專題02 黃金分割問題（解析版）

2023年中考不?？紳M分當(dāng)成寶數(shù)學(xué)10個(gè)特色專題精煉（中等難度）專題02黃金分割問題1.（2022湖南衡陽）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)雕像的下部高為xm，由黃金分割的定義得求解即可．設(shè)雕像的下部高為xm，則上部長為（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雷鋒雕像為2m，∴∴，即該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是1.24m．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．2.如圖①，AB＝2，點(diǎn)C在線段AB上，且滿足＝。如圖②，以圖①中的AC，BC長為邊建構(gòu)矩形ACBF，以CB長為邊建構(gòu)正方形CBDE，則矩形AEDF的面積為（）A．14﹣6 B．4﹣8 C．10﹣22 D．10﹣20【答案】C【解析】由＝得，AC＝＝＝﹣1，BC＝＝＝3﹣，因?yàn)镃BDE為正方形，所以EC＝BC，AE＝AC﹣CE＝AC﹣BC＝（﹣1）﹣（3﹣）＝2﹣4，矩形AEDF的面積：AE?DE＝（2﹣4）×（3﹣）＝10﹣22．故選：C．3.生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0．618，可以增加視覺美感，若圖中為2米，則約為（）A.1．24米 B.1．38米 C.1．42米 D.1．62米【答案】A【解析】根據(jù)a:b≈0.618，且b=2即可求解．由題意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割比的定義，根據(jù)題中所給信息即可求解，本題屬于基礎(chǔ)題．4.勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉，生活中到處可見黃金分割的美．如圖，點(diǎn)C將線段AB分成AC、CB兩部分，且AC＞BC，如果，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．若C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝2，則分割后較短線段長為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念得：AC＝AB＝×2＝﹣1，∴BC＝AB﹣AC＝3﹣；故選：B．5.（2022陜西）在20世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點(diǎn)，即．已知為2米，則線段的長為______米．【答案】或者【解析】根據(jù)點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，可得，代入數(shù)值得出答案．∵點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，∴．∵AB=2米，∴米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用，掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．6.如圖，已知舞臺(tái)AB長10米，如果報(bào)幕員從點(diǎn)A出發(fā)站到舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)P處，且AP＜BP，那么報(bào)幕員應(yīng)走米報(bào)幕．【答案】（15﹣5）．【解析】∵點(diǎn)P為AB的黃金分割點(diǎn)，AP＜BP，∴PB＝AB＝×10＝5﹣5（米），∴AP＝AB﹣PB＝10﹣（5﹣5）＝15﹣5（米），故答案為（15﹣5）．12.已知，AB＝4，P是AB黃金分割點(diǎn)，PA＞PB，則PA的長為﹣．【答案】．【解析】∵P是AB黃金分割點(diǎn)，PA＞PB，∴PA＝AB＝2﹣2．故答案為：．7.（2022四川達(dá)州）人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)，，記，，…，，則_______．【答案】5050【解析】利用分式的加減法則分別可求S1=1，S2=2，S100=100，???，利用規(guī)律求解即可．，，，，，…，故答案為：5050【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運(yùn)算，求得，找出的規(guī)律是本題的關(guān)鍵．8.（2022湖南婁底）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實(shí)物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計(jì)算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，即．延長與相交于點(diǎn)，則________.（精確到0.001）【答案】0.618【解析】設(shè)每個(gè)矩形的長為x，寬為y，則DE＝AD－AE＝x－y，四邊形EFGM是矩形，則EG＝MF＝y(tǒng)，由得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，進(jìn)一步求得，即可得到答案．【詳解】如圖，設(shè)每個(gè)矩形的長為x，寬為y，則DE＝AD－AE＝x－y，由題意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，∴四邊形EFGM是矩形，∴EG＝MF＝y(tǒng)，∵，∴x－y≈0.618x，解得y≈0.382x，∴，∴EG≈0.618DE．故答案為：0.618．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、分式的化簡、等式的基本性質(zhì)、二元一次方程等知識，求得y≈0.382x是解題的關(guān)鍵．9．