正弦交流電路

第3章正弦交流電路3.1正弦交流電基本參數(shù)3.2正弦量的相量表示法3.3RLC單一元件的正弦交流電路3.4RLC串聯(lián)交流電路3.5復(fù)阻抗電路3.6正弦交流電的功率3.7電路中的串聯(lián)諧振3.8復(fù)雜正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析低壓供配電系統(tǒng)§

3.1正弦交流電基本概念直流電路：電流、電壓的大小和方向不隨時(shí)間變化的電路。交流電路：電流、電壓的大小或方向隨時(shí)間變化的電路。正弦交流電路：含有正弦電源而且電路各部分所產(chǎn)生的電壓和電流均按正弦規(guī)律變化的電路。u,itu,iωt+_+u,it1、什么是正弦交流電：2、為什么要使用交流電：交流電容易獲得。3、交流電的正方向：實(shí)際方向與參考方向一致時(shí)取正。4、交、直流電路比較：交、直流電的I、U、E、P

具有相同的物理意義基本定律定理一樣，網(wǎng)絡(luò)分析的方法理論一樣。交流電是變的，其瞬時(shí)值符合KCL、KVL，但有效值不符合3.2正弦量的三要素

其中u、i分別為電壓和電流的瞬時(shí)值;Um、Im分別為電壓和電流的幅值（或最大值）;ω為角頻率;φu,φi分別為電壓和電流的初相角,如圖所示。1.瞬時(shí)值、最大值、有效值瞬時(shí)值:

描述正弦量在任一瞬間的值，以小寫字 母u,i,e表示。最大值：瞬時(shí)值中的最大數(shù)值，也稱幅值

,以大寫字 母帶下標(biāo)m表示,如：Im,Um,Em.有效值:

與交流熱效應(yīng)相等的直流定義為交流電的 有效值。以大寫字母I、U、E表示。注意： 交流電壓、電流表測(cè)量數(shù)據(jù)為有效值交流設(shè)備名牌標(biāo)注的電壓、電流均為有效值u~RR+_U通入直流電，T時(shí)間內(nèi)，電流熱效應(yīng)：通入正弦交流電，T時(shí)間內(nèi)，電流熱效應(yīng)：IiQ=I2RT則有：同理：

正弦量是周期函數(shù),每經(jīng)過一定時(shí)間波形必將重復(fù)出現(xiàn)。將波形重復(fù)出現(xiàn)所需要的最短時(shí)間間隔稱為周期T,單位為秒。將波形在每秒鐘內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻率f,

單位為赫茲（Hz）。周期與頻率互為倒數(shù)關(guān)系。正弦量在一秒鐘內(nèi)經(jīng)過的弧度數(shù)為角頻率

，單位為rad/s。2．周期與頻率、角頻率對(duì)于f=50Hz的工頻交流電,其角頻率為

在我國,工業(yè)用電頻率為50Hz,簡稱工頻;無線電技術(shù)采用的頻率一般為100kHz～3000MHz。i相位：（

t+

）

反映正弦量變化的進(jìn)程，為時(shí)間的函數(shù)。初相位：

正弦量在t=0時(shí)的相角。

給出了觀察波形的起點(diǎn)或參考點(diǎn)。決定了正弦量的初始值i(0)=Im

sin

i

≈3/4π

23.正弦量的相位、初相和相位差φ＝±π,電壓u

在相位上與電流i反相。在正弦交流電路中,元件上的電壓同流過元件的電流的瞬時(shí)相位可能不同,但兩者的初始相位之差,φ=

u-

i為一常量。在同一電路中,初相可隨計(jì)時(shí)起點(diǎn)的不同而改變,而相位差則保持不變。若φ＞0,電壓u

在相位上超前電流I一個(gè)相位角

；φ＜0，電壓u在相位上滯后電流I；φ＝0，電壓u與電流i同相；相位差φ：

uiωt

i=Imsin(

t+

i)

u=Umsin(

t+

u)

