廣西壯族自治區(qū)貴港市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

2022年秋季期高二年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)，第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)，第二冊(cè)第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】.故選：A.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用一元一次不等式求解A，利用一元二次不等式求解B，再利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D.3.直線與平行，則（）A.－2 B.2 C.6或－1 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行與系數(shù)的關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】由題可知，直線與平行，所以，得；經(jīng)驗(yàn)證，符合題意．故選：B4.向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的投影向量求法直接得出答案.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：C.5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A.－2 B.2 C.－1 D.－4【答案】A【解析】【分析】求出，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且前n項(xiàng)和，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有所以．故選：A6.《中國(guó)居民膳食指南（2022）》數(shù)據(jù)顯不，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)19.0%.為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機(jī)構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，按，，，，分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì)該地中學(xué)生體重的中位數(shù)是（）A.50 B.52.25 C.53.75 D.55【答案】C【解析】【分析】結(jié)合頻率分布直方圖可求出頻率，即可判斷出中位數(shù)所在區(qū)間，即可求出中位數(shù).【詳解】因?yàn)?，，所以該地中學(xué)生的體重的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)該中位數(shù)為，則，解得.故選：C.7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.已知四棱錐是陽(yáng)馬，平面，且，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知條件，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?因，所以.因?yàn)?，所?故選：D.8.如圖，這是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成數(shù)列，則（）A.20099 B.20100 C.21000 D.211001【答案】B【解析】【分析】先歸納出數(shù)列的遞推公式，然后利用累加法即可求解.【詳解】由題意，，，…，所以數(shù)列的遞推公式為，且，所以.所以，故.故答案為：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.直線是圖象的一條對(duì)稱軸C.是的一個(gè)零點(diǎn)D.在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)周期公式計(jì)算判斷A，利用代入法驗(yàn)證函數(shù)的對(duì)稱軸及零點(diǎn)判斷B、C，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期，A不正確；當(dāng)時(shí)，，故直線是圖象的一條對(duì)稱軸，B正確；當(dāng)時(shí)，，故是的一個(gè)零點(diǎn)，C正確；當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以在上不單調(diào)遞增，D不正確.故選：BC.10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問(wèn)日增幾何?”其意思是：今有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共步行了一千二百六十里，求的值.關(guān)于該問(wèn)題，下列結(jié)論正確的是（）A. B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天共行走了九百一十里 D.此人前八天共行走了一千零八十里【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前9項(xiàng)和和首項(xiàng)求出公差判斷A，根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算第3項(xiàng)判斷B，根據(jù)求和公式計(jì)算前7項(xiàng)和及前8項(xiàng)和即可判斷C、D.【詳解】由題意,設(shè)此人第一天走里，第天走里，則是等差數(shù)列，，由，可得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；所以，故選項(xiàng)B正確；所以，所以，，故選項(xiàng)C、D正確.故選：BCD.11.已知雙曲線右焦點(diǎn)為，過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．若以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，則（）A.雙曲線的漸近線方程為 B.雙曲線的漸近線方程為C.雙曲線的離心率為 D.雙曲線的離心率為2【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，由為等腰直角三角形，列出方程求得及，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為，因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，可得為等腰直角三角形，又因?yàn)檫^(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，可得，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以雙曲線的離心率為，所以D正確；由，可得雙曲線的漸近線方程為，所以B正確．故選：BD.12.已知棱長(zhǎng)為2的正方體的中心為，用過(guò)點(diǎn)的平面去截正方體，則（）A.所得的截面可以是五邊形 B.所得的截面可以是六邊形C.該截面的面積可以為 D.所得的截面可以是菱形【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合平面的性質(zhì)，分類討論作出截面判斷A、B，求解正六邊形的面積判斷C，根據(jù)平行四邊形的邊長(zhǎng)相等判斷D.【詳解】一個(gè)平面去截正方體，考慮從正方體的上底面開(kāi)始截入，不妨設(shè)上底面與截面的交線為線段，截取有兩種情況，第一種情況是兩點(diǎn)分別在兩對(duì)邊上或兩相鄰邊上，如圖，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，由正方體性質(zhì)及面面平行性質(zhì)定理知截面為平行四邊形.