專題5 拋物線上面積類綜合問題的轉化與探究-備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學壓軸題專題研究

專題五拋物線上面積類綜合問題的轉化與探究知識講解專題導例（：S△A＝ah，AB的解析式；（2）求△CABCDS△CAB；（3）拋物線上是否存在一點使S△CAB？若存在求出P點的坐標若不存在，請說明理由。（1）C坐標，可用頂點式的二次函數(shù)通式設出這個二次函數(shù)，然后ABB、AAB所在直線的解析式；CAB的面積，根據(jù)題中給出的求三角形面積的求法，那么要先求出水C，D兩點縱坐標，C點的坐標已知，可用（1）中的DCAB的A點的橫坐標，這樣可根據(jù)題中給出的求三角形的面積的方法得出CAB的面積；（3）可先根據(jù)（2）CAB中，水A的面積xx的值，然后代入二次函數(shù)式中即可得出此點的坐標。典例剖析類型一：利用面積關系式求解最值問題OAOOBx軸的60BBD⊥xDOD、BD的長，可B點的坐標；A、O、B三點坐標代入拋物線解析式的一般式，可求解析式；A，OABC點，C點即為所求，求直線AB的解析式，再根據(jù)C點的橫坐標值，求縱坐標；（3）設（xy（﹣2x＜y0B再求取最大值時，x的值．二：類型二：由已知面積來定未知面積類問題例2.如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，∠B＝60°，CE⊥AB于E，動點P從出發(fā)點以1cm/s的速度沿BC邊向終點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)以4cm/s的速度沿CD邊向點D運動，當點Q到達D時立即以原來的速度沿射線DA運動，連接PQ，當點P到達C點時，點P、點Q同時停止運動，設點P，Q運動時間為t秒．（1）當t＝時，點Q到達點D；（2）如圖1，當點Q在CD上運動時，若△PCQ的面積等于△BEC的面積，求t的值；（3）如圖2，當點Q在DA的延長線上運動時，PQ與AB相交于點F，若AF：BF＝3：2，求t的值，并判斷此時PQ與CE的位置關系；（4）在整個運動過程中，是否存在將菱形ABCD的周長和面積同時平分的情形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，簡要說明理由．【分析】（1）根據(jù)時間＝即可求解；（2）首先求得△BCE的面積，然后利用t表示出PC和CQ的長，則△PCQ的面積即可用t表示，則列方程即可求解；（3）易證△AQF∽△BPF，根絕相似三角形的對應邊的比相等即可列方程求解；（4）PQ同時把菱形ABCD的周長和面積同時平分，則PQ一定經(jīng)過菱形的中心，則一定有DQ＝BP，據(jù)此即可求解．類型三：與面積倍分有關的綜合題例3.如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點A（﹣1，0）和點B（3，0）．（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；（2）若點P在直線x＝2上運動，當點P到直線AD的距離d等于點P到x軸的距離時，求d得值；（3）如圖2，直線AC：y＝﹣x+m經(jīng)過點A，交y軸于點C．探究：在x軸上方的拋物線上是否存在點M，使得S△CDA＝2S△ACM？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)A、B兩點的坐標直接算出a，b即可，配成頂點式，得出頂點坐標；（2）設出P點的縱坐標，過P作PM⊥AD于點M，設直線AD與直線x＝2交于點G，將PG用P點的縱坐標表示；分兩種情況討論：①若點P在第一象限，則PG＝6﹣d；②若點P在第四象限，則PG＝6+d．分別算出d的值．（3）要使得S△CDA＝2S△ACM，則只需M點到直線AC的距離是點D到直線AC的距離的一半即可，過點D作DE∥AC，交y軸于點E，過EC的中點F且平行于AC的直線與拋拋物的交點就是所求的點，聯(lián)立方程組解之即可．專題突破1.如圖已知：直線y＝﹣x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）若點D的坐標為（﹣1，0），在直線y＝﹣x+3上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標；（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+8與x軸相交于點A（﹣2，0）和點B（4，0），與y軸相交于點C，頂點為點P．點D（0，4）在OC上，連接BC、BD．（1）求拋物線的解析式并直接寫出點P的坐標；（2）點E為第一象限內拋物線上一點，如果△COE與△BCD的面積相等，求點E的坐標；（3）點Q在拋物線對稱軸上，如果△BCD∽△CPQ，求點Q的坐標．3.如圖，拋物線y＝x2﹣mx﹣（m+1）與x軸負半軸交于點A（x1，0），與x軸正半軸交于點B（x2，0）（OA＜OB），與y軸交于點C，且滿足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求拋物線的解析式；（2）以點B為直角頂點，BC為直角邊作Rt△BCD，CD交拋物線于第四象限的點E，若EC＝ED，求點E的坐標；（3）在拋物線上是否存在點Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．