2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：20 立體幾何截面問(wèn)題的十種題型（原卷版）

20立體幾何截面問(wèn)題的十種題型【題型一】做截面的基本功：補(bǔ)全截面方法【典例分析】在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=3,點(diǎn)E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、C1平面，直線A1D1平面=P，則直線BP與直線CD1所成角的余弦值是【提分秘籍】基本規(guī)律截面訓(xùn)練基礎(chǔ)：模型：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點(diǎn)，等學(xué)生完全理解了，再改成任意等分點(diǎn)方法：兩點(diǎn)成線相交法或者平行法特征：1、三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)連線在表面上。本題如下圖是EF（這類(lèi)型的關(guān)鍵）；2、“第三點(diǎn)”是在外棱上，如C1，注意：此時(shí)合格C1點(diǎn)特殊，在于它是幾何體頂點(diǎn)，實(shí)際上無(wú)論它在何處，只要在棱上就可以。方法一：相交法，做法如圖方法二：平行線法。做法如圖【變式演練】1.如圖，在正方體中，M、N、P分別是棱、、BC的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)M、N、P的平面與正方體相交形成的截面是一個(gè)（）A．三角形B．平面四邊形C．平面五邊形 D．平面六邊形2.如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則過(guò)三點(diǎn)A、D1、E的截面過(guò)（）A．AB中點(diǎn) B．BC中點(diǎn)C．CD中點(diǎn) D．BB1中點(diǎn)3.如圖正方體，棱長(zhǎng)為1，P為中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A?P?Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，為四邊形 B．當(dāng)時(shí)，為等腰梯形C．當(dāng)時(shí)，為六邊形 D．當(dāng)時(shí)，的面積為【題型二】截面形狀的判斷【典例分析】一個(gè)三棱錐的各棱長(zhǎng)均相等，其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內(nèi)部，且球與三棱錐的各面只有一個(gè)交點(diǎn)），過(guò)一條側(cè)棱和對(duì)邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律一些容易出錯(cuò)誤的地方1.截面與幾何體表面相交，交線不會(huì)超過(guò)幾何體表面?zhèn)€數(shù)。2.不會(huì)與同一個(gè)表面有兩條交線。3.與一對(duì)平行表面相交，交線平行（不一定等長(zhǎng)）4.截面截內(nèi)切球或者外接球時(shí)，區(qū)分與面相切和與棱相切之間的關(guān)系【變式演練】1.如圖，正四棱錐的高為12，，，分別為，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的截面交于點(diǎn)，截面將四棱錐分成上下兩個(gè)部分，規(guī)定為主視圖方向，則幾何體的俯視圖為（）A．B．C． D．2.用一個(gè)平面去截正方體，所得截面不可能是（）A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五邊形 D．正六邊形3.在正方體中，M為AB中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含C）過(guò)M、N、P與正方體的截面記為，則下面三個(gè)判斷，其中正確判斷的序號(hào)有______．①當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，截面為六邊形；②當(dāng)時(shí)，截面為五邊形；③當(dāng)截面為四邊形時(shí)，它一定是等腰梯形；【題型三】平行關(guān)系確定截面【典例分析】在三棱錐中，，截面與，都平行，則截面的周長(zhǎng)等于（）A． B． C． D．無(wú)法確定【提分秘籍】基本規(guī)律平行關(guān)系確定的截面作圖，一般情況下，利用線線、線面、面面特別是線面的平行性質(zhì)定理推導(dǎo)?！咀兪窖菥殹?.在正方體中，與平行，且過(guò)正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面是___________和___________.2.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有（）A．0條 B．1條C．2條 D．4條3.如圖是一個(gè)以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得的幾何體，截面為ABC．已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在邊AB上是否存在一點(diǎn)O，使得OC∥平面A1B1C1.【題型四】垂直關(guān)系確定的截面【典例分析】已知正三棱柱(底面為正三角形的直棱柱)的體積為，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)且與垂直的截面與交于點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為A． B． C．2 D．【提分秘籍】基本規(guī)律垂直關(guān)系確定的截面，利用線面垂直定理，轉(zhuǎn)化到表面尋找線線垂直?！咀兪窖菥殹?.如圖，為正方體，任作平面與對(duì)角線垂直，使得與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長(zhǎng)為，則（）A．為定值，不為定值B．不為定值，為定值C．與均為定值D．與均不為定值2.正方體，的棱長(zhǎng)為4，已知平面α，，則關(guān)于α?β截此正方體所得截面的判斷正確的是（）A．α截得的截面形狀可能為正三角形 B．與截面α所成角的余弦值為C．α截得的截面形狀可能為正六邊形 D．β截得的截面形狀可能為正方形3.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)且與垂直，則（）A． B．平面C．平面平面 D．平面截正方體所得的截面面積為【題型五】求截面周長(zhǎng)【典例分析】如圖，在正方體中，，為棱的中點(diǎn)，為棱的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作該正方體的截面，則該截面的周長(zhǎng)是___________.【提分秘籍】基本規(guī)律1.截面周長(zhǎng)，可以利用多面體展開(kāi)圖求。2.截面周長(zhǎng)，可以在各個(gè)表面各自解三角形求解?！咀兪窖菥殹?.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長(zhǎng)為（）A．2+2 B． C． D．2.已知在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，過(guò)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．3.已知直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，，.過(guò)、的中點(diǎn)、作平面與平面垂直，則所得截面周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【題型六】求截面面積【典例分析】已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過(guò)點(diǎn)，C，E的平面截得的截面面積為_(kāi)_____.【提分秘籍】基本規(guī)律求截面面積：1.判斷界面是否規(guī)則圖形2.