【2】考點梳理：勾股定理必考點全梳理

實用文檔趙爽弦圖求值解決此類問題要熟練運用勾股定理及完全平方公式，結(jié)合趙爽弦圖利用面積之間的關(guān)系即可解決問題.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝8，小正方形的面積為9，則大正方形的邊長為（）A．9 B．6 C．5 D．4【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出大正方形的邊長．【解析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，∵每一個直角三角形的面積為：12ab=12×8＝4，∴大正方形的面積為：4×12ab+（a﹣b【小結(jié)】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，基礎(chǔ)題型．如圖，由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，若大正方形面積是9，小正方形面積是1，直角三角形較長直角邊為a，較短直角邊為b，則ab的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)小正方形、大正方形的面積可以列出方程組，通過完全平方公式的變形公式來求ab即可．【解析】由題意：大正方形面積9，小正方形的面積是1，直角三角形較長直角邊為a，較短直角邊為b，即a2+b2＝9，a﹣b＝1，所以ab=12[（a2+b2）﹣（a﹣b）2]=12解法2，4個三角形的面積和為9﹣1＝8；每個三角形的面積為2；則12ab＝2；所以ab＝4，選A．【小結(jié)】本題考查了勾股定理在直角三角形中的靈活運用，考查了正方形面積的計算，本題中列出方程組并求解是解題的關(guān)鍵．如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)面積的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．【解析】∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，∴四個直角三角形面積和為100﹣4＝96，設AE為a，DE為b，即4×12ab∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．選C．【小結(jié)】此題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是應用直角三角形中勾股定理的運用解得ab的值．如圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短的直角邊長為a，較長的直角邊長為b，那么a+b的值為．【分析】根據(jù)勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據(jù)（a+b）2＝a2+2ab+b2，即可求得a+b的值．【解析】根據(jù)勾股定理可得a2+b2＝13，四個直角三角形的面積是：12ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，則（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，則a+b＝5．故答案為：5．【小結(jié)】本題考查勾股定理，以及完全平方式，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得a2+b2和ab的值是關(guān)鍵．勾股定理的驗證勾股定理的驗證，能根據(jù)圖形中各個部分的面積列出等式是解此類題的關(guān)鍵.下面各圖中，不能證明勾股定理正確性的是（）A．B． C．D．【分析】先表示出圖形中各個部分的面積，再判斷即可．【解析】A、∵12ab+c2+12ab=12（a+b）（a+b），∴整理得：a2+bB、∵4×12ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝cC、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項符合題意；D、∵4×12ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，不符合題意；選【小結(jié)】本題考查了勾股定理的證明，能根據(jù)圖形中各個部分的面積列出等式是解此題的關(guān)鍵．“趙爽弦圖”巧妙地利用“出入相補”的方法證明了勾股定理．小明受此啟發(fā)，探究后發(fā)現(xiàn)，若將4個直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形拼成如圖所示的五邊形，用等積法也可以證明勾股定理，則小明用兩種方法表示五邊形的面積分別是（用含有a、b、c的式子表示），．【分析】五邊形的面積＝邊長為c的正方形面積+2個全等的直角邊分別為a，b的直角三角形的面積，或五邊形的面積＝邊長為c的正方形面積+邊長為c的正方形面積+2個全等的直角邊分別為a，b的直角三角形的面積，依此列式計算即可求解．【解析】如圖所示：①S＝c2+12ab×2＝c2+ab，②S＝a2+b2+12ab×2＝a2+b2故答案為：c2+ab，a2+b2+ab．【小結(jié)】本題考查利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長的關(guān)系進行組合圖形．如圖（1）是用硬板紙做成的兩個全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c，請你開動腦筋，將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形．（1）畫出拼成的這個圖形的示意圖，并用這個圖形證明勾股定理；（2）假設圖（1）中的直角三角形有若干個，你能運用圖（1）中所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖（無需證明）【分析】（1）此題要由圖中給出的三個三角形組成一個梯形，而且上底和下底分別為a，b，高為a+b；此題主要是利用梯形的面積和三角形的面積公式進行計算，根據(jù)圖中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；（2）此題的方法很多，這里只舉一種例子，即把四個直角三角形組成一個正方形．【解析】（1）如圖所示，是梯形；由上圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=12（a+b）（a+b從上圖我們還發(fā)現(xiàn)梯形的面積＝三個三角形的面積，即12ab+12ab+1兩者列成等式化簡即可得：a2+b2＝c2；（2）畫邊長為（a+b）的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的證明，此題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，由等量關(guān)系求證勾股定理．（1）教材在探索平方差公式時利用了面積法，面積法可以幫助我們直觀地推導或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4×12ab+（a﹣b）2，所以4×12ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推導出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c2．