固體力學(xué)復(fù)習(xí)題

固體力學(xué)復(fù)習(xí)題概念1〕彈性與塑性彈性：物體在引起形變的外力被除去以后能恢復(fù)原形的這一性質(zhì)。塑性：物體在引起形變的外力被除去以后有局部變形不能恢復(fù)殘留下來的這一性質(zhì)。2〕應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力：受力物體某一截面上一點(diǎn)處的內(nèi)力集度。應(yīng)力狀態(tài)：某點(diǎn)處的9個(gè)應(yīng)力分量組成的新的二階張量。3〕球張量和偏量球張量：球形應(yīng)力張量，即，其中偏量：偏斜應(yīng)力張量，即，其中4〕轉(zhuǎn)動(dòng)張量：表示剛體位移局部，即5〕應(yīng)變張量：表示純變形局部，即6〕應(yīng)變協(xié)調(diào)條件：物體變形后必須仍保持其整體性和連續(xù)性，因此各應(yīng)變分量之間，必須要有一定得關(guān)系，即應(yīng)變協(xié)調(diào)條件。。7〕圣維南原理：如作用在彈性體外表上某一不大的局部面積上的力系，為作用在同一局部面積上的另一靜力等效力所代替，那么荷載的這種重新分布，只造離荷載作用處很近的地方，才使應(yīng)力的分布發(fā)生顯著變化，在離荷載較遠(yuǎn)處只有極小的影響。8〕屈服函數(shù)：在一般情況下，屈服條件與所考慮的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，或者說，屈服條件是改點(diǎn)6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量的函數(shù)，即為，即為屈服函數(shù)。9〕不可壓縮：對(duì)金屬材料而言，在塑性狀態(tài)，物體體積變形為零。10〕穩(wěn)定性假設(shè)：即德魯克公社，包括：1.在加載過程中，應(yīng)力增量所做的功恒為正；2.在加載與卸載的整個(gè)循環(huán)中，應(yīng)力增量所完成的凈功恒為非負(fù)。11〕彈塑性力學(xué)的根本方程：包括平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程。12〕邊界條件：邊界條件可能有三種情況：1.在邊界上給定面力稱為應(yīng)力邊界條件；2.在邊界上給定位移稱為位移邊界條件；3.在邊界上局部給定面力，局部給定位移稱為混合邊界條件。13〕滑移線：最大剪力線。14〕極限荷載：荷載逐漸按比例增加時(shí)，結(jié)構(gòu)在多處形成塑性鉸后，當(dāng)結(jié)構(gòu)變?yōu)闄C(jī)構(gòu)時(shí)，結(jié)構(gòu)喪失承載能力，此時(shí)相應(yīng)的荷載稱為極限荷載。2、物體內(nèi)一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量為：，，，，，試求法線方向余弦為，，的微分面上的總應(yīng)力、正應(yīng)力和剪應(yīng)力。提示：應(yīng)力矢量的三個(gè)分量為，，總應(yīng)力。正應(yīng)力。剪應(yīng)力。3、某點(diǎn)的應(yīng)力張量為且經(jīng)過該點(diǎn)的某一平面上的應(yīng)力矢量為零，求及該平面的單位法向矢量。提示：設(shè)要求的單位法向矢量為，那么按題意有即，，(a)上面第二式的兩倍減去第一式和第三式，得上式有兩個(gè)解：或。假設(shè)，那么代入式(a)中的三個(gè)式子，可得，這是不可能的。所以必有。將代入式(a)，利用，可求得。4、己知一點(diǎn)處的應(yīng)力張量為試求該點(diǎn)的最大主應(yīng)力及其主方向。提示：由題意知該點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)，且知：σx=12×103σy=10×103τxy=6×103，且該點(diǎn)的主應(yīng)力可由下式求得：那么顯然：σ1與x軸正向的夾角為：〔按材力公式計(jì)算〕顯然2θ為第Ⅰ象限角：2θ=arctg〔+6〕=+80.5376°那么：θ=+40.268840°16＇或〔-139°44＇〕5、證明以下等式：〔1〕：J2=I2+；〔3〕：；證明〔1〕：等式的右端為：故左端=右端證明〔3〕：右端=6、設(shè)己知以下位移，試求指定點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)?！?〕：在〔0，2〕點(diǎn)處；〔2〕：在〔1，3，4〕點(diǎn)處解〔1〕：在〔0，2〕點(diǎn)處，該點(diǎn)的應(yīng)變分量為:；；寫成張量形式那么為：；解〔2〕：將己知位移分量函數(shù)式代入幾何方程求出應(yīng)變分量函數(shù)式，然后將己知點(diǎn)坐標(biāo)〔1，3，4〕代入應(yīng)變分量函數(shù)式。求出設(shè)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。；；；用張量形式表示那么為：7、試說明以下應(yīng)變狀態(tài)是否可能〔式中a、b、c均為常數(shù)〕(1):(2):(3):解〔1〕：由應(yīng)變張量εij知：εxz=εyz=εzx=εzy=εz=0而εx、εy、εxy及εyx又都是x、y坐標(biāo)的函數(shù)，所以這是一個(gè)平面應(yīng)變問題。