例3.2.2某正弦電流完成一周變化需時(shí)間為，求該電流的頻率和角頻率。

例3.2.3已知正弦電壓，求該正弦電壓的幅值，有效值，角頻率，周期和初相角。規(guī)定：|y|(180°)。特殊相位關(guān)系：

tu,iu

iO

tu,iu

iO

tu,iu

iOj=0同相j=(180o)反相

=p/2正交注意：

1．兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)，與計(jì)時(shí)的選擇起點(diǎn)無關(guān)。2．不同頻率的正弦量比較無意義。uictui

uiωtuiωtuiui根據(jù)u,i的波形圖判斷兩者的關(guān)系電壓滯后于電流

電流超前電壓90o電壓和電流同相電壓和電流反相uiωtui90°【例題】已知:正弦電壓的最大值Um=10V,頻率f=50Hz，初相θu=-π/3寫出電壓瞬時(shí)值表達(dá)式,畫出波形圖。解：【例題講解】【例題講解】某正弦電壓的有效值U=220V，初相

u=30；某正弦電流的有效值I=10A，初相i=-60。它們的頻率均為50Hz。試分別寫出電壓和電流的瞬時(shí)值表達(dá)式，畫出它們的波形，并求出u和i在t=1/300s時(shí)的瞬時(shí)值。電壓的最大值:電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式：電流的最大值：角頻率：Um=U=

220=310V

電流的瞬時(shí)值表達(dá)式：解：2.1正弦交流電基本概念【例題講解】電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式：電流的瞬時(shí)值表達(dá)式：uiωt603011/67/3ui310V14.14Au,i，的波形為：所以，當(dāng)t=1/300s時(shí)，2.1正弦交流電基本概念1.f=50HzU=220Vψu(yù)=90o寫出該正弦電壓的三角函數(shù)式2.i1=102Sin(314t+60o)Ai2=10Sin（314t-90o)A

（1）I=5Sin（314t+30o）A4根據(jù)波形圖寫三角函數(shù)式（2）u=USin（314t+60o）A3判斷正誤（2）比較二者的相位關(guān)系（1）若用電流表測(cè)量i1及i2，讀數(shù)為多少?

ti1i330o30o【練習(xí)與思考】2.1正弦交流電基本概念【練習(xí)與思考】1．有一正弦交流電壓為u=310sin（6280t+π/3）V，其頻率為

，幅值為

，有效值為

，初相角為

。若uˊ有效值為100V，與u反相，則uˊ的瞬時(shí)表達(dá)式為

。2．兩個(gè)正弦量為u1=36sin（314t+120°）V，u2=36sin（628t+30°）V，則有（）。

A：u1超前u290°B：u2超前u190° C:不能判斷相位差D：u1滯后u290°3.已知u1=100sin（314t+120°）V，u2=50sin（314t-90°）V，試求：1）u1與u2的相位差φ=？誰超前？

2）若改變u2的參考方向，重復(fù)問題12.1正弦交流電基本概念

第3章正弦交流電路3.3正弦量的相量表示法在正弦量的函數(shù)表達(dá)式中,具有幅值、頻率及初相這3個(gè)主要特征,而這些特征還可以用其他方法來描述。-----用復(fù)數(shù)形式表示正弦量瞬時(shí)值（三角函數(shù)法）：波形圖法：相量表示法：i

Im

2T相量式相量圖正弦交流電路中電壓與電流的關(guān)系電阻元件、電感元件和電容元件的特性方程：電壓電流關(guān)系式：u=iR直流電路中特性：相當(dāng)于短路相當(dāng)于開路U，i成正比正弦交流電路中的特性邊學(xué)邊做§3.4.1純電阻電路Ru+_根據(jù)歐姆定律:設(shè)則ωti0uπ2π電阻電壓電流的波形圖2)大小關(guān)系：3)相位關(guān)系：1)

頻率關(guān)系：u、i相位相同相位差：相同1.電壓與電流的關(guān)系Ru+_因?yàn)閡、i同頻率同相位，有效值U=IR，所以：5)相量圖:相量模型表式R+_瞬時(shí)值表示4)相量式:5)相量圖:4)相量式:2.電阻元件的功率iωtu0iupωtp01)瞬時(shí)功率：2)平均功率（有功功率）：P結(jié)論:

（耗能元件）,且隨時(shí)間變化。3.4.2電感元件+-eL+-L

基本關(guān)系式：設(shè)：2)大小關(guān)系：3)相位關(guān)系：1)頻率關(guān)系：頻率相同U=IL電壓超前電流90

相位差1.電壓與電流的關(guān)系uωtuii電感電壓電流的波形圖根據(jù)：4）相量式：5）相量圖相量歐姆定律有效值歐姆定律則：稱為感抗稱為復(fù)感抗儲(chǔ)能p<0+p>01）瞬時(shí)功率：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0p<0放能儲(chǔ)能放能iuopo結(jié)論：純電感不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換（能量的吞吐)。電感L是儲(chǔ)能元件。2）平均功率：P=03）無功功率2.功率關(guān)系單一參數(shù)正弦交流電路的功率關(guān)系瞬時(shí)功率

p：

瞬時(shí)電壓與瞬時(shí)電流的乘積。單位：瓦（W)（2）平均功率(有功功率)P：

瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值.單位：瓦（W)(3)無功功率Q：

用以衡量電感（電容）電路中能量交換的規(guī)模。用瞬時(shí)功率達(dá)到的最大值表征。單位：乏（Var)注意：通常銘牌數(shù)據(jù)或測(cè)量的功率均指有功功率。例3.3.2

把一個(gè)L=0.5H的電感接到50Hz、220V的交流電源上,求:(1)電感的感抗。

(2)電路中的電流I、U,

電壓與電流間的夾角。

(3)電感的無功功率QL。

(4)若外加電壓的數(shù)值不變,頻率變?yōu)?000Hz時(shí),以上各值如何變化。解（1）感抗:(2)設(shè)電壓為參考相量,則即電流的有效值為1.4A,相位滯后于電壓90°。

(3)無功功率:(4)當(dāng)頻率為5000Hz時(shí),重復(fù)上述計(jì)算得:感抗增大100倍電流縮小100倍,電流的相位仍滯后電壓90°無功功率減小100倍由此可見,同一電感對(duì)不同頻率的電流具有不同的感抗。頻率越高,感抗越大,則電流越小?！纠}講解】 一線圈的電感量L=0.1H，將其分別接于（1）直流；（2）交流50Hz；（3）交流1000Hz交流電路中，試分別求該電感線圈的感抗XL。解：（1）f=0，XL=2

fL=0

（2）f=50Hz，XL=2

fL=2×3.14×50×0.1=31.4（3）f=1000HzXL=2

fL=2×3.14×1000×0.1=328【例題講解】在純電感電路中，已知i=22sin(1000t+30

)A，L=0.01H，求（1）電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式；（2）用相量表示電流和電壓，并作出相量圖；（3）求有功功率和無功功率。解：（1）XL=

L=1000×0.01=10

，

Im=22A，Um=ImXL=220V因?yàn)榧冸姼须娐冯妷撼半娏?0

，故u=220sin(1000t+120

)V。（2）=22

30

A=220

120

V（3）P=0Q=UI=220×22=4840var相量圖30

90

大小頻率相位相量式有功功率無功功率純電阻電路純電感電路u、i相位相同相同相同U=IL電壓超前電流90

00純電感電路【課堂小結(jié)】【重點(diǎn)與難點(diǎn)】1）電阻元件電壓與電流的相量式關(guān)系（大小、相位）2）電感元件電壓與電流的相量式關(guān)系（大小、相位）3）感抗的定義及含義稱為感抗稱為復(fù)感抗2.在高頻情況下，電感相當(dāng)于

。1.在直流穩(wěn)態(tài)電路中，電感相當(dāng)于

。3.右圖通過電感的電流為

A，電感兩端的電壓為

V?！揪毩?xí)與思考】4．已知一正弦交流電流i=10sin(1000t+30°）A，通過L=0.01的電感,則電感兩端電壓為

?！?.4.3電容元件uiC+_

基本關(guān)系式：則：設(shè)：2)大小關(guān)系：3)相位關(guān)系：1)頻率關(guān)系：頻率相同I=UC

電流超前電壓90

相位差iuiu1.電壓電流關(guān)系由相量歐姆定律有效值歐姆定律稱為容抗復(fù)容抗5）相量圖uioui+-ui+-ui+-ui+-+p>0充電p<0放電+p>0充電p<0放電po