4.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(0，3)，B(1，0)兩點，頂點為M.(1)求b、c的值；(2)將△OAB繞點B順時針旋轉90°后，點A落到點C的位置，該拋物線沿y軸上下平移后經(jīng)過點C，求平移后所得拋物線的解析式；(3)設(2)中平移所得的拋物線與y軸的交點為A1，頂點為M1，若點P在平移后的拋物線上，且滿足△PMM1的面積是△PAA1面積的3倍，求點P的坐標．第4題圖5.如圖，四邊形OABC是矩形，OA＝4，OC＝8，將矩形OABC沿直線AC折疊，使點B落在點D處，AD交OC于點E.(1)求OE的長；(2)求過O，D，C三點的拋物線的解析式；(3)若F為過O，D，C三點的拋物線的頂點，一動點P從點A出發(fā)，沿射線AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，當運動時間T(秒)為何值時，直線PF把△FAC分成面積之比為1∶3的兩部分．專題五拋物線上面積類綜合問題的轉化與探究答案專題導例（1）設拋物線的解析式為：y1＝a（x﹣1）2+4把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1所以y1＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3設直線AB的解析式為：y2＝kx+b由y1＝﹣x2+2x+3求得B點的坐標為（0，3）把A（3，0），B（0，3）代入y2＝kx+b中解得：k＝﹣1，b＝3所以y2＝﹣x+3；因為C點坐標為（1，4）所以當x＝1時，y1＝4，y2＝2所以CD＝4﹣2＝2S△CAB＝×3×2＝3（平方單位）；∵S△PAB＝S△CAB＝×3＝設P（m，﹣m2+2m+3）過點P作PE⊥x軸交AB于F則F（m，﹣m+3）①當P在AB上方時，S△PAB＝＝×3×（﹣m2+2m+3+m﹣3）m1＝m2＝∴P1（，）②當P在AB下方時S△PAB＝＝×3×（﹣m+3+m2﹣2m﹣3）∴P2（，），P3（，）。例1.解：（1）過點B作BD⊥x軸于點D，由已知可得：OB＝OA＝2，∠BOD＝60°，在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠OBD＝30°∴OD＝1，DB＝∴點B的坐標是（1，）．設所求拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0）由已知可得： ，解得：a＝ ，b＝ ，c＝0，∴所求拋物線解析式為y＝ x．（2）存在，由y＝x配方后得：y＝（x+1）2﹣∴拋物線的對稱軸為x＝﹣1（也可用頂點坐標公式求出）∵點C在對稱軸x＝﹣1上，△BOC的周長＝OB+BC+CO；∵OB＝2，要使△BOC的周長最小，必須BC+CO最小，∵點O與點A關于直線x＝﹣1對稱，有CO＝CA△BOC的周長＝OB+BC+CO＝OB+BC+CAACBCAB的周長最?。O直線AB的解析式為y＝kx+b，則有：，解得：k＝，b＝，∴直線AB的解析式為y＝當x＝﹣1時，y＝，求點C坐為﹣1，（3）設x，y﹣＜x0y＜，則y＝x①PPQ⊥yQ，PG⊥xGAAF⊥PQFB作BE⊥PQ軸于點E，則PQ＝﹣x，PG＝﹣y，由題意可得：S△PAB＝S梯形AFEB﹣S△AFP﹣S△BEP（AF+BE）?FE﹣AF?FP﹣PE?BE﹣y+ ﹣y（12﹣﹣yx2﹣1x（ ﹣y）②將①代入②，化簡得x+（x+）2+∴當 時得面積有最大值，最大面積為此時∴點P的坐標為 ．例2.解：（1）t＝＝1（s），故答案是：1s；（2）在直角△BCE中，EC＝BC?sin∠B＝4×＝2（cm），BE＝BC＝2（cm），則S△BEC＝BE?EC＝×2×2＝2（cm2），運動的時間是ts，則BP＝t，PC＝4﹣t，CQ＝4t，則S△PCQ＝PC?CQ?sin60°＝（4﹣t）?4t?＝﹣t2+4t，則﹣t2+4t＝2，解得：t＝1或（舍去）．故t＝1．（3）∵AD∥BC，∴△AQF∽△BPF，∴＝＝，∴＝，解得：t＝．則BP＝，又∵BF＝AB＝，BE＝2，∴＝，∴PQ∥CE；（4）PQ同時把菱形ABCD的周長和面積同時平分，則PQ一定經(jīng)過菱形的中心，則Q在AD上，且DQ＝BP，則t﹣4＝t，此時無解，則t不存在．例3.解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點A（﹣1，0）和點B（3，0），∴，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．（2）如圖，設P（2，yP），過P作PM⊥AD于點M，設直線AD與直線x＝2交于點G，則PM＝d＝|yP|，直線AD的解析式為y＝2x+2，∴G（2，6），∴PG＝6﹣yP，∵，∴，∴PG＝|yP|＝d，①若點P在第一象限，則PG＝6﹣d，∴d＝6﹣d，∴d＝，②若點P在第四象限，則PG＝6+d，∴d＝6+d，∴d＝，（3）∵直線AC過點A，所以可求得直線AC：y＝﹣x﹣1．過點D作DE∥AC，交y軸于點E，如圖，可求得直線DE：y＝﹣x+5．∴E（0，5），∴EC的中點F（0，2）．∴過點F平行于AC的直線為y＝﹣x+2．∴，解得，或（舍去）∴M（，）．