（2021湖北黃岡）人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的0.618法就應(yīng)用了黃金分割數(shù)．設(shè)a＝，b＝得ab＝1，記S1＝，S2＝，…，S10＝，則S1+S2+…+S10＝．【答案】10【解析】利用分式的加減法則分別可求S1＝1，S2＝1，S10＝1，即可求解．∵S1＝＝＝1，S3＝＝＝1，…，S10＝＝＝3，∴S1+S2+…+S10＝4+1+…+1＝10．10.以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF＝PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上，如圖所示，（1）求AM，DM的長，（2）試說明AM2=AD·DM（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？【答案】見解析?！窘馕觥浚?）∵正方形ABCD的邊長是2，P是AB中點(diǎn)，∴AD＝AB＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，∴PD＝?！逷F＝PD，∴AF＝在正方形ABCD中，AM＝AF＝，MD＝AD－AM＝3－（2）由（1）得AD×DM＝2（3－）＝6－2，∴AM2=AD·DM．（3）如圖中的M點(diǎn)是線段AD的黃金分割點(diǎn)．11．（1）對于實(shí)數(shù)、，定義運(yùn)算“”如下：．若，求:的值；（2）已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＜BC），若AB＝4，求AC的長．【答案】（1）;（2）6.【解析】（1）先根據(jù)新定義及得到代數(shù)式x2+x=5，再化簡，把x2+x=5整體代入即可求解.(2)根據(jù)黃金比值是計(jì)算即可．【詳解】（1）∵即化簡得x2+x=5∴=-x2-x+4=-5+4=-1（2）∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＜BC，∴BC＝AB=2()cm,則AC＝4?2（）＝6.【總結(jié)升華】本題考查的是新定義運(yùn)算及黃金分割，解題的關(guān)鍵是熟知整式的乘除與黃金分割的性質(zhì).12.黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值．如圖1，我們已經(jīng)學(xué)過，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．如圖2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；（2）求出線段AD的長．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）證明：∵AB＝AC＝1，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴DA＝DB，BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC＝CD：BC，即BC2＝CD?AC，∴AD2＝CD?AC，∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；（2）解：設(shè)AD＝x，則CD＝AC﹣AD＝1﹣x，∵AD2＝CD?AC，∴x2＝1﹣x，解得x1＝，x2＝，即AD的長為．13.兩千多年前，古希數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約公元前400年一公元前347年）發(fā)現(xiàn)；將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短線段與長線段的長度之比等于長線段的長度與全長之比，即，則點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，且AD＜CD，AB＝CD．（1）求證：∠ABC＝∠ADB；（2）若BC＝4cm，求BD的長．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）證明：∵點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，且AD＜CD，∴AD：CD＝CD：AC，∵AB＝CD，∴AD：AB＝AB：AC，而∠DAB＝∠BAC，∴△ABD∽△ACB，∴∠ADB＝∠ABC；（2）∵△ABD∽△ACB，∴＝，而AB＝CD，∴＝，∵點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，且AD＜CD，∴CD＝AC，∴＝，∴BD＝（2﹣2）cm．14.如圖1，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果AC＝AB，則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金“右割“點(diǎn)，根據(jù)圖形不難發(fā)現(xiàn)，線段AB上另有一點(diǎn)D把線段AB分成兩條線段AD和BD，若BD＝AB，則稱點(diǎn)D是線段AB的黃金“左割”點(diǎn)．請根據(jù)以上材科．回答下列問題（1）如圖2，若AB＝8，點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是線段AB的黃金“右割”點(diǎn)、黃金“左割”點(diǎn)，則BC＝，DC＝．（2）若數(shù)軸上有M，P，Q，N四個(gè)點(diǎn)，它們分別對應(yīng)的實(shí)數(shù)為m，p，q，n，且m＜p＜q＜n，n＝3|m|，點(diǎn)Q和點(diǎn)P分別是線段MN的黃金“右割”點(diǎn)、黃金“左割”點(diǎn)，求的值．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）∵點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是線段AB的黃金“右割”點(diǎn)、黃金“左割”點(diǎn)，∴AC＝BD＝AB＝×8＝4﹣4，∴BC＝8﹣（4﹣4）