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文檔簡(jiǎn)介
第7章
非正弦周期電流電路7.1
非正弦周期量及其分解7.2
非正弦周期電流電路中的有效值、平均值和平均功率7.3
非正弦周期電流電路的計(jì)算目的與
要求1.了解常見(jiàn)的非正弦周期曲線及其分解2.掌握非正弦周期量有效值3.會(huì)對(duì)非正弦周期電路進(jìn)行分析與計(jì)算重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn):
1.非正弦周期量的有效值2.非正弦周期電路的
分析
計(jì)算難點(diǎn):
非正弦周期電路的分析
計(jì)算7.1
非正弦周期量及其分解(一)1、常見(jiàn)的非正弦周期曲線iuuOtOtOt(a)(b)(c)圖7.1幾種常見(jiàn)的非正弦波7.1
非正弦周期量及其分解(二)2.
設(shè)周期函數(shù)f(t)的周期為T(mén),角頻率ω=2π/T,
則其分解為傅里葉級(jí)數(shù)為f
(t)
A
A
sin(
t
)
A
sin(
2
t
)
01m12m2
A
sin(k
t
)
kmk
A
A
sin(k
t
)0kmkk
17.1
非正弦周期量及其分解(三)
f
A
(A
sin
cosk
t
A
cos
sink
t)(t)0kmkkmkk
1
a
(a
cosk
t
b
sink
t)0kkk
1a
a
b
,
tan
2k
2kAkkmkbka0
A0a
A
sin
kkmkb
A
cos
kkmk7.1
非正弦周期量及其分解(四)1T212
T2
0a0
ak
bk
f
(t)dt
f
(t)d(
t)01T2
f
(t)
cosk
t
dt
f
(t)sink
t
dt
f
(t)
cosk
t
d(
t)f
(t)sink
t
d(
t)T2
1
00T2
0T0例7.1(一)求圖7.2所示矩形波的傅里葉級(jí)數(shù)。f
(t)UmT2TOt-Um圖
7.2
例
7.1圖例7.1(二)解
圖示周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為T(mén)f
(t)
U
(0
t
)m2Tf
(t)
U
(
t
T)m2根據(jù)前述有關(guān)知識(shí)得12
12
2
a0
ak
bk
Umd(
t)
(
Um
)d(
t)
001
11
1
2
Umcosk
t
d(
t)
(
Um
)cosk
t
d(
t)
00
2Umk
2
Um
sin
k
t
d(
t)
(
Um
)
sin
k
t
d(
t)
(1
cosk
t)
0例7.1(三)4Umk
cosk
1,bk
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),cosk
1,bk
0.由此可知該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為4Um11f
(t)
(sin
t
sin
3
t
sin
5
t
)
35表
7.1
幾種周期函數(shù)(一)名稱(chēng)波形傅里葉級(jí)數(shù)有效值
平均值f
(t)正弦波Af
(t)
Am
sin
t2AmmAm
20T2T
t4Aa
f
(t)
(sinasin
tmf
(t)1
sin
3asin
3
t)4a3
a91
A
(1
)梯形波
Am
1AmT2m
sin
5asin
5
tT2510
a-aTt2
sinkasink
t
)k2(k為奇數(shù))表
7.1
幾種周期函數(shù)(二)名稱(chēng)波形傅里葉級(jí)數(shù)8A有效值
平均值f
(t)
(sin
t
mf
(t)
2AmA11msin
3
t
sin
5
t三角波Am925320T2T
tk
1(
1)2
sink
t2k(k為奇數(shù))
)f
(t)4Am
f
(t)
(sin
t
AAAm矩形波m11msin
3
t
sin
5
t
0T2T
t351
(
k
sink
)t
)為奇數(shù)k表
7.1
幾種周期函數(shù)(三)名稱(chēng)波形傅里葉級(jí)數(shù)2A
1
有效值
平均值f(t)
m
(
cos
t
2
4f
(t)Acos
4
t11半波整流波
cos
2
t
Amm1
315
73
5cos
6
t
Am
2
T40Ttk
cos2cosk
t
...)k2
1(k
2,4,6...)2A
11
f(t)
m
(
cos
2
tf
(t)
2
1
3A全波整流波2Am13
5
cos
4
t
mAm2
k
cosT40Tt2
cosk
t
...)k2
1(k
2,4,6...)表
7.1
幾種周期函數(shù)(四)名稱(chēng)波形傅里葉級(jí)數(shù)有效值
平均值A(chǔ)
Af
(t)
m
m2
f
(t)Am
A1(sin
t
sin
2
tAmm23
20T2Tt1
sin
3
t
...鋸齒波31
sink
t
...)k(k
1,2,3...)7.1
非正弦周期量及其分解(五)3.某些非正弦周期函數(shù)(1)周期函數(shù)為奇函數(shù)f(t)
f(
t)a
0,a
00k
f
(t)
b
sink
tkk
1不包括直流分量和余弦項(xiàng)7.1
非正弦周期量及其分解(六)(2)
周期函數(shù)為偶函數(shù)偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中bk=0,
所以偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦項(xiàng)。f(t)
f(
t)(3)奇諧波函數(shù)f
(t)T2TOt圖
7.3
奇諧波函數(shù)7.1
非正弦周期量及其分解(七)奇諧波函數(shù)只包括奇次諧波,不包括直流分量和偶次。
f
(t)
(a
cosk
t
b
sink
t)(k為奇數(shù))kkk
14Um11u(t)
Um
(sin
t
sin
3
t
sin
5
t
...)
