩邊長分別是人且“，人滿足?^+。-4|=0,

...“-3=0,且6-4=0,

.??。=3,b=4,

分兩種情況：

①4為直角邊長時，斜邊長=丘2+42=5；

②4為斜邊長時，斜邊長=4；

故答案為：5或4.

【點評】本題考查了勾股定理以及絕對值和算術(shù)平方根的非負性質(zhì)，熟練掌握勾股定理,

由絕對值和算術(shù)平方根的非負性質(zhì)求出?和b的值是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，將長方形紙片48CD折疊，使邊。C落在對角線4c上，折痕為CE,且。點落

在對角線。'處.若AB=3,AD=4,則的長為一

【考點】翻折變換(折疊問題).

【分析】首先利用勾股定理計算出AC的長，再根據(jù)折疊可得絲△￡>'EC,設(shè)匹

=x,則D'E=x,AD'=AC-CD'=2,AE=4-x,再根據(jù)勾股定理可得方程2?+/

=(4-x)2,再解方程即可.

【解答】解：?.工8=3,AC=4,

：.DC^3,BC=4

?*-^C=VAB2+BC2=5,

根據(jù)折疊可得：△￡)￡(7四△￡>'EC,

：.D'C=DC=3,DE=D'E,

設(shè)E￡)=x,貝I」。'E=x,AD'=AC-CD'=2,AE=4-x,

在RtZ\AED'中：(A。')2+(ED')2^AE1,

22+^=(4-x)2,

解得：尸與，

2

故答案為：3.

2

【點評】此題主要考查了圖形的翻著變換，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握折疊的性

質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，

對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

三.解答題(共5小題)

12.計算或因式分解.

(I)計算：忌+際+4"2)2-(7)202、

(2)計算(2/)?(-3ab2)24-(-2ab)3；

(3)因式分解：3?-108xy2；

(4)因式分解：a2-tP-+lb-1；

(5)先化簡，再求值：(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中x=&+l,y是&

的小數(shù)部分.

【考點】整式的混合運算一化簡求值；提公因式法與公式法的綜合運用；因式分解-分

組分解法；估算無理數(shù)的大小；實數(shù)的運算.

【專題】整式；運算能力.

【分析】(1)先去掉根號，即可得出答案；

(2)先去掉括號，即可得出答案；

(3)先提取公因式3x,再利用完全平方公式，即可得出答案；

(4)利用完全平方公式，即可得出答案；

(5)先化簡，再將x=&+l,y是近的小數(shù)部分，代入，即可得出答案.

【解答】解：(1)原式=、國+(-3)+2-(-1)=1-3+2+1=5；

V1644

224334433

(2)原式=(2a)?9a/?4-8?&=18a/?4-8a/?=ab；

4

(3)原式=3x(x2-36y2)=3x(x-6y)(x+6y)；

(4)原式=/-(廿-2b+l)=a2-(Z?-1)2=Ca+b-1)(a-b+\)；

(5)原式=4/+4盯+/+/-y2-57+5孫=9xy,

1,y=M-1,

原式=9(A/2-1)(&+1)=9.

【點評】本題考查的是實數(shù)的運算，整式的混合運算和因式分解，掌握各類運算的計算

方法是解題的關(guān)鍵.

13.哈佛大學(xué)一項長達20年的研究表明，愛做家務(wù)的孩子跟不愛做家務(wù)的孩子相比，就業(yè)

率為15：1,收入前者比后者高20%,而且婚姻更幸福.中國教育科學(xué)研究院對全國2

萬個學(xué)生家庭進行的調(diào)查也表明，孩子愛做家務(wù)的家庭比不愛做家務(wù)的家庭，孩子成績

優(yōu)秀的比例高了27倍，為調(diào)查了解某區(qū)學(xué)生做家務(wù)的情況，隨機發(fā)放調(diào)查表進行調(diào)查，

要求被調(diào)查者從“A：不做家務(wù)，B-.會煮飯或會做簡單的菜，C：洗碗，D-.保持自己的

臥室清潔，E：洗衣服”五個選項中選擇最常做的一項，將所有調(diào)查結(jié)果整理后繪制成不

完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.

請結(jié)合統(tǒng)計圖回答下列問題：

(1)本次調(diào)查中，一共調(diào)查了2000名學(xué)生:A、B、C、D、E五個選項的頻率之和

等于1.

(2)扇形統(tǒng)計圖中，“會煮飯或會做簡單的菜”對應(yīng)的扇形圓心角是54度:

(3)補全頻數(shù)分布直方圖；

(4)若某市有小學(xué)生約24萬，請你估計做家務(wù)中“洗碗”的總?cè)藬?shù).

【考點】條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖.

