廣東省2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)廣東省2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52．若向量，滿(mǎn)足，，，則（

）A． B．2 C．2 D．43．已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．4．為解決皮尺長(zhǎng)度不夠的問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)小組利用自行車(chē)來(lái)測(cè)量A，B兩點(diǎn)之間的直線距離.如下圖，先將自行車(chē)前輪置于點(diǎn)A，前輪上與點(diǎn)A接觸的地方標(biāo)記為點(diǎn)C，然后推著自行車(chē)沿AB直線前進(jìn)（車(chē)身始終保持與地面垂直），直到前輪與點(diǎn)B接觸.經(jīng)觀測(cè)，在前進(jìn)過(guò)程中，前輪上的標(biāo)記點(diǎn)C與地面接觸了10次，當(dāng)前輪與點(diǎn)B接觸時(shí)，標(biāo)記點(diǎn)C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點(diǎn)之間的距離約為（

）（參考數(shù)值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m5．從集合的非空子集中隨機(jī)選擇兩個(gè)不同的集合A，B，則的概率為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，，則圖象如圖的函數(shù)可能是(

)A． B． C． D．7．已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，當(dāng)最大時(shí)，的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題9．設(shè)，為不同的直線，，為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則10．中國(guó)正在從電影大國(guó)邁向電影強(qiáng)國(guó).下面是至年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中，國(guó)產(chǎn)影片（含合拍片）與進(jìn)口影片數(shù)量統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．至年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中，國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量占比不低于B．至年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中，國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量占比逐年提高C．至年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中，國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量的平均數(shù)大于進(jìn)口影片數(shù)量的平均數(shù)D．至年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中，國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量的方差等于進(jìn)口影片數(shù)量的方差11．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．為等比數(shù)列C．D．12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線C上存在n個(gè)點(diǎn)，，，（且）滿(mǎn)足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．時(shí)，B．時(shí)，的最小值為9C．時(shí)，D．時(shí)，的最小值為8三、填空題13．二項(xiàng)式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.14．如圖為四棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖（點(diǎn)，重合為點(diǎn)），其中，，是線段的中點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出四棱錐中一對(duì)一定相互垂直的異面直線：__________.（填上你認(rèn)為正確的一個(gè)結(jié)論即可，不必考慮所有可能的情形）15．如圖，已知扇形的半徑為，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.16．已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)A，B，則的最小值為_(kāi)_________.四、解答題17．在中，角的對(duì)邊分別為，下面給出有關(guān)的三個(gè)論斷：①；②；③.化簡(jiǎn)上述三個(gè)論斷，求出角的值或角的關(guān)系，并以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出所有可能的真命題.（不必證明）18．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于，的母線.(1)證明：平面DEF；(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.19．已知正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)和滿(mǎn)足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的表達(dá)式；(2)數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)，，，使得，，構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由.20．小王每天17：00—18：00都會(huì)參加一項(xiàng)自己喜歡的體育運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目有籃球、羽毛球、游泳三種.已知小王當(dāng)天參加的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目只與前一天參加的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目有關(guān)，在前一天參加某類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的情況下，當(dāng)天參加各類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率如下表：前一天當(dāng)天籃球羽毛球游泳籃球0.50.20.3羽毛球0.30.10.6游泳0.30.60.1(1)已知小王第一天打羽毛球，則他第三天做哪項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的可能性最大？(2)已知小王參加三種體育運(yùn)動(dòng)一小時(shí)的能量消耗如下表所示：運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目籃球羽毛球游泳能量消耗/卡500400600求小王從第一天打羽毛球開(kāi)始，前三天參加體育運(yùn)動(dòng)能量消耗總數(shù)的分布列和期望.21．已知，為的導(dǎo)函數(shù).(1)若對(duì)任意都有，求的取值范圍；(2)若，證明：對(duì)任意常數(shù)，存在唯一的，使得成立.22．已知橢圓，其右焦點(diǎn)為，點(diǎn)M在圓上但不在軸上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究周長(zhǎng)的取值范圍.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式即可得解.