2022年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）

2022年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三四總分得分注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置。第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試卷上均無效，不予記分。一、選擇題1、-5的相反數(shù)是（）A.-5 B.5C. D.- 2、下列運(yùn)算正確的是（）A.a6-a2=a4 B.（a+b）2=a2+b2 C.（2ab3）2=2a2b6 D.3a?2a=6a2 3、下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D. 4、下圖是由幾個相同的小正方體搭成的一個幾何體，它的俯視圖是（）A. B.C. D. 5、不等式的解集是（）A.x＞-1 B.x＞-3 C.-1＜x＜3 D.x＜-3 6、拋物線y=-3x2+2x-1與y軸的交點為（）A.（0，1） B.（0，-1） C.（-1，0） D.（1，0） 7、若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（-2，-5），則該函數(shù)圖象位于（）A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限 D.第三、四象限 8、如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，若⊙O的半徑為5，AB=8，則CD的長是（）A.2 B.3 C.4 D.5 9、如圖，市破府準(zhǔn)備修建一座高BC為6m的過街天橋，已知∠BAC為天橋的坡面AB與地面AC的夾角，且sin∠BAC=，則坡面AB的長度為（）A.6m B.8m C.10m D.12m 10、如圖，點F是?ABCD的邊CD上一點，直線BF交AD的延長線于點E，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.=B.=C.=D.= 二、填空題1、截止2019年3月，全球230個國家人口總數(shù)為7579185859人，其中中國以1395000000位居第一，成為世界上人口最多的國家，請將1395000000用科學(xué)記數(shù)法表示為______．2、在函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是______．3、計算：=______．4、分解因式：12x2-3y2=______．5、植樹節(jié)這天有20名同學(xué)共種了52棵樹苗，其中男生每人種樹苗3棵，女生每人種樹苗2棵，則男同學(xué)的人數(shù)為______人．6、在一個不透明的口袋中，裝有2個黃球，3個紅球和5個白球，它們除顏色外其他均相同，從袋中任意摸出一個球，是白球的概率是______．7、一個扇形的面積是6πcm2，圓心角是60°，則此扇形的半徑是______cm．8、已知拋物線經(jīng)過點A（-2，0）、C（0，-3），則該拋物線的解析式為______．9、已知∠AOB=30°，點D在OA上，OD=，點E在OB上，DE=2，則OE的長是______．10、如圖，在△ABC中，∠A=90°，點D、E分別在AC、BC邊上，BD=CD=3DE，且∠C+∠CDE=45°，若AD=6，則BC的長是______．三、計算題1、先化簡，再求值：，其中．______四、解答題1、如圖5×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，線段AB、CD的端點都在小正方形的頂點上（要求：下面所畫圖形的點E、M、N都在小正方形的頂點上）．（1）在圖1中畫一個以線段AB為一邊的等腰三角形ABE，AB=AE，使△ABE的面積是6；（2）在圖2中畫一個以線段CD為一邊的矩形CDMN，使矩形CDMN的面積是12，并直接寫出矩形CDMN的周長．______2、在某區(qū)組織的一次調(diào)研考試中，一道選擇題（單選）有四個選項分別是A、B、C、D，并且參加考試的每名學(xué)生都答出一個選項，在試卷分析時，將學(xué)生此題所選答案的“選項”進(jìn)行了抽樣調(diào)查，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，完成下列問題：（1）這次抽樣調(diào)查中共調(diào)查了多少人？（2）求這次抽樣調(diào)查中選擇“B選項”和“D選項”各多少人，并將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；（3）若該區(qū)參加這次調(diào)研考試有400名學(xué)生，請估計選擇“A選項”的學(xué)生有多少人？______3、在菱形ABCD中，點O是對角線的交點，點E是邊CD的中點，點F在BC延長線上，且CF=CE．（1）求證：EF=OC；（2）如果EF=OE，請寫出圖中所有的等邊三角形．______4、某班級準(zhǔn)備購買一些獎品來獎勵春季運(yùn)動會表現(xiàn)突出的同學(xué)，獎品分為甲、乙兩種，已知購買一個甲獎品要比購買一個乙獎品多用20元，若用400元購買甲獎品的個數(shù)是用160元購買乙獎品個數(shù)的一半．（1）求購獎一個甲獎品和一個乙獎品各需多少元？（2）經(jīng)商談，商店決定給予該班級每購買甲獎品3個就贈送一個乙獎品的優(yōu)惠，如果該班級需要乙獎品的個數(shù)是甲獎品個數(shù)的2倍還多8個，且該班級購買兩種獎項獎品的總費(fèi)用不超過640元，那么該班級最多可購買多少個甲獎品？______5、如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC上一點O為圓心作圓與AB相切于點D，與BC分別交于點F、N，連接DF并延長交AC的延長線點E．（1）求證：AE=AD；（2）過點D作DH⊥BC于點B，連接AF并延長交⊙O于點G，連接DG，若DO平分∠GDH．求證：∠AFD=2∠DFN；（3）在（2）的條件下，延長DG交AE的延長線于點P，連接PF并延長交⊙O于點M，若FM=5，F(xiàn)H=9，求OH的長．______6、如圖，直線y=3x+6交x軸于點A，交y軸于點C，直線BC交x軸于點B，且tan∠ABC=2．（1）求直線BC的解析式；（2）點P在線段BC上，連接AP交y軸于點D，過點P作PE∥y軸交直線AC于點E，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m，△PED的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，點F是線段AC上一點，連接PF，當(dāng)時，且∠APF=∠PAB，求點F的坐標(biāo)．______

