專題6.3 相似三角形的應用（重點題專項講練）（蘇科版）（解析版）

專題6.3相似三角形的應用【典例1】如圖，身高1.5米的李強站在A處，路燈底部O到A的距離為20米，此時李強的影長AD=5米，李強沿AO所在直線行走12米到達B處．（1）請在圖中畫出表示路燈高的線段和李強在B處時影長的線段；（2）請求出路燈的高度和李強在B處的影長．【思路點撥】（1）利用中心投影的性質畫出圖形即可；（2）設HO=x米，由證得△AED∽△OHD得ADDO=AEHO求出HO的值，再證明【解題過程】解：（1）如圖HO，BC即為所求（2）由題意知：BF=AE=1.5米，OA=20米，AB=12米，∴BO=OA-AB=20-12=8米設HO=x米∵∠HOA=∠EAD=90°又∵∠D=∠D∴△AED∽△OHD∴ADDO即1.5x解得，x=7.5∵∠FBC=∠HOD=90°又∵∠FCB=∠FCO∴△FBC∽△HOC

∴BC即BC8+BC解得BC=2答：路燈高度為7.5米，BC長2米1．（2022·浙江紹興·模擬預測）如圖，身高1.2m的小淇晚上在路燈（AH）下散步，DE為他到達D處時的影子．繼續(xù)向前走8m到達點N，影子為FN．若測得EF＝10m，則路燈AH的高度為（

）A．6m B．7m C．8m D．9m【思路點撥】設DE=xm，DH=ym，則FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，根據(jù)相似三角形的性質列方程即可得到結論．【解題過程】解∶∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，∴CD∥∴△CDE～△AHE，△MNF～△AHF，∴CDAH=DE設DE=xm，DH=ym，則FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，∴1.2AH=x∴y=4x，∴DEEH∴1.2AH∴AH=6，故路燈AH的高度為6m．故選：A．2．（2022·河北·石家莊二十三中九年級階段練習）如圖，花叢中有一路燈桿AB．在燈光下，小明在D點處的影長DE＝3米，沿BD方向行走到達G點，DG＝5米，這時小明的影長GH＝5米．如果小明的身高為1.7米，則路燈桿AB的高度（精確到1米）為（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【思路點撥】由CD∥AB及FG∥AB，分別得△EDC∽△EBA及△HGF∽△HBA，根據(jù)相似三角形的性質得關于AB、BD的方程組，解得BD，AB即可．【解題過程】解：∵DC∥AB，∴△EDC∽△EBA，∴CDAB＝EDBE，即1.7AB＝∵FG∥AB，∴△HGF∽△HBA，∴HGHB＝FGAB，即1.7AB＝①﹣②得33+BD＝55+5+BD，解得BD＝∴1.7AB＝3∴AB＝5.95≈6（米）．即路燈桿AB的高度（精確到1米）為6m．故選：B．3．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學三模）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm），則從閉合到打開B，D之間的距離減少了（）A．25mm B．20mm C．15mm D．8mm【思路點撥】連接圖2、圖3中的BD，圖2中證明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性質求得BD，在圖3中證明四邊形EFDB是矩形，求得BD，進而作差即可求解．【解題過程】解：如圖2，連接BD，∵AE=CF=28，BE=DF=35