圖②（2）試用勾股定理解決以下問題：如果直角三角形ABC的兩直角邊長為3和4，則斜邊上的高為．（3）試構(gòu)造一個圖形，使它的面積能夠解釋（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，畫在上面的網(wǎng)格中，并標出字母a，b所表示的線段．【分析】（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡即可得證；（2）由兩直角邊，利用勾股定理求出斜邊長，再利用面積法即可求出斜邊上的高；（3）已知圖形面積的表達式，即可根據(jù)表達式得出圖形的邊長的表達式，即可畫出圖形．【解析】（1）梯形ABCD的面積為12（a+b）（a+b）=12a2+ab+1也利用表示為12ab+12c2+12ab，∴12a2+ab+12b2=12ab+12c2+（2）∵直角三角形的兩直角邊分別為3，4，∴斜邊為5，∵設斜邊上的高為h，直角三角形的面積為12×3×4=12×5×（3）∵圖形面積為：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，∴邊長為a﹣2b，由此可畫出的圖形為：【小結(jié)】此題考查了勾股定理的證明，勾股定理，多項式的乘法的運用以及由多項式畫圖形的創(chuàng)新題型，此類證明要轉(zhuǎn)化成同一個物體的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達到證明的結(jié)果．勾股定理的應用之求面積解決此類問題要善于將面積中的平方式子與勾股定理中的平方式子建立聯(lián)系.如圖，分別以直角△ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（）A．9 B．5 C．53 D．45【分析】根據(jù)勾股定理與正方形的性質(zhì)解答．【解析】在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∴S1＝S2+S3．∵S2＝7，S3＝2，∴S1＝7+2＝9．選A．【小結(jié)】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如圖，所有的四邊形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長為13cm，則圖中所有的正方形的面積之和為（）A．169cm2 B．196cm2 C．338cm2 D．507cm2【分析】根據(jù)勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形3，等量代換即可求所有正方形的面積之和．【解析】如右圖所示，根據(jù)勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形，S正方形A+S正方形E＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝S正方形1，則S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝3S正方形1＝3×132＝3×169＝507（cm2）．選D．【小結(jié)】本題考查了勾股定理．有一定難度，注意掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了下圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2019次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A．1 B．2018 C．2019 D．2020【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，知“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是2×1＝2；“生長”2次后，所有的正方形的面積和是3×1＝3，推而廣之即可求出“生長”2019次后形成圖形中所有正方形的面積之和．【解析】設直角三角形的是三條邊分別是a，b，c．根據(jù)勾股定理，得a2+b2＝c2，即正方形A的面積+正方形B的面積＝正方形C的面積＝1．推而廣之，“生長”了2019次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2020×1＝2020．選D．【小結(jié)】能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到新正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算術(shù)《周髀算經(jīng)》中早有記載．以直角三角形紙片的各邊分別向外作正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片按如圖的方式放置在最大正方形紙片內(nèi)．若已知圖中陰影部分的面積，則可知（）A．直角三角形紙片的面積 B．最大正方形紙片的面積 C．最大正方形與直角三角形的紙片面積和 D．較小兩個正方形紙片重疊部分的面積【分析】根據(jù)勾股定理得到c2＝a2+b2，根據(jù)正方形的面積公式、長方形的面積公式計算即可．【解析】設直角三角形的斜邊長為c，較長直角邊為b，較短直角邊為a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，陰影部分的面積＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），較小兩個正方形重疊部分的寬＝a﹣（c﹣b），長＝a，則較小兩個正方形重疊部分底面積＝a（a+b﹣c），∴知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小兩個正方形重疊部分的面積，選D．【小結(jié)】考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．勾股定理的應用之面積法求斜邊高解決此類問題要善于利用等積法求解.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，則CD的長是（）A．5 B．7 C．125 D．24【分析】首先利用勾股定理計算出AB的長，再根據(jù)三角形的面積公式計算出CD的長即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=42∵12×AC×BC=12×CD×AB，∴12×3×4=12【小結(jié)】此題主要考查了勾股定理，以及三角形的面積，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如圖所示，在△ABC中，點D是BC上的一點，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD=52，則△ABCA．18 B．36 C．72 D．125【分析】先作輔助線，AE⊥CD于點E，CF⊥AD于點F，然后根據(jù)勾股定理，可以得到CF的長，再根據(jù)等積法可以得到AE的長，然后即可計算出△ABC的面積．