2019年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）參考答案一、選擇題第1題參考答案:B解：-5的相反數(shù)是5．故選：B．根據(jù)相反數(shù)的定義直接求得結(jié)果．本題主要考查了相反數(shù)的性質(zhì)，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．---------------------------------------------------------------------第2題參考答案:D解：A．a(chǎn)6與a2不是同類項，不能合并，所以此選項錯誤；B．（a+b）2=a2+2ab+b2，所以此選項錯誤；C．（2ab3）2=4a2b6，所以此選項錯誤；D.3a?2a=6a2，所以此選項正確．故選：D．A．先判斷是否為同類項，再運(yùn)算；B．運(yùn)用完全平方公式運(yùn)算即可；C．運(yùn)用積的乘方運(yùn)算法則；D．運(yùn)單項式乘單項式的運(yùn)算法則：用單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．本題主要考查了單項式乘單項式，積的乘方等，熟練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．---------------------------------------------------------------------第3題參考答案:C解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．故選：C．根據(jù)根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念判斷．本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．---------------------------------------------------------------------第4題參考答案:D解：從上往下看時，下面一行兩個正方體，上面一行三個正方體，故選D．找到從上面看所得到的圖形即可．本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．---------------------------------------------------------------------第5題參考答案:A解：，解不等式①，得x＞-3；解不等式②，得x＞-1；所以原不等式組的解集為x＞-1．故選：A．首先解每個不等式，然后利用數(shù)軸確定兩個不等式的解集的公共部分，即是不等式組的解集．本題考查的是解一元一次不等式（組），正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．---------------------------------------------------------------------第6題參考答案:B解：x=0時，y=-1，所以，拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，-1）．故選：B．令x=0，求出y的值，然后寫出點的坐標(biāo)即可．本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)，熟練掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點的求解方法是解題的關(guān)鍵．---------------------------------------------------------------------第7題參考答案:C解：∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（-2，-5），∴k=xy=（-2）×（-5）=10＞0，∴該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，故選：C．利用待定系數(shù)法求得k的值；最后根據(jù)k的符號判斷該函數(shù)所在的象限．本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．解答該題需要熟記反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)．---------------------------------------------------------------------第8題參考答案:A解：∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=×8=4，在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，∴OD==3，∴CD=OC-OD=5-3=2．故選：A．根據(jù)垂徑定理由OC⊥AB得到AD=AB=4，再根據(jù)勾股定理可求出OD，然后用OC-OD即可得到DC．本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念解決問題，屬于基礎(chǔ)題．---------------------------------------------------------------------第9題參考答案:C解：∵BC=6m，sin∠BAC=，∴=，即=，∴AB=10故選：C．直角利用正弦三角函數(shù)定義解答．此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．---------------------------------------------------------------------第10題參考答案:D解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，∴=，故A正確，選項不符合題意；∴=正確，B選項不符合題意；=，正確，故C不符合題意；∴=，錯誤，D符合題意．故選：D．由四邊形ABCD是平行四邊形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，然后平行線分線段成比例定理，對各項進(jìn)行分析即可求得答案．本題考查平行線分線段成比例定理，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系，避免錯選其他答案．二、填空題---------------------------------------------------------------------第1題參考答案:1.395×109解：1395000000=1.395×109．故答案為：1.395×109．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．---------------------------------------------------------------------第2題參考答案:x≠解：函數(shù)y=中，2x-3≠0，解得x≠，故答案為：x≠．