，∴AEAB=AFAD=28∴△AEF∽△ABD，∴BDEF=ABAE∴BD20=94如圖3，連接BD，∵BE∥DF，BE=DF，∴四邊形EFDB是平行四邊形，∵∠BEF=90°，∴四邊形EFDB是矩形，則BD=EF=20，∴從閉合到打開B，D之間的距離減少了45-20=25（mm），故選：A．4．（2022·全國·九年級專題練習）有一等腰三角形紙片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相關數(shù)據(jù)如圖所示，則得到的甲、乙、丙、丁四張紙片中，面積最大的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【思路點撥】根據(jù)相似三角形的性質求得甲的面積和丙的面積，進一步求得乙和丁的面積，比較即可求得．【解題過程】解：如圖：∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝CD＝5+2＝7，∵AD＝2+1＝3，∴S△ABD＝S△ACD＝12×7×3∵EF∥AD，∴△EBF∽△ABD，∴S甲S△ABD＝（57）∴S甲＝7514∴S乙＝212同理S丙SΔACD＝（23）∴S丙＝143∴S?。?12﹣143＝∵356∴面積最大的是丁，故選：D．5．（2022·江蘇無錫·九年級期中）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AC長為1cm，面積為1cm2，甲、乙兩人分別按圖①、②把它加工成一個正方形桌面，則①、②中正方形的面積較大的是(A．① B．② C．一樣大 D．無法判斷【思路點撥】分別利用平行線分線段成比例及相似三角形的判定及性質求出兩個正方形的邊長，然后利用正方形的面積公式求出面積，然后進行比較即可．【解題過程】解：由AC長為1cm，△ABC的面積為1cm2，可得如圖①，設加工桌面的邊長為xcm，∵DE//∴DEBC即x2解得：x=2如圖②，設加工桌面的邊長為ycm，過點C作CM⊥AB，分別交DE、AB于點N、M，∵AC=1cm，BC=2cm，∴AB=A∵△ABC的面積為1cm∴CM=2∵DE//∴△CDE∽△CAB，∴DEAB即y5解得：y=2∵x2=∴x即S1故選：A．6．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，大樓ABCD（可以看作不透明的長方體）的四周都是空曠的水平地面．地面上有甲、乙兩人，他們現(xiàn)在分別位于點M和點N處，M、N均在AD的中垂線上，且M、N到大樓的距離分別為60米和203米，又已知AB長40米，AD長120米，由于大樓遮擋著，所以乙不能看到甲．若乙沿著大樓的外面地帶行走，直到看到甲（甲保持不動），則他行走的最短距離長為________【思路點撥】據(jù)已知首先得出DH=HP=x米，NO=（203+40-x）米，PO=（60+x）米，再利用平行線分線段成比例定理和三角形面積求出即可．【解題過程】解：連接MD并延長，連接NC并延長，使其兩延長線相交于點P，作PO⊥MN于O，作CG⊥MP于G，根據(jù)題意可得出：ME=60，DE=HO=FC=60米，F(xiàn)N=203米，EF=40，∴NC=FN2=403米，設EO=x米，∴DH=x米，∵ME=DE=60米，∴∠MDE=45°，∴DH=HP=x米，NO=(203+40?x)米，PO=(60+x)米，∵FC∥PO，∴FNNO=∴x203解得：x=60?203，∴PO=(120?203)米，NO=(403?20)米，12CD?HP=12DP?12×40×(120?203?60)=12×2[203+40?(403?20)]?CG=202米，∴行走的最短距離長為：NC+CG=(403+202)米．故答案為403+202.7．（2022·全國·九年級專題練習）圖1是一種手機托架，使用該手機托架示意圖如圖3所示，底部放置手機處寬AB1.2厘米，托架斜面長BD6厘米，它有C到F共4個檔位調節(jié)角度，相鄰兩個檔位間的距離為0.8厘米，檔位C到B的距離為2.4厘米．將某型號手機置于托架上（圖2)，手機屏幕長AG是15厘米，O是支點且OBOE2.5厘米（支架的厚度忽略不計）．當支架調到E檔時，點G離水平面的距離GH為__________cm．【思路點撥】如圖3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．解直角三角形求出BK，OK，利用相似三角形的性質求出DT，BT，AD，即可求出GH的長．【解題過程】解：如圖3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．