專題突破答案1A30B03）∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點，A30B（，3，（10yaxbxc，得方程組解得：∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3（2）由題意可得：△ABO1所示，∴DP1＝AD＝4，∴P1（﹣1，4）若△ABO∽△ADP2P2P2M⊥xM，AD＝4，∵△ABO為等腰三角形，∴△ADP2是等腰三角形，由三線合一可得：DM＝AM＝2＝P2M，即點M與點C重合，∴P2（1，2）PP﹣1，，（12；（3）不存在．2，設點（，yS△A＝①當P1（﹣1，4）時，S四邊形AP1CE＝S△ACP1+S△ACE＝＝4+|y|∴2|y|＝4+|y|，∴|y|＝4∵點E在x軸下方，∴y＝﹣4，代入得：x2﹣4x+3＝﹣4，即x2﹣4x+7＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×7＝﹣12＜0∴此方程無解②當P2（1，2）時，S四邊形AP2CE＝S△ACP2+S△ACE＝＝2+|y|，∴2|y|＝2+|y|，∴|y|＝2∵點E在x軸下方，∴y＝﹣2，代入得：x2﹣4x+3＝﹣2，即x2﹣4x+5＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0∴此方程無解綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E．2．（1）將點A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+8，得：4a解得a=-1,b=2.∴拋物線的解析式為∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴點P的坐標為（1，9）．（2）當x＝0時，y＝﹣x2+2x+8＝8，∴點C的坐標為（0，8）．設點E的坐標為（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），∵S△COE＝S△BCD，∴12×8?x＝12×4×4，解得x＝2．∴點（3）過點C作CM∥x軸，交拋物線對稱軸于點M，如圖所示．∵點B（4，0），點D（0，4），∴OB＝OD＝4．∴∠ODB＝45°，BD＝42．∴∠BDC＝135°．∵點C（0，8），點P（1，9），∴點M的坐標為（1，8）．∴CM＝PM＝1．∴∠CPM＝45°，CP＝2．∴點Q在拋物線對稱軸上且在點P的上方．∴∠CPQ＝∠CDB＝135°．∵△BCD∽△CPQ，∴CPCD=PQeq\o\ac(○,1)CPCD=PQDB時，24=PQ42，解得②當CPBD=PQ解得：PQ＝1，∴點Q的坐標為（1，10）．綜上所述，點Q的坐標為（1，11）或（1，10）．3.解：（1）∵拋物線y＝x2﹣mx﹣（m+1）與x軸負半軸交于點A（x1，0），與x軸正半軸交于點B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴拋物線的對稱軸在y軸右側，∴m＝2，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）連接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB＝OC，又∵BE＝CE，OE＝OE，∴△OBE≌△OCE（SSS），∴∠BOE＝∠COE，∴點E在第四象限的角平分線上，設E點坐標為（m，﹣m），將E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3，得m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝，∵點E在第四象限，∴E點坐標為（，﹣）；（3）過點Q作AC的平行線交x軸于點F，連接CF，則S△ACQ＝S△ACF．∵S△ACQ＝2S△AOC，∴S△ACF＝2S△AOC，∴AF＝2OA＝2，∴F（1，0）．∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣3．∵AC∥FQ，∴設直線FQ的解析式為y＝﹣3x+b，將F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，∴直線FQ的解析式為y＝﹣3x+3．聯(lián)立，解得，，∴點Q的坐標為（﹣3，12）或（2，﹣3）．4.(1)∵拋物線y＝x2＋Bx＋C經(jīng)過A(0，3)，B(1，0)兩點，∴1+b+c=0，c=3.，解得(2)由(1)知，拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3.∵A(0，3)，B(1，0)，∴OA＝3，OB＝1．∴C點坐標為(4，1)．當x＝4時，由y＝x2－4x＋3得y＝3．則拋物線y＝x2－4x＋3經(jīng)過點(4，3)，∴將原拋物線沿y軸向下平移2個單位后過點C．∴平移后的拋物線的解析式為y＝x2－4x＋1；(3)∵點P在y＝x2－4x＋1上，可設P點的坐標為(x0，xeq\o\al(2,0)－4x0＋1)，將y＝x2－4x＋1配方得y＝(x－2)2－3．∴拋物線的對稱軸為直線x＝2．∵S△PMM1＝|x0－2|·MM1，S△PAA1＝|x0|·AA1，S△PMM1＝3S△PAA1，MM1＝AA1＝2，∴x0<2，|x0－2|＝3|x0|.分情況討論：eq\o\ac(○,1)0<x0<2時，則有2－x0＝3x0，解得x0＝，則xeq\o\al(2,0)－4x0＋1＝，∴點P的坐標為