高中數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性問題-（解析版）

專題13導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性問題【高考地位】在近幾年的高考中，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用是必考內(nèi)容，它以不但避開了初等函數(shù)變形的難點(diǎn)，定義法證明的繁雜，而且使解法程序化，優(yōu)化解題策略、簡化運(yùn)算，具有較強(qiáng)的工具性的作用.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用主要有兩方面的應(yīng)用：一是分析函數(shù)的單調(diào)性；二是已知函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.在高考中的各種題型中均有出現(xiàn)，其試題難度考查相對(duì)較大.【方法點(diǎn)評(píng)】類型一求已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間使用情景：已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性解題模板：第一步計(jì)算函數(shù)的定義域；第二步求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；第三步若，則為增函數(shù)；若，則為減函數(shù).例1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________．【答案】【解析】考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性．【點(diǎn)評(píng)】求已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是正確求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并正確計(jì)算和相應(yīng)的自變量的取值范圍.【變式演練1】若，，則有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：，，時(shí)，；在上是增函數(shù)，又，.故選C．學(xué)科網(wǎng)考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【變式演練2】函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間為．【答案】（0，）（可寫為）【解析】考點(diǎn)：1.函數(shù)的求導(dǎo)法則；2.利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；【變式演練3】設(shè)，則，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：令，則，所以函數(shù)為增函數(shù)，所以，所以，即，所以；又因?yàn)?，所以，故?yīng)選.考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用.【變式演練4】若，則的解集為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)的定義域?yàn)椋?所以的解集為,故選C．考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用.類型二求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間使用情景：函數(shù)的解析式中含有參數(shù)解題模板：第一步計(jì)算函數(shù)的定義域并求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；第二步討論參數(shù)的取值范圍，何時(shí)使得導(dǎo)函數(shù)按照給定的區(qū)間大于0或小于0；第三步求出不同情況下的極值點(diǎn)進(jìn)而判斷其單調(diào)區(qū)間.例2已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．（其中）.學(xué)科網(wǎng)【點(diǎn)評(píng)】解決含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是正確地討論與的大小關(guān)系，并正確地判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【變式演練5】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、不等式恒成立問題．【變式演練6】已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí),證明對(duì)于任意的成立.【答案】（1）當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)分類分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，令，．則，利用導(dǎo)數(shù)分別求與的最小值得到恒成立．由此可得對(duì)于任意的成立．試題解析：（1）的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí),時(shí),單調(diào)遞增,時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),.學(xué)科網(wǎng)①時(shí),,當(dāng)或時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.②時(shí),,在內(nèi),單調(diào)遞增.（2）證明:由（1）知時(shí),,設(shè),則,由,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào),又,設(shè),則在單調(diào)遞減,因?yàn)?使得時(shí),時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,由,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào),所以,即對(duì)于任意的成立.考點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)函數(shù)求閉區(qū)間上的最值；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【變式演練7】已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求證.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）利用兩直線平行,求出的值；（2）利用恒成立,轉(zhuǎn)化為求的最小值；（3）由函數(shù)的單調(diào)性,所以,代入化簡得證.（3）∵，∴，要證，即證令，由（2）知，在上是增函數(shù)，∴.故，即.考點(diǎn)：1.兩直線平行的條件；2.基本不等式；3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.【變式演練8】函數(shù)．討論的單調(diào)性．【答案】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【解析】考點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【變式演練9】已知函數(shù)，，其中a∈R.（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（Ⅰ）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增．（Ⅱ）a≥【解析】試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)并確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)：，即得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增（Ⅱ）g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，等價(jià)于g′（x）≥0恒成立，再利用變量分離法將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值：的最大值，最后利用基本不等式求最大值得正實(shí)數(shù)a的取值范圍.學(xué)科網(wǎng)試題解析：（1）由得定義域?yàn)椋?，＋∞），，當(dāng)a＝1時(shí)，，f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性【思路點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（1）函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y＝f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f′（x）＞0，則y＝f（x）在該區(qū)間為增函數(shù)；如果f′（x）＜0，則y＝f（x）在該區(qū)間為減函數(shù).（2）函數(shù)單調(diào)性問題包括：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常常通過求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為解方程或不等式，常用到分類討論思想；②利用單調(diào)性證明不等式或比較大小，常用構(gòu)造函數(shù)法.【高考再現(xiàn)】1.【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，(I)求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；【答案】（Ⅰ）詳見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：SKIPIF1<0，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否存在情況，分類討論：=1\*GB3①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0的單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0.