∵OB=OE=2.5cm，BE=2.4+0.8×2=4(cm)，OK⊥BE，∴BK=KE=2(cm)，∴OK=OB2∵∠OBK=∠DBT，∠OKB=∠BTD=90°，∴△BKO∽△BTD，∴BKBT∴2BT∴BT=4.8(cm)，DT=3.6(cm)，AT=1.2+4.8=6(cm)，∴AD=AT2+∵DT∥GH，∴△ATD∽△AHG，∴DTGH∴3.6GH∴GH=4534故答案為：45348．（2022·浙江金華·一模）將一本高為17cm（即EF=17cm）的詞典放入高（AB）為16cm的收納盒中（如圖1）．恰好能蓋上盒蓋時，測得底部F離收納盒最左端B處8cm，若此時將詞典無滑動向右倒，書角H的對應點H'恰為CD（1）收納盒的長BC=_______；（2）現(xiàn)將若干本同樣的詞典放入此有蓋的收納盒中，如圖2放置，則最多有________本書可與邊BC有公共點．【思路點撥】（1）由圖知BC=BF+FG'+G'C，已知BF=8，根據(jù)ΔHAE∽Δ（2）延長HF交BC于G'，如圖2所示，由（1）知在RtΔAHE中，HA=根據(jù)ΔHAE∽ΔFGG'，得到FG'【解題過程】解：（1）如圖所示：在RtΔBEF中，∠B=90°，EF=17，BF=8，則BE=∵AB=16，∴AE=AB-BE=16-15=1，連接AH，如圖所示：∵恰好能蓋上盒蓋，∴AH⊥AB，∵詞典是長方體，∴∠HEF=90°，即∠HEA+∠BEF=90°，在RtΔBEF中，∠BFE+∠BEF=90°∴∠HEA=∠BFE，∴Δ∴HEAE=EFBF∵將詞典無滑動向右倒，∴FG∵書角H的對應點H'恰為CD中點，∴H在RtΔG'CH'中，∠C=90°，G∴BC=BF+FG∴收納盒的長BC=2518故答案為：2518（2）延長HF交BC于G'，如圖2所示：由（1）知FG=HE=17∵∠BFE+∠GFG'=90°由（1）知∠HEA=∠BFE∴∠GFG∴Δ∴F由（1）知在RtΔAHE中，∠A=90°，HE=178，AE=1∴FG'由（1）知FC=251∵171∴最多有7本書可與邊BC有公共點．9．（2022·浙江杭州·九年級專題練習）如圖，某種吊車由固定機架和三根連桿組成．已知連桿AB=12米，CD=10米，CE=9米，其支點A，D的距離為5米，支點B，C的距離為3米，點A，D到地面l的垂直高度分別為4米和8米．當EC和CD共線時（如圖1），點E到地面l的距離為__________米；改變連桿之間的夾角使CE與l平行（如圖2），此時點E到地面l的高度為___________米．【思路點撥】（1）過A點作l2//l，過點D作DG⊥l，交l2于點F，作EN⊥l，交l2，l3于M、N，作l2⊥l交l2于Q點；證明△ABD為直角三角形，利用△ADF∽△BAP，求出EH=304（2）過A作l4//l，過D作l4的垂線交l4于點F，交EC的延長線于G，作BH⊥l4于H，設DG=x，則BH=GF=4+x，在Rt△CDG中，CG2=100-x2，在Rt△CDG中，AH2=144-（4+【解題過程】解：（1）過A點作l2//l，過點D作DG⊥l，交l2于點F，作EN⊥l，交l2，l3于M、N，作l2⊥l交l2由題：AD=5，DF=4，AF=3,在△ABD中，AB=12，AD=5，BD=13，∴△ABD為直角三角形，∠BAD=90°，則∠DAF=∠ABP，∠DFA=∠APB=90°，∴△ADF∽△BAP，∴BP∴BP=365，∴PQ=FP=485+3=∵∠BDQ=∠EDH，∠BQD=∠EHD，∴△DBQ∽△DEH，而DE=CD+CE=10+9=19,則EHBQ=DH∴EH=19又由題意得：HN=8,∴EN=EH+HN=8+30465∴E到l的距離為82465（2）過A作l4//l，過D作l4的垂線交l4于點F，交EC的延長線于G，作BH由上得：AF=3，DF=4，四邊形BHFG為矩形，∵BC=3，∴BC=AF，∴CG=HA，設DG=x，則BH=GF=4+x，在Rt△CDG中，CG2=100-x2在Rt△CDG中，AH2=144-（4+x）2∴100-x2=144-（4+x）2解得x=72∴G到l的距離為4+4+72=2310．