瞬時(shí)功率：平均功率：P=0無功功率：結(jié)論：純電容不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換（能量的吞吐)。電容C是儲(chǔ)能元件。2.電容元件的功率:例3.3.3

把一個(gè)C=38.5μF的電容接到50Hz、220V的交流電源上,求:

（1）電容的容抗。（2）電路中的電流I、電壓U,電壓與電流間的夾角。

(3）電容的無功功率QC。（4）若外加電壓的數(shù)值不變,頻率變?yōu)?000Hz時(shí),以上各值如何變化。解（1）容抗（2）設(shè)電壓U為參考相量,即所以即電流的有效值為2.75A,相位超前于電壓90°。（3）無功功率（4）當(dāng)頻率為5000Hz時(shí),重復(fù)上述計(jì)算得:容抗減小100倍;

由此可見,同一電容對(duì)不同頻率的電流具有不同的容抗。頻率越高,容抗越小,電流越大。

I’=275A,電流增大100倍;電流的相位仍超前電壓90°;無功功率增大100倍。在純電容電路中，已知i=22sin(1000t+30

)A，電容量C=100

F，求：（1）電容器兩端電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式；（2）用相量表示電壓和電流，并作出相量圖；（3）求有功功率和無功功率?！纠}講解】解：（1）Im=22A，Um=ImXc=220V。u=220sin(1000t-60

)V（2）（3）P=0，QC=UI=220×22=4840var?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1）電容元件電壓與電流的相量式關(guān)系（大小、相位）2）容抗的定義及含義稱為容抗稱為復(fù)容抗2.在高頻情況下，電容相當(dāng)于

。1.在直流穩(wěn)態(tài)電路中，電容相當(dāng)于

?！揪毩?xí)與思考】3.右圖通過電容的電流為

A，電容兩端的電壓為

V。4.已知一正弦交流電流i=10sin(1000t+30

)A，通過C=100μF的電容，則電路的容抗為

。電容兩端電壓瞬時(shí)值u=

。1030O將波形如圖示的正弦電壓施加于電抗XL=5Ω的電抗元件(關(guān)聯(lián)方向)，則通過該元件的電流=()u/VA.50sin(ωt-900)AB.2sin(ωt+600)AC.2sin(ωt-600)Au=10sin(ωt+300)VC【練習(xí)與思考】指出下列各式中哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的？在電阻電路中：在電感電路中：在電容電路中：【練習(xí)與思考】參數(shù)LCR基本關(guān)系復(fù)阻抗相量式相量圖單一參數(shù)正弦交流電路的基本關(guān)系【課堂小結(jié)】電路參數(shù)電路圖(正方向)復(fù)數(shù)阻抗電壓、電流關(guān)系瞬時(shí)值有效值相量圖相量式功率有功功率無功功率Riu設(shè)LC設(shè)基本關(guān)系+-iu+-iu+-設(shè)則則則u、i

同相u領(lǐng)先i90°

u落后i90°000圖（a）為電阻、電感及電容元件相串聯(lián)的交流電路。串聯(lián)電路中,各元件所通過的電流相同。電流、電壓的正方向如圖中箭頭所示3.4RLC串聯(lián)的交流電路根據(jù)阻抗的定義得：阻抗的模為：電源電壓u與電流i之間的相位差為：例3.4