第二種情況，如圖，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)，易知所得截面為六邊形，A錯(cuò)誤，B正確.當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，正六邊形的邊長(zhǎng)為，它的面積為，C正確.當(dāng)截面為平行四邊形時(shí)，由對(duì)稱性可知，若四邊形為菱形，則，可得，可得，可得或，可得或，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于與幾何體相關(guān)的截面問(wèn)題，做出截面是解題關(guān)鍵.我們通?？衫每臻g幾何公理及推論或?qū)ζ矫嫜由暾页龉簿€，共面關(guān)系；也利用面面平行的性質(zhì)做出截面在平行平面上的交線.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知等差數(shù)列單調(diào)遞減，若，，則公差d的一個(gè)整數(shù)取值可以是______．【答案】－4（或－3，－2，－1，只需寫(xiě)出一個(gè)答案即可）【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)遞減可知，利用通項(xiàng)公式可得即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由等差?shù)列的通項(xiàng)公式可得，即，又是單調(diào)遞減數(shù)列，所以，故d的整數(shù)取值可以是－4，－3，－2，－1．故答案為：－414.甲?乙兩人各自在1小時(shí)內(nèi)完成某項(xiàng)工作的概率分別為0.6，0.8，兩人在1小時(shí)內(nèi)是否完成該項(xiàng)工作相互獨(dú)立，則在1小時(shí)內(nèi)甲?乙兩人中只有一人完成該項(xiàng)工作的概率為_(kāi)__________.【答案】0.44##【解析】【分析】由獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式進(jìn)行求解.【詳解】由獨(dú)立事件概率乘法公式可得：甲完成而乙沒(méi)有完成工作的概率為，乙完成工作而甲沒(méi)有完成的概率為，故概率為.故答案為：0.4415.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，，即可求解.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，故.故答案為：.16.已知正數(shù)是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理并整理得，利用基本不等式中常數(shù)代換即可求解最小值.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9.故答案為：9.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊.已知.（1）求；（2）若，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊換角，再用和差公式化簡(jiǎn)，代入倍角公式即可求解；（2）利用余弦定理的變形公式代入即可求解.【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理得：，，，，即：【小問(wèn)2詳解】，，①，又②，③，聯(lián)立①②③解得：，，.即的周長(zhǎng)為：16.18.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用得，再根據(jù)累乘法可求出；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，，又時(shí)，也符合，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，所以，，所以，所以，所以.19.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上及焦半徑公式，列方程組求解即可；（2）設(shè)出坐標(biāo)，代入拋物線方程，結(jié)合弦中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法即可求得直線的斜率.【小問(wèn)1詳解】由題可知，，解得，故拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，兩式相減得，即.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，故直線的斜率為2.20.如圖，在三棱柱中，平面，，是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是棱，AC，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面ADE與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由線線平行證明面面平行，再由面面平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解兩平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接BD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱AC，BC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)镈，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)槠矫鍭BD，且，所以平面平面.因?yàn)槠矫鍭BD，所以平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，易證，，OE兩兩垂直，則以O(shè)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，從而，，，.設(shè)平面ADE的法向量為，則令，得，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則.21.已知圓.（1）若過(guò)點(diǎn)向圓作切線，求切線的方程；（2）若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）或（2）8【解析】【分析】（1）分類討論，當(dāng)切線的斜率不存在，易求的方程為；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，然后利用點(diǎn)到直線距離等于半徑建立方程求解即可；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)，利用三點(diǎn)共線的性質(zhì)求解即可.【小問(wèn)1詳解】若切線的斜率不存在，則的方程為；若切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即.因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到的距離為3，即，解得，所以切線的方程為，即.綜上，切線的方程為或.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以．設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，即因?yàn)?，所?因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以，故的最大值為.22.已知橢圓離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長(zhǎng)為3．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用橢圓的通徑公式以及離心率求出橢圓的方程即可；（2）設(shè)直線的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，利用三角形面積公式用表