（2022·浙江·翠苑中學九年級期中）如圖，陽光下，小亮的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段BC所示，線段DE表示旗桿的高，線段FG表示一堵高墻(1)請你在圖中畫出旗桿在同一時刻陽光照射下形成的影子的示意圖；(2)如果小亮的身高AB=1.5m，他的影子BC=2.4m，旗桿的高DE=15m【思路點撥】（1）連接AC，過D點作AC的平行線即可；（2）過M作MN⊥DE于N，利用相似三角形列出比例式求出旗桿的高度即可．【解題過程】（1）解：如圖：線段MG和GE就表示旗桿在陽光下形成的影子．（2）過M作MN⊥DE于N，設旗桿的影子落在墻上的長度為x，由題意得：△DMN∽∴DNMN又∵AB=1.5m，BC=2.4DN=DE-NE=15-x，MN=EG=16∴15-x16解得：x=5，答：旗桿的影子落在墻上的長度為5米．11．（2022·河南·泌陽縣光亞學校九年級階段練習）延時課上，老師布置任務如下：讓王林（AB）站在B點處去觀測10m外的位于D點處的一棵大樹（CD），所用工具為一個平面鏡P和必要的長度測量工具（B、P、D在一直線上）．已知王林身高1.6m，大樹高6.4m【思路點撥】由AB⊥AD，CD⊥BD，得∠ABP=∠CDP=90°，從而得【解題過程】解：∵AB⊥AD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∵∠APB=∠CPD，∴△APB∽△CPD，∴ABCD∵AB=1.6m∴PBPD∵PB+PD=10，∴PB=2m∴平面鏡P放在王林前2m處，或大樹前8m處.12．（2022·遼寧·沈陽市第二十三中學九年級期中）如圖，在水平桌面上的兩個“E”，當點P1,P2,O在一條直線上時，在點O處用①號“E”（大“E”）測得的視力與用②號“E”(1)△P1D(2)圖中b1,b(3)若b1=3.2cm,b2=2cm，①號“E”的測量距離l1=8m，要使得測得的視力相同，則【思路點撥】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理進行判定；（2）根據(jù)相似三角形的對應邊成比例解答；（3）根據(jù)相似三角形的對應邊成比例代入數(shù)據(jù)進行計算．【解題過程】（1）解：相似，理由如下：如圖，連接P1D1根據(jù)題意得：P1D1∴P1∴△P（2）解：∵△∴OD1O故答案為：b（3）解：∵b1b2=l1∴3.22=8故答案為：513．（2022·陜西·西安市西航一中九年級期中）如圖，小明欲測量一座古塔的高度，他拿出一根桿CD豎直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通過桿的頂端C剛好看到塔頂A，若小明的眼睛E離地面1.5米，桿頂端C離地面2.4米，小明到桿的距離DF=2米，桿到塔底的距離DB=32米，E、C、H在同一直線上且EH⊥AB于H，交CD于點G，求這座古塔的高度.【思路點撥】根據(jù)題意即可求出EG、GH和CG，再證出【解題過程】解：∵小明、桿、古塔均與地面垂直，EH⊥AB，∴四邊形EFDG，∴BH=DG=EF=1.5m

EG=DF=2∵小明眼睛離地面1.5m，桿頂端離地面2.4∴CG=CD-EF=2.4-1.5=0.9m∵CD∥∴ΔEGC～Δ∴EGEH=即22+32解得：AH=15.3m∴AB=AH+BH=15.3+1.5=16.8m答：古塔的高度是16.8m14．（2022·陜西·西安工業(yè)大學附中九年級期中）為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學的數(shù)學知識計算該橋AF的長．如圖，該橋兩側河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標作為點A，再在河岸的這一邊選出點B和點C，分別在AB、AC的延長線上取點D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測量，BC＝120米，DE＝210米，且點E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點F，請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計算橋AF的長度．