【詳解】解：，所以.故選：D.2．B【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】由題意可得.故選：B.3．C【解析】【分析】先由平方關(guān)系計(jì)算出，再由誘導(dǎo)公式得出答案.【詳解】由為銳角得，所以，.故選：C.4．D【解析】【分析】由題意，前輪轉(zhuǎn)動(dòng)了圈，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】解：由題意，前輪轉(zhuǎn)動(dòng)了圈，所以A，B兩點(diǎn)之間的距離約為，故選：D.5．A【解析】【分析】寫(xiě)出集合的非空子集，求出總選法，再根據(jù)，列舉出集合的所有情況，再根據(jù)古典概型公式即可得解.【詳解】解：集合的非空子集有共7個(gè)，從7個(gè)中選兩個(gè)不同的集合A，B，共有種選法，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則可為共3種，當(dāng)時(shí)，1種，同理當(dāng)時(shí)，則可為共3種，當(dāng)時(shí)，共1種，則符合的共有種，所以的概率為.故選：A.6．D【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的奇偶性和單調(diào)性即可判斷.【詳解】由圖可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，和為非奇非偶函數(shù)，故A、B不符；當(dāng)x＞0時(shí)，單調(diào)遞增，與圖像不符，故C不符；為奇函數(shù)，當(dāng)x→＋時(shí)，∵y＝的增長(zhǎng)速度快于y＝lnx的增長(zhǎng)速度，故＞0且單調(diào)遞減，故圖像應(yīng)該在x軸上方且無(wú)限靠近x軸，與圖像相符.故選：D.7．B【解析】【分析】由為等腰三角形,且，可得==2c，P點(diǎn)坐標(biāo)(2c，)，由點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線上，可得，可得e的值.【詳解】解：由題意可得雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)=2c.為等腰三角形,且，==2c，，可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（c+2ccos，2csin），即P(2c，)，點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線上，，可得，即e=2，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及應(yīng)用，得出P點(diǎn)坐標(biāo)(2c，)后得是解題的關(guān)鍵.8．B【解析】【分析】先令，兩邊取對(duì)數(shù)，再分析的最值即可求解.【詳解】令，兩邊取對(duì)數(shù)，有，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以時(shí)，取到最大值，從而有最大值，因此，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.而，因此，當(dāng)最大時(shí)，.故選：B9．BD【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)A：若，，則或與相交或與異面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：若，，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：若，，則或與相交，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：若，，，則，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.10．ACD【解析】【分析】根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖依次計(jì)算影片數(shù)量占比、平均數(shù)和方差即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，至年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中，每年的國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量均大于等于部，故國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量每年的占比都不低于，A正確；對(duì)于B，年國(guó)產(chǎn)影片占比為，年國(guó)產(chǎn)影片占比為，故國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量占比并非逐年提高，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，至年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中，國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量平均數(shù)為，進(jìn)口影片數(shù)量平均數(shù)為，C正確；對(duì)于D，至年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中，國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量的方差為；進(jìn)口影片數(shù)量的方差為，D正確.故選：ACD.11．AD【解析】【分析】利用遞推式可求得的值，可判斷A,B;將變?yōu)?，利用等比?shù)列的求和公式，求得結(jié)果，判斷C;將變?yōu)?，利用等比?shù)列的求和公式，求得結(jié)果，判斷D;【詳解】，則，又，同理，故A正確；而，故不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確，故選：AD12．BC【解析】【分析】以為拋物線通徑，求得的值，判斷A;當(dāng)時(shí),寫(xiě)出焦半徑的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，可判斷B;當(dāng)時(shí),求出的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的知識(shí)，可判斷C,D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不妨取過(guò)焦點(diǎn)垂直于x軸，不妨取，則，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不妨設(shè)在拋物線上逆時(shí)針排列，設(shè),則，則，故，令，則，令，則

，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，故，故當(dāng)，即時(shí)，取到最小值9，故B正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不妨設(shè)在拋物線上逆時(shí)針排列，設(shè),則，即，故，，所以，故C正確；由C的分析可知：，當(dāng)時(shí)，取到最小值16，即最小值為16，故D錯(cuò)誤；故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦半徑公式的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，涉及到拋物線的焦半徑的應(yīng)用，以利用導(dǎo)數(shù)求最值，和三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，難度較大.13．60【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0，求得答案.【詳解】由題意可得：，令，故常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：6014．和（和，和，和）（寫(xiě)出其中一對(duì)即可）【解析】【分析】如圖所示，連接和,相交于點(diǎn),連接,證明平面，即得解.