【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)。的人數(shù)和所占的百分比即可求出總?cè)藬?shù)，由頻率的關(guān)系得A、B、C、

D、E五個選項的頻率之和等于1；

(2)用360°乘以B所占的比例即可；

(3)先求出C的人數(shù)，從而補全統(tǒng)計圖；

(4)用某市小學(xué)生總?cè)藬?shù)乘以做家務(wù)中“洗碗”的人數(shù)所占的百分比即可.

【解答】解：(1)本次調(diào)查中，一共調(diào)查的市民數(shù)是：500?25%=2000(名)，4、B、C、

D、E五個選項的頻率之和等于1,

故答案為：2000,1；

(2)扇形統(tǒng)計圖中，“會煮飯或會做簡單菜”對應(yīng)的扇形圓心角是360°義空_=54°；

2000

故答案為：54；

(3)洗碗的人數(shù)有2000-100-300-500-300=800(人)，補全頻數(shù)分布直方圖如下:

即估計做家務(wù)中“洗碗”的總?cè)藬?shù)約有9.6萬人.

【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖的綜合運用；讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信

息是解決問題的關(guān)鍵，條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù).

14.如圖所示，在△ABC中，AB：BC：。=3：4：5,且周長為3651,點尸從點A開始

沿AB邊向B點以每秒\cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度

移動，如果同時出發(fā)，問過3秒時，△BPQ的面積為多少？

【考點】勾股定理的逆定理.

【專題】動點型；整體思想.

【分析】本題先設(shè)適當?shù)膮?shù)求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直

角三角形.再求出3秒后的8P,8Q的長，利用三角形的面積公式計算求解.

【解答】解：設(shè)A3為BC為4xc/n,AC為5xc〃?，

周長為36cm,

AB+BC+AC=36cm,

.?.3x+4x+5x=36,

得x=3,

.,.AB=9cm,BC—12cm,AC=\5cm,

'：AB2+BC2=AC2,

.二△ABC是直角三角形，

過3秒時，8尸=9-3X1=6(cm),8Q=2X3=6(cm),

，SAPBQ=」BP?8Q=2X6X6=18(cm2).

22

故過3秒時，△BPQ的面積為18a"2.

【點評】本題是道綜合性較強的題，需要學(xué)生把勾股定理的逆定理、三角形的面積公式

結(jié)合求解.由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關(guān)鍵.隱含了整體

的數(shù)學(xué)思想和正確運算的能力.

15.如圖所示：ZVIBC是等邊三角形，力、E分別是AB及AC延長線上的一點，且BO=CE,

連接￡>E交BC于點M.求證：MD=ME.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】如圖，過點E作EN〃AB,并交BC的延長線于M由4ABC是等邊三角形，得

ZB=ZACB=60°.由AB〃NE,得NB=NN=60°,進而推斷出NNCE=NN=60°,

那么CE=NE.由B￡)=CE,得BD=NE.欲證。M=EM,即證四△代￡；”.

【解答】解：如圖，過點E作EN//AB,并交8c的延長線于N.

VAABC是等邊三角形,

：.ZB=ZACB=60°.

又VZACB與NNCE是對頂角，

：./ACB=/NCE=60°.

'JAB//NE,

，NB=NN=60°.

:.NNCE=NN=60°.

:.CE=NE.

又*：BD=CE,

：.BD=NE.

在△BDW和△NEAf中，

'/BMD=ZNME,

<ZB=ZN,

BD=NE,

:.ABDMmANEM(A4S).

：.DM=EM.

【點評】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)與判定，

熟練掌握運用證明三角形全等從而證明線段相等是解決本題的關(guān)鍵.

16.如圖①，在AABC中，AGL2C于點G,以A為直角頂點,分別以AB,AC為直角邊，

向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△AC凡過點E、尸作射線GA的垂線，垂足分

別為P,Q.

(1)試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖②，若連接EF交GA的延長線于點”，由(1)中的結(jié)論你能判斷EH與尸H

的大小關(guān)系嗎？并說明理由；

(3)圖②中△ABC與尸的面積相等嗎(不用證明)？直接寫出結(jié)論.

【考點】三角形綜合題.

【專題】幾何綜合題；幾何直觀；推理能力.

【分析】(1)易證aAEP也△BAG,△AFQ絲△C4G,即可求得EP=AG,FQ=AG,即

可解題；

(2)過點E作EPLHG于P,過點尸作FQ1HG于。，在(1)的結(jié)論基礎(chǔ)上證明

^/\FHQ,利用全等三角形性質(zhì)即可證明結(jié)論；

(3)根據(jù)全等三角形面積相等這一性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)PE=FQ.

