2023-2024學(xué)年河南省鄭州市高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省鄭州市高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．已知全集U＝R，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）

A． B． C． D．2．設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．3．在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內(nèi)近似根的過程中，已經(jīng)得到，則方程的根落在區(qū)間（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定4．某品牌電腦投放市場的第一個(gè)月銷售100臺，第二個(gè)月銷售200臺，第三個(gè)月銷售400臺，第四個(gè)月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好反映銷售量y與投放市場月數(shù)x之間的關(guān)系的是A．y=100x B．y=50x2–50x+100C．y=50×2x D．y=100log2x+1005．函數(shù)的定義域?yàn)镽，對任意的，有，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．6．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．，若互不相等，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知a>b>c，若恒成立，則m的最大值為（

）A．3 B．4 C．8 D．9二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，則下列命題正確的有（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．若，則 D．若，則11．定義運(yùn)算，設(shè)函數(shù)，則下列命題正確的有（

）A．的值域?yàn)锽．的值域?yàn)镃．不等式成立的范圍是D．不等式成立的范圍是12．若，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．函數(shù)的定義域是．14．已知冪函數(shù)，若，則的取值范圍是．15．已知，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．16．已知，且，則．四、解答題（本題共6小題，共70分）17．化簡求值（需要寫出計(jì)算過程）．(1)化簡并求值；(2)計(jì)算：．18．求函數(shù)，的值域.19．已知函數(shù)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a、b的值；(2)設(shè)，若不等式在x∈上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．一研究小組在對某學(xué)校的學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中發(fā)現(xiàn)，其注意力指數(shù)與聽課時(shí)間之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖像的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)，且圖像的一部分.根據(jù)研究，當(dāng)注意力指數(shù)不小于80時(shí)聽課效果最佳.(1)求的函數(shù)關(guān)系式；(2)有一道數(shù)學(xué)難題，講解需要22分鐘，問老師能否經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時(shí)段講完？請說明理由.21．已知函數(shù)為奇函數(shù)(1)探究的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求的范圍22．已知函數(shù)，，與互為反函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若函數(shù)，關(guān)于方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．1．B【分析】首先根據(jù)圖確定集合為，再求集合，即可求解.【詳解】由圖可知陰影部分表示的集合為，因?yàn)榧?，又全集，所以，因?yàn)椋?故選：B2．D【分析】由，且>0，，可得的大小關(guān)系.【詳解】由對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)有：，由指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)有：，由指數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)有：且>0.所以.故選：D本題考查對數(shù)值和指數(shù)值大小的比較，考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.3．B【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可確定零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】∵f（1）<0，f（1.5）>0，∴在區(qū)間（1，1.5）內(nèi)函數(shù)=3x+3x﹣8存在一個(gè)零點(diǎn)又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0，∴在區(qū)間（1.25，1.5）內(nèi)函數(shù)=3x+3x﹣8存在一個(gè)零點(diǎn)，由此可得方程的根落在區(qū)間（1.25，1.5）內(nèi)，故選：B4．C【分析】根據(jù)題設(shè)的選項(xiàng)給定的函數(shù)，逐一進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到能較好反映銷售量和投放市場月數(shù)之間的關(guān)系，得到答案.【詳解】對于A中的函數(shù)，當(dāng)x=3或4時(shí)，誤差較大．對于B中的函數(shù)，當(dāng)x=3或4時(shí)誤差也較大．對于C中的函數(shù)，當(dāng)x=1，2，3時(shí)，誤差為0，x=4時(shí)，誤差為10，誤差很?。畬τ贒中的函數(shù)，當(dāng)x=4時(shí)，據(jù)函數(shù)式得到的結(jié)果為300，與實(shí)際值790相差很遠(yuǎn)．綜上，只有C中的函數(shù)誤差最小，故選C．本題主要考查了函數(shù)的解析式應(yīng)用問題，其中熟記指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.5．B【分析】由條件有在上單調(diào)遞減，函數(shù)為偶函數(shù)，則的圖像關(guān)于直線對稱，由對稱性和單調(diào)性可得的大小關(guān)系.【詳解】對任意的，有,即對任意的,設(shè)，都有，所以在上單調(diào)遞減.又函數(shù)為偶函數(shù)，即.則的圖像關(guān)于直線對稱.所以,則.故選：B.本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義及其應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性和對稱性，屬于中檔題.6．D【分析】利用換元法，令，則由題意可知，函數(shù)t(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而可得，且，進(jìn)而可求出的取值范圍【詳解】令，則由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得函數(shù)t(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減且恒為正數(shù)，所以，且，解得≤a<4，故選：D.此題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.7．D【分析】作出函數(shù)的圖像，然后令，則可得為函數(shù)圖像與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)圖像可得的范圍，同時(shí),可得,即可得答案.【詳解】由作出函數(shù)的圖像如下:不妨設(shè),則，即，則，所以,又由圖可知，則，故選：D.本題考查分段函數(shù)，對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，正確畫出函數(shù)圖像和熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖像是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8．D【分析】由，知，，，由，得，結(jié)合基本不等式求出的最小值，得到m的最大值．【詳解】由，知，，，由，得，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值9，，的最大值為9．故選：．9．ABC【分析】根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性，即可容易判斷選擇.