【詳解】解：如圖所示，連接和,相交于點(diǎn),連接.因?yàn)?所以,所以,又,所以,所以,,所以.因?yàn)?所以.又因?yàn)槠矫?所以平面,又平面,所以.故答案為：和.15．【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系可求得，由此可求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由三角函數(shù)定義得：，，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.16．【解析】【分析】由題意，為A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，因此設(shè)出坐標(biāo)作差，再求最值即可.【詳解】與的交點(diǎn)為，函數(shù)所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，對(duì)于一個(gè)的值，有唯一的使，所以，有，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.所以，故.故答案為：17．論斷①：；論斷②：或；論斷③：；所有可能的真命題有：①③②和①②③.【解析】【分析】論斷①中，利用余弦定理可求得，進(jìn)而得到；論斷②中，利用正弦定理邊化角可得，進(jìn)而得到結(jié)論；論斷③中，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差公式、輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理得到，由此可得；由三角形內(nèi)角和可確定結(jié)果.【詳解】論斷①中，由余弦定理得：，，.論斷②中，，由正弦定理得：，，，或，論斷③中，由正弦定理得：，即，，即，，，，即，，即，又，，，解得：以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，所有可能的真命題有：①③②和①②③.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）證明，再證明，根據(jù)線面垂直的判定定理可證明結(jié)論；（2）先推出三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，由此再求二面角的余弦值；法一：通過(guò)證線面垂直可說(shuō)明是二面角的平面角，解直角即可求得答案；法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面DEF和平面BDF的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案.(1)證明：如右圖，連接AE，由題意知AB為的直徑，所以.因?yàn)锳D，EF是圓柱的母線，所以且,所以四邊形AEFD是平行四邊形.所以,所以.因?yàn)镋F是圓柱的母線，所以平面ABE,又因?yàn)槠矫鍭BE，所以.又因?yàn)?，DF，平面DEF，所以平面DEF.(2)由（1）知BE是三棱錐底面DEF上的高，由（1）知，，所以，即底面三角形DEF是直角三角形.設(shè)，，則,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大,下面求二面角的余弦值：法一：由（1）得平面DEF，因?yàn)槠矫鍰EF，所以.又因?yàn)?，，所以平面BEF.因?yàn)槠矫鍮EF，所以,所以是二面角的平面角,由（1）知為直角三角形，則.故,所以二面角的余弦值為.法二：由（1）知EA，EB，EF兩兩相互垂直，如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，EA，EB，EF所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則.由（1）知平面DEF，故平面DEF的法向量可取為.設(shè)平面BDF的法向量為，由，，得，即，即，取，得.設(shè)二面角的平面角為θ,則，由圖可知θ為銳角，所以二面角的余弦值為.19．(1)證明見(jiàn)解析，；(2)不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定遞推公式，結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”建立與的關(guān)系即可推理作答.（2）由（1）求出，利用反證法導(dǎo)出矛盾，推理作答.(1)依題意，正項(xiàng)數(shù)列中，，即，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，又，因此，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，即，所以.(2)不存在，當(dāng)時(shí)，，又，即，都有，則，假設(shè)存在滿(mǎn)足要求的連續(xù)三項(xiàng)，使得構(gòu)成等差數(shù)列，則，即，兩邊同時(shí)平方，得，即，整理得：，即，顯然不成立，因此假設(shè)是錯(cuò)誤的，所以數(shù)列中不存在滿(mǎn)足要求的連續(xù)三項(xiàng).20．(1)第三天打羽毛球的可能性最大(2)分布列見(jiàn)解析，期望為1428卡【解析】【分析】（1）根據(jù)小王第一天打羽毛球，可得到第二天分別參加哪項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率，由此在分別計(jì)算第三天參加各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的可概率，比較可得答案；（2）求出運(yùn)動(dòng)能量消耗總數(shù)的可能的取值，計(jì)算出每種可能對(duì)應(yīng)的概率，可得前三天參加體育運(yùn)動(dòng)能量消耗總數(shù)的分布列，根據(jù)期望的計(jì)算公式，求得期望.(1)用A，B，C分別表示籃球，羽毛球，游泳三種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，用，，分別表示第n天小王進(jìn)行A，B，C三種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率.因?yàn)樾⊥醯谝惶齑蛴鹈颍缘?天小王做三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率分別為，，.第3天小王做三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率分別為，，，所以小王第三天打羽毛球的可能性最大.(2)小王從第一天打羽毛球開(kāi)始，前三天的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目安排有：BAA，BAB，BAC，BBA，BBB、BBC、BCA，BCB、BCC共9種，運(yùn)動(dòng)能量消耗總數(shù)用X表示，有1200，1300，1400，1500，1600共5種可能，，，，，，所以小王從第一天打羽毛球開(kāi)始，前三天參加體育運(yùn)動(dòng)能量消耗總數(shù)X的分布列為X12001300140015001600P0.010.090.570.270.06能量消耗總數(shù)X的期望（卡）所以小王從第一天打羽毛球開(kāi)始，前三天參加體育運(yùn)動(dòng)能量消耗總數(shù)X的期望為1428卡.21．(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）通過(guò)分離變量的方式得到，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得的范圍；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，由解析式可確定在上單調(diào)遞減；結(jié)合（1）的結(jié)論知，進(jìn)而得到，，由零點(diǎn)存在定理可證得結(jié)論.(1)由得：，即；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即的取值范圍為.(2)設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，由，知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上至多有個(gè)零點(diǎn)，