【解析】作AE⊥CD于點E，作CF⊥AD于點F，∵AC＝CD＝5，AD＝6，CF⊥AD，∴AF＝3，∠AFC＝90°，∴CF=AC∵CD?AE2=AD?CF2，∴5AE2∵BD=52，CD＝5，∴BC=152，∴△ABC的面積是：BC?AE【小結(jié)】本題考查勾股定理、等腰三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．如圖，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P為直線AB上一動點，連接PC，則線段PC的最小值是．【分析】作CP⊥AB于P，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式求出PC．【解析】作CP⊥AB于P，由垂線段最短可知，此時PC最小，由勾股定理得，AB=BCS△ABC=12×AC×BC=12×AB×PC，即12×3×4=1【小結(jié)】本題考查的是勾股定理、垂線段最短，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD長為12，則△ABC的面積為（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84【分析】由于高的位置是不確定的，所以應分情況進行討論．【解析】（1）△ABC為銳角三角形，高AD在△ABC內(nèi)部．BD=AB2?AD2∴△ABC的面積為12×（2）△ABC為鈍角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5∴△ABC的面積為12×（9﹣5）×12＝24．選C【小結(jié)】本題需注意當高的位置是不確定的時候，應分情況進行討論．勾股定理的應用之方程思想解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求解線段長度，選擇直角三角形借助勾股定理構(gòu)造方程是解這類問題通用方法.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°．點D為BC邊上一點，線段AD將Rt△ABC分為兩個周長相等的三角形．若CD＝2，BD＝6，求△ABC的面積．【分析】由題意得出AC+CD+AD＝AD+BD+AB．得出AC＝AB+4，設AB＝x，則AC＝4+x．在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出AB＝6，由三角形面積公式即可得出答案．【解析】根據(jù)題意可知，△ACD與△ADB的周長相等，∴AC+CD+AD＝AD+BD+AB．∴AC+CD＝BD+AB．∵CD＝2，BD＝6，∴AC+2＝6+AB，BC＝CD+BD＝8，∴AC＝AB+4，設AB＝x，則AC＝4+x．在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+4）2．∴x2+64＝16+x2+8x．∴x＝6．∴S=12【小結(jié)】本題考查了勾股定理以及三角形面積；熟練掌握勾股定理，求出AC＝AB+4是解題的關(guān)鍵．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB邊上的高．求線段AD的長．【分析】設AD＝x，根據(jù)CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，構(gòu)建方程即可解決問題．【解析】設AD＝x∵CD⊥AB，∴∠D＝90°，∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x=75∴AD=75【小結(jié)】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．已知在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點E，且BE2﹣AE2＝AC2．（1）求∠A的度數(shù)；（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的長．【分析】（1）連接CE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度數(shù)；（2）設AE＝x，則AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到關(guān)于x的方程求解AE值．【解析】（1）連接CE，∵D是BC的中點，DE⊥BC，∴CE＝BE．∵BE2﹣AE2＝AC2，∴AE2+AC2＝CE2．∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；（2）在Rt△BDE中，BE=BD2+DE2設AE＝x，則在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2，所以AC2＝25﹣x2．∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8．在Rt△ABC中，根據(jù)BC2＝AB2+AC2，即64＝（5+x）2+25﹣x2，解得x＝1.4．即AE＝1.4．【小結(jié)】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求解線段長度，選擇直角三角形借助勾股定理構(gòu)造方程是解這類問題通用方法．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點P從點A出發(fā)以每秒1cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運動，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）若點P在AC上，且滿足PA＝PB時，求出此時t的值；（2）若點P恰好在∠BAC的角平分線上（但不與A點重合），求t的值．【分析】（1）設存在點P，使得PA＝PB，此時PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；（2）當點P在∠CAB的平分線上時，如圖1，過點P作PE⊥AB于點E，此時BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解析】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，則由勾股定理得到：AC=AB2?B設存在點P，使得PA＝PB，此時PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（8﹣t）2+62＝t2，解得：t=254，∴當t=254時，PA（2）當點P在∠BAC的平分線上時，如圖，過點P作PE⊥AB于點E，此時BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2，解得：t=323∴當t=323時，P在△ABC【小結(jié)】考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．勾股定理的逆定理之判斷直角三角形如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.下列條件中，不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．