在圖(a)所示的RLC串聯(lián)電路中,已知試求:（1）

XL、XC與Z的值。（2）電流有效值I及瞬時(shí)值i。（3）各部分電壓有效值和瞬時(shí)值。（4）并畫出相量圖解(1)(2)(3)圖(a)為無源、正弦交流二端電路N，電壓相量與電流相量參考方向關(guān)聯(lián)。或3.5復(fù)阻抗電路1.阻抗定義定義端口電壓相量與電流相量的比值為該無源二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗，以符號(hào)Z表示，即：將上式可改寫成：或上式與電阻電路的歐姆定律在形式上相似，只是電流和電壓都用相量表示，稱為歐姆定律的相量形式。由上式容易看出，阻抗的單位為歐姆，并且它一般是復(fù)數(shù)，又常稱Z為復(fù)阻抗。這可將式中|Z|稱為阻抗Z的模值，φz稱為阻抗角。上式是阻抗Z的極坐標(biāo)形式，將它化為代數(shù)形式有：式中R稱為阻抗Z中的電阻部分，X稱為阻抗Z中的電抗部分。當(dāng)X>0時(shí)為感抗，當(dāng)X<0時(shí)為容抗。圖（a）是兩個(gè)阻抗的串聯(lián)電路。根據(jù)基爾霍夫電壓定律可寫出它的相量表示式為：2.阻抗的串聯(lián)比較兩式得：注意：因?yàn)閨Z|≠|(zhì)Z1|+|Z2|,即I|Z|≠I|Z1|+I|Z2|,所以U≠U1+U2。圖（a）是兩個(gè)阻抗并聯(lián)的電路。根據(jù)基爾霍夫電流定律可寫出其相量表示式：3.阻抗的并聯(lián)例3.5.1

電路如圖所示，已知,

R1=10Ω,R2=1000Ω,L=500mH,C=10uF,求電容電壓uc

。解

R2與XC并聯(lián)的等效阻抗為總等效阻抗為因?yàn)榍宜杂捎陔娮柙弦碾娔?用有功功率（或平均功率）表示為3.6正弦交流電路的功率而電感元件和電容元件只是儲(chǔ)放能量,即它們與電源之間要進(jìn)行能量交換,相應(yīng)的無功功率為：

上面兩式是計(jì)算正弦交流電路中有功功率（平均功率）和無功功率的一般公式。

由上述可知,一個(gè)交流發(fā)電機(jī)輸出的功率不僅與發(fā)電機(jī)輸出的端電壓及輸出電流的有效值的乘積有關(guān),而且還與電路負(fù)載的參數(shù)有關(guān)。若電路所具有的參數(shù)不同,其電壓與電流間的相位差φ就不同,那么在同樣電壓U和電流I之下,電路的有功功率和無功功率也就不同。定義：cosφ稱為功率因數(shù)。

由上式可知,在交流電路中,平均功率不等于電壓與電流有效值的乘積,我們將兩有效值的乘積稱為視在功率S,即單位為：伏安和千伏安由于有功功率（平均功率）P、無功功率Q和視在功率S三者所代表的意義不同,為了區(qū)別起見,各采用不同的單位。三者之間滿足如下關(guān)系：例

3.6.1如圖所示，求正弦交流電路的有功功率P和無功功率Q。解

例

3.6.2如圖所示，已知，求其視在功率S及功率因素。解

一般交流電源設(shè)備（發(fā)電機(jī)、變壓器）都是根據(jù)額定電壓UN和額定電流IN進(jìn)行設(shè)計(jì)、制造和使用的。它能夠給負(fù)載提供的有功功率為P1=UNINcosφ。當(dāng)UN、IN為定值時(shí),若cosφ低,則負(fù)載吸收的功率就低,因而電源供給的有功功率P1也低,這樣電源的潛力就沒有得到充分發(fā)揮。

2功率因數(shù)的提高

1.提高功率因數(shù)的意義1）充分利用電源設(shè)備

2）降低線路損耗和線路壓降提高功率因數(shù)的方法除了提高用電設(shè)備本身的功率因數(shù)（例如正確選用異步電動(dòng)機(jī)的容量或減少輕載和空載）外,主要是通過在感性負(fù)載兩端并聯(lián)電容器的方法對(duì)其無功功率進(jìn)行補(bǔ)償,如圖所示。

２．提高功率因數(shù)的方法設(shè)負(fù)載的端電壓為,在未并聯(lián)電容時(shí),感性負(fù)載中的電流為當(dāng)并上電容后,不變,而電容支路電流為則線路總電流為從相量圖可看出,在感性負(fù)載的兩端并聯(lián)適當(dāng)?shù)碾娙莺?可使電壓與電流的相位差