=2\*GB3②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間試題解析：（Ⅰ）解：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0.（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0變化時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的變化情況如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋0－0＋SKIPIF1<0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【名師點(diǎn)睛】求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數(shù)時(shí)，可分類討論求得單調(diào)區(qū)間．學(xué)科網(wǎng)2.【2015高考湖南，文8】設(shè)函數(shù)，則是()A、奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)B、奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)C、偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)D、偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)【答案】A【解析】【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟：(1)求；(2)確認(rèn)在(a，b)內(nèi)的符號(hào)；(3)作出結(jié)論：時(shí)為增函數(shù)；時(shí)為減函數(shù)．研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，首先要明確函數(shù)定義域.3.【2015課標(biāo)2理12】設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0是奇函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則使得SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題．4.【2015高考安徽，文21】已知函數(shù)（Ⅰ）求的定義域，并討論的單調(diào)性；【答案】（Ⅰ）遞增區(qū)間是（-r,r）;遞減區(qū)間為（-∞，-r）和（r，+∞）；（Ⅱ）極大值為100；無極小值.【考點(diǎn)定位】本題主要考查了函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，以及求函數(shù)的極值等基礎(chǔ)知識(shí).【名師點(diǎn)睛】本題在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意，求導(dǎo)后的分子是一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一元二次式，在求和時(shí)要注意，本題主要考查考生對(duì)基本概念的掌握情況和基本運(yùn)算能力.5.【2015高考福建，文22】已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；【答案】(Ⅰ)；【解析】（I），．由得解得．故的單調(diào)遞增區(qū)間是．【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【名師點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)判斷或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過不等式或求解，但是要兼顧定義域；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式，注意與不等價(jià)，只是的特例，但是也可以利用它來證明，在2014年全國Ⅰ卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù)．學(xué)科網(wǎng)6.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．【答案】C【考點(diǎn)定位】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)．【名師點(diǎn)睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題．7.【2015高考江蘇，19】（本小題滿分16分）已知函數(shù).（1）試討論的單調(diào)性；【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性.【名師點(diǎn)晴】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：①確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；③把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；④確定f′(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．8.【2015高考天津，理20（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中.(I)討論的單調(diào)性；【答案】(I)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【解析】(I)由，可得，其中且，下面分兩種情況討論：(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.學(xué)科網(wǎng)9.【2015高考四川，理21】已知函數(shù)，其中.（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，評(píng)論的單調(diào)性；【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.【考點(diǎn)定位】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合，化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【名師點(diǎn)睛】本題作為壓軸題，難度系數(shù)應(yīng)在0.3以下.導(dǎo)數(shù)與微積分作為大學(xué)重要內(nèi)容，在中學(xué)要求學(xué)生掌握其基礎(chǔ)知識(shí)，在高考題中也必有體現(xiàn).一般地，只要掌握了課本知識(shí)，是完全可以解決第（1）題的，所以對(duì)難度最大的最后一個(gè)題，任何人都不能完全放棄，這里還有不少的分是志在必得的.解決函數(shù)題需要的一個(gè)重要數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合，聯(lián)系圖形大膽猜想.在本題中，結(jié)合待證結(jié)論，可以想象出的大致圖象，要使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有唯一解，則這個(gè)解應(yīng)為極小值點(diǎn)，且極小值為0，當(dāng)時(shí)，的圖象遞減；當(dāng)時(shí)，的圖象單調(diào)遞增，順著這個(gè)思想，便可找到解決方法.【反饋練習(xí)】1.【2015-2016年河北保定一中高二下第一次段考數(shù)學(xué)試卷，文5】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：,令得.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故B正確.學(xué)科網(wǎng)考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性.2.【2015-2016學(xué)年四川省達(dá)州市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)，試卷理3】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】C考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性．3.【2017屆新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)二中高三上月考二數(shù)學(xué)試卷，文10】若函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：，由函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)等價(jià)于，恒成立，即，得，解得，故選B．考點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）恒成立問題．4.【2016屆新疆烏魯木齊八一中學(xué)高三上學(xué)期月考一數(shù)學(xué)試卷，理8】是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)是增函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），與的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：令，則，∵函數(shù)是增函數(shù)，，即，故選D．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性5.【2016屆河南鄭州一中教育集團(tuán)高三押題二數(shù)學(xué)試卷，文12】定義在上的函數(shù)滿足：，，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為．【答案】【解析】考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．6.【2014-2015學(xué)年四川省達(dá)州市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷，理6】已知，