a(chǎn)：b：c＝5：12：13 B．∠A+∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 D．a(chǎn)＝6，b＝12，c＝10【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方或最大角是否是90°即可．【解析】A、∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，故能判定△ABC是直角三角形；B、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∴∠C=52+3+5×180°＝90°，故能判定△D、∵62+102≠122，∴△ABC不是直角三角形，故不能判定△ABC是直角三角形；選D．【小結(jié)】本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定義判斷．在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，則不能作為判定△ABC是直角三角形的條件的是（）A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：4：3 C．a(chǎn)：b：c＝7：24：25 D．a(chǎn)：b：c＝4：5：6【分析】由直角三角形的定義，只要驗證最大角是否是90°；由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方即可．【解析】A、由∠A＝∠B﹣∠C得到：∠B＝∠A+∠C，所以∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；B、∠A：∠B：∠C＝1：4：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，則∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；C、因為72+242＝252，所以能判定△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；D、因為42+52≠62，所以不能判定△ABC是直角三角形，故本選項符合題意；選D．【小結(jié)】本題主要考查三角形內(nèi)角和及勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°【分析】根據(jù)直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【解析】A、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，選項正確；B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，選項正確；C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，滿足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，選項正確；D、如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，選項錯誤；選D．【小結(jié)】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有A、B兩個格點，試取格點C，使得△ABC是直角三角形，則這樣的格點C的個數(shù)是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可．【解析】如圖所示：格點C的個數(shù)是8，選C．【小結(jié)】此題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)△ABC是直角三角形得出多種情況解答．勾股定理的逆定理之求面積）如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.如圖，四邊形ABCD的四邊，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，對角線AC⊥BC．求四邊形ABCD的面積．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACD的形狀，然后利用S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD求解即可．【解析】∵AB＝13，BC＝12，AC⊥BC，∴AC2＝AB2﹣BC2＝132﹣122＝25，∵CD2+AD2＝42+32＝25，∴CD2+AD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD=12AC?BC+12AD?CD=【小結(jié)】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積；熟練掌握直角三角形面積的求法，利用勾股定理的逆定理判斷△ACD為直角三角形是解題關(guān)鍵．如圖，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，點B是CD延長線上一點，連接AB，若AB＝20．求：△ABD的面積．【分析】由勾股定理的逆定理證明△ADC是直角三角形，∠C＝90°，再由勾股定理求出BC，得出BD，即可得出結(jié)果．【解析】在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，AC2+DC2＝122+92＝152＝AD2，即AC2+DC2＝AD2，∴△ADC是直角三角形，∠C＝90°，在Rt△ABC中，BC=AB∴BD＝BC﹣DC＝16﹣9＝7，∴△ABD的面積=12【小結(jié)】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝12cm，BC＝13cm，求四邊形ABCD的面積．【分析】連接BD，利用勾股定理求出BD的長，在△BDC中，判斷它的形狀，并求出它的面積，最后求出四邊形ABCD的面積．【解析】連接BD，∵AD＝4cm，AB＝3cm，AB⊥AD，∴BD=AD2+A∴S△ABD=12AB?AD＝6（cm2在△BDC中，∵52+122＝132，即BD2+BC2＝CD2，∴△BDC為直角三角形，即∠DBC＝90°，∴S△DBC=12BD?BC＝30（cm2）．∴S四邊形ABCD＝S△BDC﹣S△ABD＝30﹣6＝24（cm2【小結(jié)】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面積公式．掌握勾股定理及其逆定理，連接AC，說明△ABC是直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求：（1）∠A+∠C的度數(shù)；（2）四邊形ABCD的面積．【分析】（1）連接AC，根據(jù)勾股定理計算出AC長，再利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，然后再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得∠A+∠C的度數(shù)；（2）利用△ACD和△ABC的面積求和即可．