將εx、εy、εxy代入二維情況下，應(yīng)變分量所應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)條件知：也即：2c+0=2c所以說，該應(yīng)變狀態(tài)是可能的。解〔2〕：將己知各應(yīng)變分量代入空間問題所應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)方程得：………………〔1〕得：不滿足，因此該應(yīng)變狀態(tài)是不可能的。解〔3〕：將己知應(yīng)變分量代入上〔1〕式得：不滿足，因此該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不可能的。8、如下圖，三角形水壩，已求得應(yīng)力分量為，，，，和分別是壩身和水的比重。求常數(shù)、、、，使上述應(yīng)力分量滿足邊界條件。提示：在的邊界上，有邊界條件，將題中的應(yīng)力分量代入上面兩式，可解得：，。在左側(cè)的斜面上，，外法向方向余弦為，，把應(yīng)力分量和上面得到的有關(guān)結(jié)果代入邊界條件，可解得：，。9、三個(gè)主應(yīng)力為、和，在主坐標(biāo)系中取正八面體，它的每個(gè)面都為正三角形，其法向單位矢量為，，求八面體各個(gè)面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。提示：，，，。10、證明：對(duì)線性各向同性的彈性體來說，應(yīng)力主方向與應(yīng)變主方向是一致的。非各向同性體是否具有這樣的性質(zhì)？試舉例說明。提示：對(duì)各向同性材料，設(shè)是應(yīng)力的主方向，是相應(yīng)的主應(yīng)力，那么(1)各向同性的胡克定律是將上式代入式(1)，得，即由此可知，也是應(yīng)變的主方向。類似地可證，應(yīng)變主方向也是應(yīng)力主方向。因此，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向一致。下面假定材料性質(zhì)具有一個(gè)對(duì)稱面。設(shè)所取的坐標(biāo)系是應(yīng)變主坐標(biāo)系，且材料性質(zhì)關(guān)于平面對(duì)稱。因?yàn)?，所以從?5.14)得假設(shè)應(yīng)變主坐標(biāo)系也是應(yīng)力主坐標(biāo)系，那么，即上式只能在特殊的應(yīng)變狀態(tài)下才能成立?？傊?，對(duì)各向異性材料，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向不一定相同。11、對(duì)各向同性材料，試寫出應(yīng)力不變量和應(yīng)變不變量之間的關(guān)系。解：由式(5.17)可得主應(yīng)力和主應(yīng)變之間的關(guān)系(1)從上式得(2)〔3〕(4)式(2)、(3)、(4)就是用應(yīng)變不變量表示應(yīng)力不變量的關(guān)系。也容易得到用應(yīng)力不變量表示應(yīng)變不變量的關(guān)系。12、懸壁梁受均布載荷作用，求應(yīng)力分量。提示：假定和無關(guān)。解：假定和無關(guān)，即，于是有積分兩次，得(1)其中和是的待定函數(shù)。將應(yīng)力函數(shù)代入雙調(diào)和方程，得上式對(duì)任意成立的充要條件是，，(2)解上面的前兩式，得，中略去了不影響應(yīng)力的常數(shù)項(xiàng)。由式(2)中的第三個(gè)方程，得所以，有在上式中略去了不影響應(yīng)力的常數(shù)項(xiàng)和線性項(xiàng)。將求出的函數(shù)、和代入式(1)，得應(yīng)力分量為本問題的邊界條件是：，(3)，(4)(5),(6)由條件(5)可求得，，由條件(3)和(4)可以求得，，，將求得的常數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得(7)由條件(6)中的第一個(gè)條件可以求得，由(6)中的第二個(gè)條件可以求得最后的應(yīng)力分量為其中，是截面的慣性矩。13、簡支梁只受重力作用，梁的密度為，重力加速度為，，求應(yīng)力分量。提示：假定和無關(guān)。解：假設(shè)即經(jīng)過和上題類似的運(yùn)算，可以得到和上題相同的應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力分量為由對(duì)稱性可知，，所以，由此得，，在梁的任意截面上，方向的合力為零，即故有，利用上面求得的結(jié)果，應(yīng)力分量的表達(dá)式簡化為在梁的端部有條件在梁的上下外表上有條件，將應(yīng)力分量表達(dá)式代入上述條件，可以求得，，，最后的應(yīng)力分量為，。14、三角形懸壁梁只受重力作用，梁的密度為，求應(yīng)力分量。提示：設(shè)該問題有代數(shù)多項(xiàng)式解，用量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的冪次。解：應(yīng)力與外載荷(即體力)成比例，所以任意一個(gè)應(yīng)力分量都可以表示成如下形式應(yīng)力的量綱是[力][長度]－2，的量綱是[力][長度]－3，和的量綱是[長度]，是無量綱的，所以假設(shè)是多項(xiàng)式，那么必是一個(gè)和的齊一次表達(dá)式。