如圖①，'：AG±BC,EPLGA,FQ±GA,

：.ZAPE=ZAQF=ZAGB=ZAGC=90°,

,/XABE和△ACF均為等腰直角三角形，

.../a4E=/C4尸=90°,AB=AE,AC=AF,

：.ZPEA+ZPAE=90°,ZGAB+ZPAE=90°,

：.ZPEA=ZGAB,

：./\PEA^AGAB(AAS),

：.PE=AG,

同理，^QFA^/XGAC(44S),

：.FQ=AG,

：.PE=FQ；

(2)EH=FH.理由如下：

過點E作EP±HG于P,過點F作FQ1HG于Q,

由(1)知I：PE=FQ,

■:/EPH=NFQH=90°,ZEHP^ZFHQ,

：.^XEHP^/XFHQ(A4S),

:.EH=FH；

(3)SAABC=S^AEF-

由(1)(2)知△2口也△GAB,△。41絲△GAC,叢EHP迫/XFHQ,

，SAEA=SAGAB，S^QFA—S^GAC>S&EHP=S&FHQ，

S&AEF-S&AEH+S&AFH

=(SAPEA-S1EHP)+(S△。以+Sz\F〃Q)

=S"EA+S&QFA

=SAGAB+SAGAC

?*?SAABC=SAAEF.

圖①

【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形

的性質(zhì)，根據(jù)條件判定三角形全等和添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值

在實數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕時值都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則

其中的每一項都必須等于0.

根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值.

2.平方根

（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.

一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根.

（2）求一個數(shù)。的平方根的運算，叫做開平方.

一個正數(shù)a的正的平方根表示為“?”，負的平方根表示為“-

正數(shù)a的正的平方根，叫做。的算術(shù)平方根，記作4.零的算術(shù)平方根仍舊是零.

平方根和立方根的性質(zhì)

I.平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方

根.

2.立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù),

0的立方根是0.

3.非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根

（1）非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有非負性.

（2）利用算術(shù)平方根的非負性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，開方的結(jié)果也

是非負數(shù)列出不等式求解.非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值

問題.

4.立方根

（1）定義：如果一個數(shù)的立方等于。，那么這個數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說,

如果丁=小那么x叫做“的立方根.記作：起.

（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0,負數(shù)的立方根是負數(shù).即任意數(shù)都有立方根.

（3）求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù).

注意：符號”3中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負

數(shù)都有唯一一個立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

I.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方

根.

2.立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù),

0的立方根是0.

5.估算無理數(shù)的大小

估算無理數(shù)大小要用逼近法.

思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值.

6.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、塞的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

7.完全平方式

完全平方式的定義：對于一個具有若干個簡單變元的整式A,如果存在另一個實系數(shù)整式8,

使4=82,則稱4是完全平方式.

c^±2ab+b1=（a±b）2

完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的平方.另一種是完

全平方差公式，就是兩個整式的差括號外的平方.算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末

項乘積的2倍中間放，符號隨中央.（就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，

再乘以2,然后把這個數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個數(shù)以前一個數(shù)間的符號隨原式中間的

符號，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用后邊的符號都用+）”

8.整式的混合運算

(1)有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)

的混合運算順序相似.

(2)“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地

解決相關(guān)問題，此時應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來.

9.整式的混合運算一化簡求值

先按運算順序把整式化簡，再把對應(yīng)字母的值代入求整式的值.

有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)的混合

運算順序相似.

10.提公因式法與公式法的綜合運用

提公因式法與公式法的綜合運用.

11.因式分解-分組分解法

1、分組分解法一般是針對四項或四項以上多項式的因式分解，分組有兩個目的，一是分組

后能出現(xiàn)公因式，二是分組后能應(yīng)用公式.

2、對于常見的四項式，一般的分組分解有兩種形式：①二二分法，②三一分法.

例如：①ov+ay+bx+by

=xCa+b)+y(.a+b)

=(a+b)(x+y)

?2xy-7+1-y2

=-(x2-2xy+y1')+1

=1-(x-y)2

=(1+x-y)(1-x+y)

12.因式分解的應(yīng)用

1、利用因式分解解決求值問題.

2、利用因式分解解決證明問題.

3、利用因式分解簡化計算問題.

【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用

1.因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ)，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數(shù)式值的常用

解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進行整體代

入.

2.用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是

其中的一部分.

13.對頂角、鄰補角

（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，

具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角.

（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，

互為鄰補角.

（3）對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.

（4）鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補，即和為180°.

（5）鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個.鄰補角、對頂角

都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系.它們都是在兩直線相交的前提下形

成的.

14.三角形三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

（2）在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，

只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角

形.

（3）三角形的兩邊差小于第三邊.

（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏

的定時炸彈，容易忽略.

15.全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（2）判定定理2：S4S--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（3）判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（4）判定定理4：AAS--兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（5）判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若

已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊

對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)

鄰邊.

16.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔

助線構(gòu)造三角形.

17.線段垂直平分線的性質(zhì)

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平

分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”.

（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到

線段兩端點的距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，

并且這一點到三個頂點的距離相等.

18.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中

任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

19.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系:等邊三角形是等腰三角形的特殊情況