求截面各邊長(zhǎng)度3.規(guī)則圖形，可以用對(duì)應(yīng)面積公式求4.不規(guī)則圖形，可以分割為三角形等圖形求。5.難點(diǎn)：動(dòng)態(tài)面積最值，可參考本專題10【變式演練】1.正方體的棱長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得的截面面積為（）A．5 B． C． D．2.在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，則過(guò)、、三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為（）A． B． C． D．3.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)在線段上，且，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則正方體被平面截得的截面為_(kāi)__________，其面積為_(kāi)__________.【題型七】球截面【典例分析】正三棱錐中，，點(diǎn)在棱上，且，已知點(diǎn)都在球的表面上，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則截球所得截面面積的最小值為_(kāi)__________.【提分秘籍】基本規(guī)律計(jì)算球截面1.確定球心和半徑2.尋找做出并計(jì)算截面與球心的距離3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中點(diǎn)”這個(gè)性質(zhì)4.強(qiáng)調(diào)弦的中點(diǎn)，不一定是幾何體線段的中點(diǎn)。【變式演練】1.已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，平面經(jīng)過(guò)棱，，的中點(diǎn)，若平面截三棱錐和球所得的截面面積分別為，，則（）A． B． C． D．2.某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，該四棱錐所有頂點(diǎn)都在半徑為的球上，當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面正方形所在平面截球的截面面積是（）A． B． C． D．3.已知球O是正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=3，AB=，點(diǎn)E在線段BD上，且BD=3BE．過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（）A． B． C． D．【題型八】截面分體積【典例分析】已知正四棱柱中、的交點(diǎn)為，AC、BD的交點(diǎn)為，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)且與直線AB平行的平面截這個(gè)正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，則正四棱柱的體積為_(kāi)_____________.【提分秘籍】基本規(guī)律對(duì)于截面截開(kāi)幾何體，一般情況下，可能會(huì)出現(xiàn)不規(guī)則幾何體，所以求體積，需要采取“切割法”來(lái)求【變式演練】1.正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，則正方體被截面分成兩部分的體積之比為_(kāi)__________.2.如圖所示，在長(zhǎng)方體中，用截面截下一個(gè)棱錐則棱錐的體積與剩余部分的體積之比為（）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：23.三棱錐中，E、F、G、H分別是棱DA、DB、BC、AC的中點(diǎn)，截面EFGH將三棱錐分成兩個(gè)幾何體：、，其體積分別為、，則（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【題型九】不規(guī)則截面（曲線形截面）【典例分析】如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱被與其底面所成角為的平面所截，截面是一個(gè)橢圓，當(dāng)為時(shí)，這個(gè)橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律不規(guī)則截面，會(huì)產(chǎn)生截面圖像為圓錐曲線，可參考專題8-1立幾中的軌跡專題【變式演練】1.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究曲線，如圖①，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，在底面半徑和高均為的圓錐中，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，已知過(guò)與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該曲線為_(kāi)___________，是該曲線上的兩點(diǎn)且，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________.2.如圖，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，.過(guò)橢圓上一點(diǎn)作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于點(diǎn).由球和圓的幾何性質(zhì)可知，，.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為_(kāi)______________.3.如圖①，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發(fā)對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinaldandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性．在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個(gè)球分別與截面相切于E，F(xiàn)，在截口曲線上任取一點(diǎn)A，過(guò)A作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于C，B，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離BC是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓．如圖②，一個(gè)半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知是橢圓的長(zhǎng)軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為_(kāi)_________．【題型十】截面最值【典例分析】已知長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在線段上，，平面過(guò)線段的中點(diǎn)以及點(diǎn)，若平面截長(zhǎng)方體所得截面為平行四邊形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律截面有關(guān)的最值計(jì)算，多從這三方面極限法，可通過(guò)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到兩端，計(jì)算截面最值（要注意判斷是否單調(diào)性）坐標(biāo)法，可通過(guò)建系設(shè)坐標(biāo)，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)求最值?；瘹w法，可以通過(guò)圖形轉(zhuǎn)化，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