2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高二上學(xué)期10月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat20頁2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高二上學(xué)期10月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為A． B． C． D．【答案】D【分析】求出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系，即可求解.【詳解】化為，直線的斜率為，傾斜角為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程一般式化為斜截式，求直線的斜率、傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間里面點(diǎn)關(guān)于面對稱的性質(zhì)即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：C.3．直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】求出圓心坐標(biāo)與半徑，再計(jì)算出圓心到直線的距離，即可判斷.【詳解】圓的圓心，半徑，又圓心到直線的距離，所以直線與圓相交.故選：A4．已知直線與平行，則（

）A．1 B． C．或 D．1或【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)直線與，兩直線重合，故舍去；當(dāng)時(shí)直線與平行，符合題意.故選：B5．已知向量，，，若，，共面，則（

）A．4 B．2 C．3 D．1【答案】D【分析】根據(jù)空間向量共面定理得到存在兩個(gè)實(shí)數(shù)、，使得，即可得到方程組，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，共面，所以存在兩個(gè)實(shí)數(shù)、，使得，即，即，解得．故選：D6．已知正方體的棱長為1，則點(diǎn)到平面的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以由題意可知，即，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中點(diǎn)到面的距離，等體積法求點(diǎn)到面的距離是最常用的一種做法，屬于基礎(chǔ)題型.7．若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線所過的定點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的切線性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】直線即，恒過定點(diǎn)，曲線即表示以點(diǎn)為圓心，半徑為1，且位于直線上方的半圓（包括點(diǎn)，），當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，直線記為；當(dāng)與半圓相切時(shí)，由，得，切線記為，分析可知當(dāng)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：B.8．已知平行六面體的所有棱長均為，，，分別為，的中點(diǎn)，則的長為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】以、、為基底表示出，再根據(jù)數(shù)據(jù)量的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槠叫辛骟w的所有棱長均為，，所以，依題意可得，所以，所以.故選：D二、多選題9．已知一平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】分別設(shè)點(diǎn)，，，第四個(gè)頂點(diǎn)為，再分、、三種情況討論，分別計(jì)算可得.【詳解】分別設(shè)點(diǎn)，，，第四個(gè)頂點(diǎn)為，若，即，則，解得，即；若，即，則，解得，即；若，即，則，解得，即；故選：ACD10．已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．直線與平面所成的角為【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計(jì)算可得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長為，則、、、、、，對于A：、，所以，即，所以直線與所成的角為，故A正確；對于B：，，所以，即，所以直線與所成的角為，故B正確；對于C：因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，設(shè)直線與平面所成的角為，則，又，所以，即直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；對于D：平面的法向量可以為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，又，所以，即直線與平面所成的角為，故D正確；故選：ABD11．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A．點(diǎn)到直線的距離最小值為6B．點(diǎn)到直線的距離最大值為8C．直線與圓相切時(shí)，的最小值為D．直線與圓相切時(shí)，的最大值為【答案】BC【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線的距離，即可判斷A、B，求出切線長最小值及此時(shí)的值，即可判斷C、D.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，又點(diǎn)在圓上，所以點(diǎn)到直線的距離最小值為，最大值為，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，的最小值為，故C正確；當(dāng)?shù)淖钚≈禃r(shí)，所以直線與圓相切時(shí)，的最大值小于，故D錯(cuò)誤；故選：BC12．有一長方體容器，長，寬，高分別為40cm，30cm，20cm，另有下列物體，物體Ⅰ：直徑為10cm的球；物體Ⅱ：底面直徑為20cm，高為40cm的圓柱；物體Ⅲ：底面為直角三角形（兩直角邊長分別為15cm和20cm），高為40cm的三棱柱.則能整體放入長方體容器的物體可以是（

）A．8個(gè)Ⅰ和1個(gè)Ⅱ B．16個(gè)Ⅰ和1個(gè)Ⅲ.C．1個(gè)Ⅱ和1個(gè)Ⅲ D．4個(gè)Ⅰ和3個(gè)Ⅲ.【答案】ABD【分析】根據(jù)各個(gè)圖形的特點(diǎn)及它們的長度，將立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即可求解.【詳解】因?yàn)閳A柱和三棱柱的高均為40cm，可將長方體容器的長40cm視為長方體的高，長為30cm，寬為20cm，只需看長方體的底面和圓柱、三棱柱以及球的截面即可.對于選項(xiàng)A,如圖1，先將圓柱放入長方體容器，因?yàn)榍虻闹睆綖?0cm，所以右邊最底層可以放入2個(gè)直徑為10cm的球，長方體的高度是40cm，則右邊可放球的個(gè)數(shù)為個(gè)，所以長方體容器可以放入8個(gè)Ⅰ和1個(gè)Ⅱ，故A正確；對于選項(xiàng)B,如圖2，先將三棱柱放入長方體容器，因?yàn)榍虻闹睆綖?0cm，三棱柱的底面是直角三角形，其內(nèi)切圓的直徑恰好是10cm,所以在三棱柱的底層可以放一個(gè)直徑為10cm的球，然后在如圖的長方形的其它區(qū)域還可以放入3個(gè)直徑為10cm的圓，所以長方體最底層可以放4個(gè)直徑為10cm的球，因?yàn)殚L方體的高度是40cm，則長方體容器可以放個(gè)球，所以長方體容器可以放入16個(gè)Ⅰ和1個(gè)Ⅲ，故B正確；對于選項(xiàng)C，如圖3，長方體能單獨(dú)放入圓柱或三棱柱，但是圓柱和三棱柱不能同時(shí)放入，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，如圖4，長方體的底面可以分成4個(gè)全等的兩直角邊長分別為15cm和20cm的直角三角形，即為三棱柱的底面，同時(shí)可以在每個(gè)直角三角形內(nèi)可以放入1個(gè)圓，則長方體容器可以放入個(gè)球，4個(gè)三棱柱，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．寫出過點(diǎn)且與圓相切的一條直線方程.【答案】或（寫出一條即可）【分析】設(shè)切線為，利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出的值，即可得解.【詳解】依題意切線的斜率存在，設(shè)斜率為，則切線為，即，則圓心到直線的距離，解得或，所以切線方程為或.故答案為：或（寫出一條即可）14．底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為．【答案】【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體的體積公式直接運(yùn)算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.15．直線被圓截得的最短弦長為.【答案】【分析】求出直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線被圓截得的最短弦長，從而求出最短弦長.【詳解】直線，即，令，解得，所以直線恒過點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，?dāng)時(shí)直線被圓截得的最短弦長，最短弦長為.故答案為：16．已知一塊直角梯形狀鐵皮，其中，，，.現(xiàn)欲截取一塊以為一底的梯形鐵皮，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，記梯形的面積為，剩余部分的面積為，則的最小值為.【答案】【分析】利用直角梯形的幾何性質(zhì)，求出，從而可得的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】作于G，則，