【詳解】選項(xiàng)A，在上單調(diào)遞增，所以A正確.選項(xiàng)B，在上單調(diào)遞增，所以B正確.選項(xiàng)C，在上單調(diào)遞增，所以C正確.選項(xiàng)D，在上單調(diào)遞減，所以D不正確.故選.本題考查常見函數(shù)的單調(diào)性，屬簡單題.10．ACD【分析】先代點(diǎn)求出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)直接可得單調(diào)性和奇偶性，由可判斷C，利用展開和0比即可判斷D.【詳解】將點(diǎn)(4,2)代入函數(shù)得：，則.所以，顯然在定義域上為增函數(shù)，所以A正確.的定義域?yàn)?，所以不具有奇偶性，所以B不正確.當(dāng)時(shí)，，即，所以C正確.當(dāng)若時(shí)，==.即成立，所以D正確.故選：ACD.本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，11．AC【分析】求得的解析式，畫出的圖象，由此判斷的值域，并求得不等式的解.【詳解】由函數(shù)，有，即，作出函數(shù)的圖像如下，根據(jù)函數(shù)圖像有的值域?yàn)椋訟選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.若不等式成立，由函數(shù)圖像有當(dāng)即時(shí)成立，當(dāng)即時(shí)也成立.所以不等式成立時(shí)，.所以C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.本小題主要考查分段函數(shù)圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.12．AD【分析】先由變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性，得到x，y的大小關(guān)系，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】由得，令，則，因?yàn)樵赗上都是增函數(shù)，所以在R上是增，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不成立，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樵赗上遞減，且，所以，即，故正確；故選：AD13．【分析】根據(jù)題意可得出所滿足的不等式組，進(jìn)而可解得原函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得，即，解得且.因此，函數(shù)的定義域是.故答案為.本題考查函數(shù)定義域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)可得，解方程即可得出答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以由可得：，解得：故答案為.15．2【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的定義，可以得到，因此本題可以看成函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，通過圖象可以判斷出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也就求出零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程的解的個(gè)數(shù)，也就是函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．畫出函數(shù)圖象如下圖所示：觀察可得函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，從而函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可采用數(shù)形結(jié)合的方法．16．由已知兩邊取常用對數(shù)，根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則化簡即可求值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，解得，?7．(1)(2)【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）解：∵，∴，又∵∴.（2）解：.18．【分析】應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡為，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)求值域.【詳解】.設(shè)，且，故，則且，圖象的對稱軸為，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴的值城為.19．（1）；（2）.【分析】（1）函數(shù)的對稱軸方程為，開口向上，則在上單調(diào)遞增，則可根據(jù)最值列出方程，可解得的值.(2)由題意只需，則只需要求出在上的最小值，然后運(yùn)用基本不等式求最值即可.【詳解】解：（1）開口方向向上，且對稱軸方程為，在上單調(diào)遞增.解得且.（2）在上恒成立所以只需.有（1）知當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立..本題考查二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.20．(1)(2)能，理由見詳解【分析】(1)根據(jù)所給的函數(shù)圖像先求出當(dāng)t∈(0,14]時(shí)的二次函數(shù)解析式，再由點(diǎn)，代入函數(shù)求出t∈[14,40]時(shí)的解析式，用分段函數(shù)表達(dá)即可.(2)對分段函數(shù)，分別解不等式，求出的取值范圍，然后取并集，再計(jì)算時(shí)間的長度，然后對老師能否經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時(shí)講完做出判斷.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，將點(diǎn)(14,81)代入得，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)代入，得.所以（2）當(dāng)時(shí)，，解得:，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，所以，綜上時(shí)學(xué)生聽課效果最佳.此時(shí).所以，教師能夠合理安排時(shí)間講完題目.故老師能經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時(shí)段講完.21．（1）為增函數(shù)，證明見解析；（2）.【分析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，先在區(qū)間上任取兩個(gè)自變量且，然后作差比較其函數(shù)值的大小關(guān)系，從而得到函數(shù)的單調(diào)性.(2)由為奇函數(shù)，則不等式可化為，即，結(jié)合（1）得到的單調(diào)性和定義域可解.【詳解】解：（1）為增函數(shù).證明：定義域?yàn)椋稳≡O(shè)即所以為增函數(shù).（2）由已知存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立由（1）可知只需存在實(shí)數(shù),使得，即成立即可令，易知在時(shí)單調(diào)遞增所以，所以.本題考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等知識，應(yīng)用單調(diào)性解不等式，考查不等式能成立問題，分離參數(shù)的思想，屬于難題.22．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)，即得；（2）根據(jù)題意，利用對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)關(guān)于的不等式組，求解即得；（3）先利用對數(shù)函數(shù)和分式函數(shù)的單調(diào)性知識，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)g(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)及圖象，進(jìn)而得到的圖象，將方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為則有兩個(gè)根，且一個(gè)在上，一個(gè)根為0；或有兩個(gè)根，且一個(gè)在上，一個(gè)在上.進(jìn)而利用二次方程根的分布思想分析討論確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)，∴.（2）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，∴在內(nèi)先減后增，且，∴，∴．（3）∵，∴，∴，∵g(x)在時(shí)單調(diào)遞增，且g=0,∴的圖象如下：

因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，由的圖象可得當(dāng)或時(shí)對于一個(gè)確定的的值，對應(yīng)一個(gè)的值，對于的每一個(gè)確定的的值，對應(yīng)兩個(gè)