根據(jù)分式的意義，分母不等于0，可以求出x的范圍．本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)．---------------------------------------------------------------------第3題參考答案:解：原式=2-=．故答案為：．先把各根式化為最簡二次根式，再根據(jù)二次根式的減法進(jìn)行計算即可．本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解答此題的關(guān)鍵．---------------------------------------------------------------------第4題參考答案:3（2x+y）（2x-y）解：12x2-3y2=3（2x-y）（2x+y）．考查了對一個多項式因式分解的能力，本題屬于基礎(chǔ)題．當(dāng)一個多項式有公因式，將其分解因式時應(yīng)先提取公因式，再對余下的多項式繼續(xù)分解．此題應(yīng)提公因式，再用公式．本題考查因式分解．因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式與完全平方公式，要能用公式法分解必須有平方項，如果是平方差就用平方差公式來分解，如果是平方和需要看還有沒有兩數(shù)乘積的2倍，如果沒有兩數(shù)乘積的2倍還不能分解．解答這類題時一些學(xué)生往往因分解因式的步驟、方法掌握不熟練，對一些乘法公式的特點記不準(zhǔn)確而誤選其它選項．要求靈活使用各種方法對多項式進(jìn)行因式分解，一般來說，如果可以提取公因式的要先提取公因式---------------------------------------------------------------------第5題參考答案:12解：設(shè)男生有x人，女生有y人，根據(jù)題意得：，解得：，答：男同學(xué)的人數(shù)為12人．故答案為：12．根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①男生人數(shù)+女生人數(shù)=20位；②男生種樹的總棵樹+女生種樹的總棵樹=52棵，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可．此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，然后再列出方程組．---------------------------------------------------------------------第6題參考答案:解：∵從裝有2個黃球、3個紅球和5個白球的袋中任意摸出一個球有10種等可能結(jié)果，其中摸出的球是白球的結(jié)果有5種，∴從袋中任意摸出一個球，是白球的概率是=，故答案為由題意可得，共有10可能的結(jié)果，其中從口袋中任意摸出一個球是白球的有5情況，利用概率公式即可求得答案．此題考查了概率公式，明確概率的意義是解答問題的關(guān)鍵，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．---------------------------------------------------------------------第7題參考答案:6解：設(shè)這個扇形的半徑是rcm．根據(jù)扇形面積公式，得=6π，解得r=±6（負(fù)值舍去）．故答案為：6．利用扇形的面積計算公式直接代入計算即可．此題考查了扇形的面積公式，掌握扇形面積計算公式的計算方法是解決問題的關(guān)鍵．---------------------------------------------------------------------第8題參考答案:y=x2-x-3解：把A（-2，0）、C（0，-3）代入拋物線解析式得：，解得：，則該拋物線解析式為y=x2-x-3，故答案為：y=x2-x-3把A與C坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b與c的值，即可確定出解析式．此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．---------------------------------------------------------------------第9題參考答案:2或4解：如圖所示，過D作DF⊥OB于F，∵∠AOB=30°，OD=2，∴DF=OD=，OF=3，又∵DE=2，∴Rt△DEF中，EF=1，當(dāng)點E在點F左側(cè)時，OE=OF-EF=3-1=2；當(dāng)點E'在點F右側(cè)時，OE'=OF+E'F=3+1=4；綜上所述，OE的長為2或4，故答案為：2或4．過D作DF⊥OB于F，依據(jù)∠AOB=30°，OD=2，可得EF=1，分兩種情況進(jìn)行討論，即可得到OE的長．本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，畫出圖形并分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．---------------------------------------------------------------------第10題參考答案:解：∵∠A=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∵BD=CD，∴∠DBC=∠C，∴∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C，∵∠C+∠CDE=45°，∴2∠C+∠CDE=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，作DF⊥BC于F，如圖所示：則BF=CF，△DEF∽△BED∽△BDF，∴===，設(shè)EF=x，則DF=3x，BF=CF=9x，∴BC=18x，DE=x，∴CD=BD=3x，AC=6+x，∵∠DFC=∠A=90°，∠C=∠C，∴△CDF∽△CBA，∴=，即=，解得：x=，∴BC=18×=；故答案為：．首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知條件證出∠BDE=90°，作DF⊥BC于F，則BF=CF，△DEF∽△BED∽△BDF，得出===，設(shè)EF=x，則DF=3x，BF=CF=9x，得出BC=18x，DE=x，得出CD=BD=3x，AC=6+3x，證明△CDF∽△CBA，得出=，代入計算即可得出結(jié)果．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握勾股定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．