357.1
非正弦周期量及其分解(八)u(t)u1(t)u2(t)2UmUmUmTOOT2tt-UOmtTT2(a)(b)(c)圖
7.4
波形的分解例7.2試把表7.1中振幅為50V、周期為0.02s的三角波電壓分解為傅里葉級(jí)數(shù)(取至五次諧波)。解
電壓基波的角頻率為2
2
100
rad
/
sT
0.028Um11u(t)
(sin
t
sin
3
t
sin
5
t)
291258
501
(sin
100
t
sin
300
t
sin
500
t)
2925
(40.5
sin
100
t
4.50
sin
300
t
1.62
sin
500
t)V7.2
非正弦周期電流電路中的有效值、
平均值和平均功率7.2.1
有效值(一)1T
I
i2(t)dtT0
i(t)
I
I
sin(k
t
)0kmkk
1
1T
I
[I
I
sin(k
t
)]
dt20kmkT0k
17.2.1
有效值(二)
1T
2
0I
sin
(k
t
)]dt
I2km2
2
I2k[Ik0T0k
1k
11T
2I
I
sin(k
t
)dt0
kmkT01T
2I
(k
t
)I
sin(q
t
)dt
(k
q)kmkqmqT0
...I
I2
I2
I2
I2
I2
...0k01kk
1
U
U2
U2
U2
U2
U2
......0k01kk
17.2.2
平均值(一)1.周期量的平均值:周期量絕對(duì)值的平均值1T
I
i(t)
dtavT0i(t)
Im
sin
t
時(shí),其平均值為當(dāng)12
2
I
Im
sin
td
tav01
2Im
I
sin
t
d
t
m
0
0.637Im
0.898I1T
U
u(t)dtavT07.2.2
平均值(二)2.對(duì)周期量,
有時(shí)還用波形因數(shù)K
、波頂因數(shù)K
和畸變fA因數(shù)Kj來(lái)反映其性質(zhì):I
K
f
I
K
1I
avj
II
K
m
AI
對(duì)上例的正弦量IK
1.11fIavImIKA
2
1.414IK
11jI7.2.3
平均功率(一)1T
P
p(t)dtT0
u(t)
U
U
sin(k
t
)0kmukk
1
u(t)
I
I
sin(k
t
)0kmikk
111TT
0P
p(t)dt
u(t)i(t)dtTT0
1T
[U
U
sin(k
t
)]
[I
I
sin(k
t
)]dt0kmuk0kmikT0k
1k
17.2.3
平均功率(二)1T
P
U
I
dt
U
I00
00
0T01T
P
U
sin(k
t
)I
sin(k
t
)dtkkmukkmikT01
U
I
cos(
)km
kmukik2
Uk
Ik
cos
k
P
P
U
I
cos
0k
kkk
17.2.3
平均功率(三)
Q
U
I
sin
k
kkk
1
S
UI
U02
U2k
I02
I2kk
1k
1等效正弦波替代原來(lái)的非正弦波。等效的條件是:
等效正弦量的有效值為非正弦量的有效值,等效正弦量的頻率為基波的頻率,平均功率不變。P
Pcos
UI
S例7.4(一)已知某電路的電壓、
電流分別為u(t)
[10
20(100
t
30
)
8
sin(300
t
30
)]Vi(t)
[3
6
sin(100
t
30
)
2
sin
500
t)]V求該電路的平均功率、
無(wú)功功率和視在功率。例7.4(二)解
平均功率為20
6P
[10
3
cos(
60
)]
6
0W2
2無(wú)功功率為20
6Q
[
sin(
60
)]
52
var2
2視在功率為2220
8
6
2
S
UI
10
(
)2
2
2
3
(
)2
2
2
98.1VA2
2
7.3
非正弦周期電流電路的計(jì)算1、
其分析電路的一般步驟如下:(1)將給定的非正弦激勵(lì)信號(hào)分解為傅里葉級(jí)數(shù),
并根據(jù)計(jì)算精度要求,取有限項(xiàng)高次諧波。(2)分別計(jì)算各次諧波單獨(dú)作用下電路的響應(yīng),