應(yīng)力函數(shù)應(yīng)是比高兩次的多項(xiàng)式，故有應(yīng)力分量的表達(dá)式為在的邊界上，有，由上面兩式得在斜面上，有，，，斜面上的邊界條件為由此得，故，。把求出的常數(shù)代回應(yīng)力分量的表達(dá)式，得，，。15、在內(nèi)半徑為、外半徑為的圓筒外面套以內(nèi)半徑為的剛性圓筒，內(nèi)筒的內(nèi)壁受壓力作用。求應(yīng)力分量和位移分量。注：按平面應(yīng)力問題求解。解：這是一個(gè)整環(huán)的軸對(duì)稱問題，應(yīng)力分量可以表示成如下形式，，假設(shè)不計(jì)剛體位移，那么位移分量的表達(dá)式為，邊界條件為將和的表達(dá)式代入上面兩個(gè)條件，可以求得，將求出的常數(shù)代入應(yīng)力和位移的表達(dá)式，得，，16、圖示一尖劈，其一側(cè)面受均布?jí)毫ψ饔?，求?yīng)力分量、和。提示：用量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式。解：任意一個(gè)應(yīng)力分量都可以表示成，應(yīng)力和有相同的量綱，所以應(yīng)是無量綱的。根據(jù)應(yīng)力和應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系可知，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該是的兩次表達(dá)式，即將上式代入雙調(diào)和方程，得解出上式的解后，可得應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力分量為邊界條件為，，，把應(yīng)力分量的表達(dá)式代入上面的四個(gè)條件，可以求出常數(shù)、、和。最后的應(yīng)力分量為17、楔形體在側(cè)面上受有均布剪力。求應(yīng)力分量。提示：用量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式，或假定和無關(guān)。提示：邊界條件為，，，將應(yīng)力分量的表達(dá)式代入上面的條件，可以求出，，，所以，有，，。18、試證明在法向集中力作用的彈性半空間內(nèi)，應(yīng)力分布有如下特點(diǎn)：作一直徑為、且在集中力作用點(diǎn)和邊界相切的球，如下圖，那么在任意水平面上和球面相交的點(diǎn)的應(yīng)力矢量的大小相等，且等于。提示：，。如下圖，有，。要求的應(yīng)力矢量的大小為。證畢。19、給定單向拉伸曲線如下圖，εs、E、E′均為，當(dāng)知道B點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)棣艜r(shí)，試求該點(diǎn)的塑性應(yīng)變。解：由該材料的σ—ε曲線圖可知，該種材料為線性強(qiáng)化彈塑性材料。由于B點(diǎn)的應(yīng)變已進(jìn)入彈塑性階段，故該點(diǎn)的應(yīng)變應(yīng)為：εB=ε=εe+εp故：εp=ε-εe；20、藻壁圓筒承受拉應(yīng)力及扭矩的作用，假設(shè)使用Mises條件，試求屈服時(shí)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力應(yīng)為多大？并求出此時(shí)塑性應(yīng)變增量的比值。解：由于是藻壁圓筒，所可認(rèn)圓筒上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是均勻分布的。據(jù)題意圓筒內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為：〔采用柱坐標(biāo)表示〕，，；，；；于是據(jù)miess屈服條件知，當(dāng)該藻壁圓筒在軸向拉力〔固定不變〕ρ及扭矩M〔遂漸增大，直到材料產(chǎn)生屈服〕的作用下，產(chǎn)生屈服時(shí)，有：解出τ得：；τ就是當(dāng)圓筒屈服時(shí)其橫截面上的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。任意一點(diǎn)的球應(yīng)力分量σm為：應(yīng)力偏量為：；；；；；由增量理論知：于是得：；；；；；所以此時(shí)的塑性應(yīng)變增量的比值為：：：：：：：：：0：0：也即：：：：：：〔-1〕：〔-1〕：2：0：0：6；21、給出以下問題的最大剪應(yīng)力條件與畸變能條件：〔1〕：受內(nèi)壓作用的封閉藻壁圓管。設(shè)內(nèi)壓q，平均半徑為r，壁厚為t，材料為理想彈塑性?！?〕：受拉力p和旁矩作用的桿。桿為矩形截面，面積b×h，材料為理想彈塑性。解〔1〕：由于是藻壁圓管且<<1。所以可以認(rèn)為管壁上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)，即σr=0,且應(yīng)力均勻分布。那么任意一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為：；；；假設(shè)采用Tresca屈服條件，那么有：；故得：；或：；假設(shè)采用mises屈服條件，那么有：；故得：；或：；解〔2〕：該桿內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)，〔受力如圖示〕且知，當(dāng)桿件產(chǎn)生屈服時(shí)，首先在桿件頂面各點(diǎn)屈服，故知得：；假設(shè)采用Tre