三、計算題---------------------------------------------------------------------第1題參考答案:解：原式=（-）÷=?=，當(dāng)=2×+×=+1時，原式===．先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將特殊銳角的三角函數(shù)值代入、化簡，繼而代入計算可得．本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．四、解答題---------------------------------------------------------------------第1題參考答案:解：（1）如圖1所示：△ABE即為所求；（2）如圖2所示：矩形CDMN即為所求，矩形CDMN的周長為：2×（2+3）=10．（1）直接利用網(wǎng)格結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)以及三角形面積求法得出答案；（2）直接利用矩形的性質(zhì)以及結(jié)合網(wǎng)格得出答案．此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖以及矩形的判定與性質(zhì)，正確借助網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵．---------------------------------------------------------------------第2題參考答案:解：（1）這次抽樣調(diào)查中被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為130÷65%=200（人）；（2）選擇“B選項”的有200×20%=40（人），則選擇“D選項”的人數(shù)為200-（130+40+10）=20（人），補(bǔ)全條形圖如下：（3）估計選擇“A選項”的學(xué)生有400×65%=260（人）．（1）先根據(jù)A選項的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)；（2）總?cè)藬?shù)乘以B選項的百分比求得其人數(shù)，再根據(jù)各選項人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求得C選項的人數(shù)，據(jù)此可補(bǔ)全條形圖；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中A選項的百分比可得答案．本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?--------------------------------------------------------------------第3題參考答案:（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∵DE=EC，OD=OB，∴OE∥BF，OE=DE=CE，∵CE=CF，∴OE=CF，'∴四邊形OEFC是平行四邊形，∴EF=OC．（2）解：等邊三角形有：△OEC，△CEF，△ABC，△ADC．理由：∵四邊形OEFC是平行四邊形，∵EO=EF，∴四邊形OEFC是菱形，∵CE=CF，∴OE=EC=OC=EF=CF，∴△OEC，△CEF都是等邊三角形，∴∠OCE=60°，∵AD=DC，∴△ADC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形．（1）只要證明四邊形OEFC是平行四邊形即可解決問題．（2）等邊三角形有：△OEC，△CEF，△ABC，△ADC．根據(jù)等邊三角形的定義一一判斷即可．本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．---------------------------------------------------------------------第4題參考答案:解：（1）設(shè)購買一個乙獎品需x元，則購買一個甲獎品品需（x+20）元，根據(jù)題意得：=×，解得：x=5，經(jīng)檢驗，x=5是原分式方程的解，∴x+20=25．答：購買一個乙獎品需5元，購買一個甲獎品需25元．（2）設(shè)該學(xué)?？少徺Ia個甲獎品，則可購買（2a+8-）個乙獎品，根據(jù)題意得：25a+5（2a+8-）≤640，解得：a≤18．答：該學(xué)校最多可購買18個甲獎品．（1）設(shè)購買一個乙獎品需x元，則購買一個甲獎品需（x+20）元，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價結(jié)合用400元購買甲獎品的個數(shù)是用160元購買乙獎品品個數(shù)的一半，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該學(xué)?？少徺Ia個甲獎品，則可購買（2a+8-）個乙獎品，根據(jù)總價=單價×購買數(shù)量結(jié)合該學(xué)校購買兩個獎項獎品的總費(fèi)用不超過640元，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)數(shù)量間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．---------------------------------------------------------------------第5題參考答案:解：（1）證明：∵∠ACB=90°∴∠E+∠CFE=∠ACB=90°∵∠CFE=∠OFD∴∠E+∠OFD=90°∵AB切⊙O于D∴OD⊥AB∴∠ODF+∠ADE=90°∵OD=OF∴∠OFD=∠ODF∴∠E=∠ADE∴AE=AD（2）證明：連接DN∵DO平分∠GDH∴設(shè)∠ODG=∠ODH=α，設(shè)∠FDG=β，則∠FDH=2α+β∵OF=OD∴∠DFN=∠ODF=α+β∵DH⊥FN∴∠DHF=90°∴∠DFN+∠FDH=90°，即α+β+2α+β=3α+2β=90°∵FN為⊙O直徑∴∠FDN=90°∴∠DNF=90°-∠DFN=90°-（2α+β）=3α+2β-（α+β）=2α+β∴∠G=∠DNF=2α+β∵∠AFD=∠G+∠FDG=2α+β+β=2α+2β∴∠AFD=2∠DFN（3）過O作OQ∥AB交FM于點Q∵∠AEF+∠EFC=90°，∠DFN+∠FDH=90°，∠EFC=∠DFN∴∠AEF=∠FDH=2α+β∴∠ADE=∠AEF=2α+β∴∠FAD=180°-∠AFD-∠ADF=2（3α+2β）-（2α+2β）-（2α+β）=2α+β即∠FAD=∠ADF∴AF=DF∴F在AD的垂直平分線上∵∠AEF=∠FGD=2α+β，∠AFE=∠DFG∴∠EAF=∠FDG=β∴∠PAD=∠PDA=β+（2α+β）=2α+2β∴PA=PD∴P在AD的垂直平分線上即PM垂直平分AD∴OQ⊥F