【思路點撥】過E作EG⊥BC于G，依據(jù)△ABC∽△ADE，即可得出ACEC=43，依據(jù)△ACF∽△ECG，即可得到【解題過程】解：如圖所示，過E作EG⊥BC于G，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴ACAE＝BCDE∴ACEC∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AF∥EG，∴△ACF∽△ECG，∴AFEG=AC解得AF=80，∴橋AF的長度為80米．15．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)南海實驗中學九年級期中）九年級二班的興趣小組想去測量學校升旗桿的高度，如圖所示，小逸同學眼睛A與標桿頂點F、升旗桿頂端E在同一直線上，已知小逸眼睛距地面AB的長為1.7m，標桿FC的長為3.2m，測得BC的長為2m，CD的長為4【思路點撥】過A點作AH⊥ED交ED于H，交FC于G，易證四邊形ABCG、四邊形GCDH是矩形，可求出AG=2m，AH=6m，F(xiàn)G=1.5m，然后證明△AFG【解題過程】解：過A點作AH⊥ED交ED于H，交FC于G，由題意可得：FC⊥BD，ED⊥BD，∴FC∥∴AH⊥FC，∴∠ABC=∠BCG=∠CGA=90°，∠HGC=∠GCD=∠CDH=90°，∴四邊形ABCG、四邊形GCDH是矩形，∴AB=GC=HD=1.7m，BC=AG=2m，∴FG=FC-GC=3.2-1.7=1.5m，AH=AG+GH=2+4=6∵FC∥∴△AFG∽∴AGAH=FG∴EH=4.5，∴ED=EH+HD=4.5+1.7=6.2m答：升旗桿的高ED為6.2m16．（2022·山西省運城市運康中學校九年級階段練習）小明想用鏡子測量一棵松樹AB的高度，但因樹旁有一條河，不能測量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，如圖所示，第一次他把鏡子放在C點，人在F點時正好在鏡子中看到樹尖A的像；第二次把鏡子放在D點，人在H點正好看到樹尖A的像．已知小明的眼睛到地面的距離EF=GH=1.7m，量得CD=12m，CF=1.8m，DH=3.8m．已知點B、C、F、D、H在一條直線上，AB⊥BH，EF⊥BH，【思路點撥】首先根據(jù)題意，得出∠ABC=∠EFC=90°，∠ABD=∠GHD=90°，再證明△BAC∽△FEC，利用三角形的相似性質，得出BC=1.8AB1.7，然后再證明△ADB∽△GDH，得到AB1.7=BC+123.8，最后將【解題過程】解：∵AB⊥BC，EF⊥BC，CH⊥BC，∴∠ABC=∠EFC=90°，∠ABD=∠GHD=90°，∵∠ABC=∠EFC，∠ACB=∠ECF（反射定律）∴△BAC∽△FEC，∴ABEF=BC∴BC=1.8AB∵∠ABD=∠GHD，∠ADB=∠GDH（反射定律）∴△ADB∽△GDH，∴ABGH=BD∴AB1.7解得AB=10.2，答：松樹AB的高為10.2m17．（2022·全國·九年級單元測試）某天晚上，小明看到人民廣場的人行橫道兩側都有路燈，想起老師數(shù)學課上學習身高與影長的相關知識，于是自己也想實際探究一下．為了探究自己在兩路燈下的影長和在兩路燈之間的位置關系，小明在網(wǎng)上從有關部門查得左側路燈（AB）的高度為4.8米，右側路燈（CD）的高度為6.4米，兩路燈之間的距離（BD）為12米，已知小明的身高（EF）為1.6米，然后小明在兩路燈之間的線段上行走（如圖所示），測量相關數(shù)據(jù)．(1)若小明站在人行橫道的中央（點F是BD的中點）時，小明測得自己在兩路燈下的影長FP＝米，F(xiàn)Q＝米；(2)小明在移動過程中，發(fā)現(xiàn)在某一點時，兩路燈產(chǎn)生的影長相等（FP＝FQ），請問時小明站在什么位置，為什么？【思路點撥】（1）通過證明△CDQ～△EFQ，△ABP～△EFP，再根據(jù)相似三角形的性質進行求解即可；（2）由（1）得，EFCD=QFQD，EFAB=PF【解題過程】（1）解：由題意得，∠CDQ=∠EFQ,∠CQD=∠EQF，∴△CDQ～△EFQ，∴EF∵AB=4.8,CD=6.4,BD=12,EF=1.6，點F是BD的中點，∴BF=DF=6，∴1.6解得QF=2；∠ABP=∠EFP,∠APB=∠EPF，∴△ABP～