計(jì)算方法與直流電路及正弦交流電路的計(jì)算方法完全相同。對(duì)直流分量,
電感元件等于短路,
電容元件等于開(kāi)路。對(duì)各次諧波,電路成為正弦交流電路。(3)應(yīng)用疊加原理,
將各次諧波作用下的響應(yīng)解析式進(jìn)行疊加。例7.5(一)圖7.5(a)所示電路中,u(t)
10
100
2
sin
t
50
2
sin(3
t
30
)V,
L
2
,1/
C
15
,R
5
,R
10
,并且已知12求各支路電流及R1支路吸收的平均功率。例7.5(二)iI(0)I1(0)i1i2I2(0)+-R1R2+-R2u(t)U0R1CL(a)(b)i(1)i(3)i1(1)i2(1)i1(3)i2(3)+-R1R2+-R1R2u1(t)u3(t)CCLL圖
7.5
例
7.5圖(c)(d)例7.5(三)解:
(1)在直流分量U0=10V單獨(dú)作用下的等效電路如圖7.5(b)所示,這時(shí)電感相當(dāng)于短路,而電容相當(dāng)于開(kāi)路。各支路電流分別為U
10I
2A01(0)R
51I
02(0)I
I
2A(0)1(0)例7.5(四)u
(t)
100
2
sin
tV(2)在基波分量效電路如圖7.5(c)所示,用相量法計(jì)算如下:單獨(dú)作用下,
等1
U
100
0
V1
100
0
U1I
18.6
21.8
A
5.55
56.3
A1(1)R
j
L
5
j21
100
0
U1I
1(1)R
j
L
10
j151
I
I
I
(18.6
21.8
5.55
56.3
)
20.5
6.38
A1(1)1(1)2(1)例7.5(五)u
50
2
sin(3
t
30
)V(3)在三次諧波分量單獨(dú)作用,3XL(3)
3
L
6
下,
等效電路如圖7.5(d)所示。此時(shí),
感抗13
C
容抗。X
5
C(3)
U
50
30
V1
50
30
5
j6
U3I
6.4
20.19
A
4.47
56.57
A1(
3)R1
jXL(3)
50
30
10
j5
U3I
2(3)R2
jXC(3)
I
I
I
8.62
10.17
A(3)1(
3)2(3)例7.5(六)i(t)
I
i
i(0)(1)(3)
[2
20.5
2
sin(
t
6.38
)
8.62
2
sin(3
t
10.17
)]Ai
(t)
I
i
i11(0)1(1)1(
3)
[2
18.6
2
sin(
t
21.8
)
6.4
2
sin(3
t
20.19
)]Ai
(t)
I
i
i22(0)2(1)2(3)
[5.55
2
sin(
t
56.3
)
4.47
2
sin(3
t
56.57
)]A例7.5(七)
2
2
2
I
2
20.5
8.62
22.26A
2
2
2
I
2
18.6
6.4
19.72A1
2
2
I
5.55
4.47
7.12A3P
I
U
I
U
cos
I
U
cos
11(0)
01(1)
111(
3)
33
2
10
18.6
100
cos(
21.8
)
6.4
50
cos
50.19
20
1727
204.8
1951.8W例
7.6(一)圖7.6所示電路中,us
(10
50
2
sin
t
30
2
sin
3
t)V,已知
R=10Ω,
ωL=30Ω,ωL1=10Ω,1/ωC=90Ω。試求
i(t)、i1(t)、u(t)。RLi++ui1us(t)CL1--圖
7.6
例
7.6圖例
7.6(二)U0
0I
I
so
1A解
(1)對(duì)直流分量(2)在基波作用下U
10R
1001(0)
U
50
0
Vs11j
L(
j
)1
CZ1
R
j
L
1j
L1
j
C10
90j10
j90
10
j30
10
j30
j11
.25
42.44
76.37
例
7.6(三)
50
0
Us1I
1.178
76.37
A(1)Z1
42.44
7
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