專題05 數(shù)學定理證明問題（解析版）

2023年中考不?？紳M分當成寶數(shù)學10個特色專題精煉（中等難度）專題05數(shù)學定理證明與應用問題1．定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．已知：如圖，∠ACD是△ABC的外角．求證：∠ACD＝∠A+∠B．證法1：如圖，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定義），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代換）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性質(zhì)）．證法2：如圖，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器測量所得）又∵135°＝76°+59°（計算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換）．下列說法正確的是（）A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整 B．證法1用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理 C．證法2用特殊到一般法證明了該定理 D．證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證，就能證明該定理【答案】B【解析】依據(jù)定理證明的一般步驟進行分析判斷即可得出結論．∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C，得出結論的正確，具有一般性，無需再證明其他形狀的三角形，∴A的說法不正確，不符合題意；∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C，得出結論的正確，∴B的說法正確，符合題意；∵定理的證明必須經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C，不能用特殊情形來說明，∴C的說法不正確，不符合題意；∵定理的證明必須經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C，與測量次解答數(shù)的多少無關，∴D的說法不正確，不符合題意；綜上，B的說法正確．故選：B．2．如圖，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．（1）若a＝6，b＝8，c＝12，請直接寫出∠A與∠B的和與∠C的大小關系；（2）求證：△ABC的內(nèi)角和等于180°；（3）若＝，求證：△ABC是直角三角形．【答案】見解析【解析】（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，∴∠A+∠B＜∠C；（2）如圖，過點A作MN∥BC，∵MN∥BC，∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（兩直線平行，同位角相等），∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定義），∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代換），即：三角形三個內(nèi)角的和等于180°；（3）∵＝，∴ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]，∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．3.勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1）后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有_______個；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，請判斷，，的關系并證明；（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形的邊長為定值，四個小正方形，，，的邊長分別為，，，，已知，則當變化時，回答下列問題：（結果可用含的式子表示）①_______；②與的關系為_______，與的關系為_______．【答案】（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為，斜邊為c，那么，（或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．）；②證明見解析；（2）①3，②結論；（3）①，②，．【解析】【分析】（1）①根據(jù)所學的知識，寫出勾股定理的內(nèi)容即可；②根據(jù)題意，利用面積相等的方法，即可證明勾股定理成立；（2）①根據(jù)題意，設直角三角形的三邊分別為a、b、c，利用面積相等的方法，分別求出面積的關系，即可得到答案；②利用三角形的面積加上兩個小半圓的面積，然后減去大半圓的面積，即可得到答案；（3）①由（1）（2）中的結論，結合勾股定理的應用可知，；②由，則，同理可得，利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案．【詳解】解：（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為，斜邊為c，那么．（或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．）②證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即，化簡．（2）①根據(jù)題意，則如下圖所示：在圖4中，直角三角形的邊長分別為a、b、c，則由勾股定理，得，∴；在圖5中，三個扇形的直徑分別為a、b、c，則，，，∴，∵，∴，∴；在圖6中，等邊三角形的邊長分別為a、b、c，則，，，∵，，∴，∴；∴滿足的有3個，故答案為：3；②結論；，；（3）①如圖9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，對應的邊長分別為a、b、c、d、e、f、m，則有由（1）（2）中的結論可知，面積的關系為：A+B=E，C+D=F，E+F=M，∴，，，∴故答案為：；②∵，∴，，由解直角三角形和正方形的性質(zhì)，則，，∴；同理：；；；∴，∴，∵，∴．故答案為：；．【點睛】考查求扇形的面積，解直角三角形，勾股定理的證明，以及正方形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握勾股定理的應用，注意歸納推理等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力、歸納總結能力，是中檔題．4．（1）閱讀理解我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；（2）問題解決勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，將它分成4份，所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；（3）拓展探究如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形．設大正方形N的邊長為定值n，小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d．已知∠1＝∠2＝∠3＝α，當角α（0°＜α＜90°）變化時，探究b與c的關系式，并寫出該關系式及解答過程（b與c的關系式用含n的式子表示）．【答案】見解析。【解析】（1）由題意得4△ADE的面積+正方形EFGH的面積＝正方形ABCD是面積，即4×ab+（b﹣a）2＝c2，整理即可；（2）設EF＝a，F(xiàn)D＝b，則a+b＝12①，再由題意得E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，則a﹣b＝5②，由①②求出a＝即可；（3）設正方形E的邊長為e，正方形F的邊長為f，證△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，得＝，＝，則e2＝cn，f2＝bn，再由勾股定理得：e2+f2＝n2，則cn+bn＝n2，即可得出結論．解：（1）a2+b2＝c2（直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方），證明如下：∵如圖①是由直角邊長分別為a，b的四個全等的直角三角形與中間一個邊長為（b﹣a）的小正方形拼成的一個邊長為c的大正方形，∴4△ADE的面積+正方形EFGH的面積＝正方形ABCD是面積，即4×ab+（b﹣a）2＝c2，整理得：a2+b2＝c2；（2）由題意得：正方形ACDE被分成4個全等的四邊形，設EF＝a，F(xiàn)D＝b，∴a+b＝12①，∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4個全等的四邊形和正方形CBLM拼成，∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，∵E'F'﹣KF'＝E'K，∴a﹣b＝5②，由①②得：，解得：a＝，∴EF＝；（3）c+b＝n，理由如下：如圖③所示：設正方形E的邊長為e，正方形F的邊長為f，∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，∴＝，＝，即＝，＝，∴e2＝cn，f2＝bn，在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e2+f2＝n2，∴cn+bn＝n2，∴c+b＝n．5.（2022北京）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°，已知：如圖，,求證：方法一證明：如圖，過點A作方法二證明：如圖，過點C作【答案】答案見解析【解析】選擇方法一，過點作，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到，，再根據(jù)平角的定義，即可得到三角形的內(nèi)角和為．證明：過點作，則，．兩直線平行，內(nèi)錯角相等）點，，在同一條直線上，．（平角的定義）．即三角形的內(nèi)角和為．【點睛】主要考查平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．6.（2022重慶）我們知道，矩形的面積等于這個矩形的長乘寬，小明想用其驗證一個底為a，高為h的三角形的面積公式為．想法是：以為邊作矩形，點A在邊上，再過點A作的垂線，將其轉化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來得到驗證．按以上思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)過點A作的垂線交于點D．（只保留作圖痕跡）在和中，∵，∴．∵，∴______①____．∵，∴______②_____．又∵____③______．∴（）．同理可得：_____④______．．【答案】圖見解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE【解析】根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可，利用垂直的定義