由題意知，則，而，；故，設(shè)，則，故，作于H，則，故，則，故，令，因?yàn)?，故，則，而在上遞增，故的最小值為，即的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合梯形的幾何性質(zhì)表示出相關(guān)線段長，求出梯形的面積表達(dá)式，即可求解答案.四、解答題17．已知兩條直線，.(1)若直線過點(diǎn)，證明：直線與垂直；(2)若直線，關(guān)于軸對稱，求，.【答案】(1)證明見解析(2)，【分析】（1）首先求出直線的方程，即可求出、，從而得證；（2）首先將直線方程化為斜截式，由直線，關(guān)于軸對稱，得到，解得即可.【詳解】（1）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，所以直線，即，又直線，即，所以，所以直線與垂直.（2）直線，，因?yàn)橹本€，關(guān)于軸對稱，所以，解得.18．如圖，在三棱臺中，，平面，，，，且D為中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線和直線所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證明方法，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，故，，即，又平面，故平面；（2）設(shè)直線和直線所成角為，因?yàn)?，而，所以，即直線和直線所成角的余弦值為.19．已知圓C的圓心在直線上，且該圓與x軸相切.(1)若圓C經(jīng)過點(diǎn)，求該圓的方程；(2)若圓C被直線截得的弦長為，求該圓的方程.【答案】(1)或；(2)或.【分析】（1）由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將圓過的點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得參數(shù)，即得答案.（2）求出圓心到直線的距離的表達(dá)式，利用圓心距、弦長、半徑之間的關(guān)系列式計(jì)算，求得參數(shù)，即可得答案.【詳解】（1）由圓C的圓心在直線上可設(shè)圓心為，由于該圓與x軸相切.，故圓的半徑，故可設(shè)圓的方程為，又圓C經(jīng)過點(diǎn)，故，即，解得或，所以圓的方程為或；（2）由（1）知圓的方程為，圓心到直線的距離為，圓C被直線截得的弦長為，故，即，解得，故圓的方程為或.20．如圖，已知直三棱柱的所有棱長均相等，點(diǎn)D在棱上，平面與棱相交于點(diǎn)E.(1)證明：；(2)若二面角的大小為，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先證明面，然后證明面面，從而即可證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合已知條件可以算出面、的法向量，由題意有，解方程可得，從而即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閹缀误w為直三棱柱，所以它的兩底面平行，即面面，又因?yàn)槊?，所以面，因?yàn)辄c(diǎn)D在棱上，平面與棱相交于點(diǎn)E，所以面，又注意到面，即面面，又面，面，所以.（2）過點(diǎn)作面，因?yàn)槊?，所以，因?yàn)槊?，且面，所以，即兩兩垂直，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：由題意直三棱柱的所有棱長均相等，不妨設(shè)所有棱長均為，所以為等邊三角形，即，又因?yàn)?，所以點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為，設(shè)，同理有，所以，所以，由題意可取面的一個(gè)法向量，不妨設(shè)面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，解得，即可取，由題意二面角的大小為，所以，整理得，又注意到，所以解得因此由，可知，綜上所述：若二面角的大小為，求.21．已知圓，直線l過點(diǎn)且與圓C相交A，B兩點(diǎn).(1)若為等腰直角三角形，求l的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的外接圓方程.【答案】(1)或.(2)【分析】（1）由題意可得圓心到直線l的距離為，考慮直線l的斜率存在和不存在，由點(diǎn)到直線的距離公式即可得出答案；（2）先求出直線l的方程，設(shè)的外接圓方程為：，將代入即可求出，即可求出的外接圓方程.【詳解】（1）將圓化簡為：，則圓心，，因?yàn)?，，所以，因此圓心到直線l的距離為：若直線l的斜率不存在，所以，圓心到直線的距離為，滿足題意；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l為：，即，即，解得：，所以直線l為：，綜上：l的方程為：或.（2）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，則直線l的方程為：，化簡為：，因?yàn)榈耐饨訄A過直線l與圓的交點(diǎn)，設(shè)其方程為：，因?yàn)閳A過點(diǎn)，代入可得，解得：，得，即，經(jīng)經(jīng)驗(yàn)，故所求的方程為：.22．在矩形中，、分別為、上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，，.將四邊形沿著翻折成四邊形（不在平面內(nèi)）.(1)若平面平面，求棱錐的體積；(2)求直線與平面所成角的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）在平面圖形中得