【解析】（1）連接AC，∵∠B＝90°，∴AC=AB∵242+72＝252，∴∠D＝90°，∴∠DAC+∠DCB＝360°﹣90°×2＝180°；（2）四邊形ABCD的面積＝S△ACD+S△ACB=12×24×7【小結(jié)】考查勾股定理和勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方；如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．勾股數(shù)相關(guān)問題勾股數(shù)的求法：如果a為1個大于1的奇數(shù)，b，c是兩個連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).下列各組數(shù)據(jù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，6，9【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)解答即可．【解析】A、32+42＝52，是勾股數(shù)；B、72+242＝252，是勾股數(shù)；C、82+152＝172，是勾股數(shù)；D、52+62≠92，不是勾股數(shù)．選D．【小結(jié)】本題考查了勾股數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握三個數(shù)必須是正整數(shù)，且滿足a2+b2＝c2．在學習“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…則當a＝20時，b+c的值為（）A．162 B．200 C．242 D．288【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)確定a、b、c的關(guān)系，然后再代入a＝20求出b、c的值，進而可得答案．【解析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，則a2+b2＝（b+2）2，當a＝20時，202+b2＝（b+2）2，解得：b＝99，則c＝99+2＝101，∴b+c＝200，選B．【小結(jié)】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是注意觀察表格中的數(shù)據(jù)，確定a、b、c的數(shù)量關(guān)系．如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2＝c2，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)，某同學將自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（）A．47 B．62 C．79 D．98【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，進而得出x+y的值．【解析】由題可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴當c＝n2+1＝65時，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，選C．【小結(jié)】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．三個正整數(shù)a，b，c，如果滿足a2+b2＝c2，那么我們稱這三個數(shù)a，b，c叫做一組勾股數(shù)．如32+42＝52，則3，4，5就是一組勾股數(shù)．請寫出與3，4，5不同的一組勾股數(shù)．【分析】根據(jù)題中所給勾股數(shù)的定義寫出一組即可，注意答案不唯一．【解析】與3，4，5不同的一組勾股數(shù)可以為6，8，10．故答案為6，8，10（答案不唯一）．【小結(jié)】本題考查了勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．注意：①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到的三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…勾股定理的實際應用之梯子問題如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7米，梯子頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離A'D為1.5米，則小巷的寬為（）A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長，再在Rt△A′BD中利用勾股定理計算出BD長，然后可得CD的長．【解析】在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2在Rt△A′BD中，BD=A'B2?A'D2=2．【小結(jié)】此題主要考查了勾股定理的應用，關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求有關(guān)線段的長度的方法．如圖，一個梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，測得AO＝8米．若梯子的頂端沿墻面向下滑動2米，這時梯子的底端在水平的地面也恰好向外移動2米，則梯子AB的長度為（）A．10米 B．6米 C．7米 D．8米【分析】首先設BO＝x米，則DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO長，然后再利用勾股定理計算出AB長．【解析】由題意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，設BO＝x米，則DO＝（x+2）米，由題意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，AB=82+6【小結(jié)】此題主要考查了勾股定理的應用，關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如圖1，一架云梯斜靠在一豎直的墻上，云梯的頂端距地面15米，梯子的長度比梯子底端離墻的距離大5米．（1）這個云梯的底端離墻多遠？（2）如圖2，如果梯子的頂端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑動了多少米？【分析】（1）由題意OA＝15米，AB﹣OB＝5米，根據(jù)OA2+OB2＝AB2，可求出梯子底端離墻有多遠；（2）由題意此時CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理可得出此時OD，繼而能和（1）的OB進行比較．【解析】（1）根據(jù)題意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2，解得：OB＝20，（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，根據(jù)題意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：OD=CD2?O答：梯子的底部在水平方向滑動了4米．【小結(jié)】考查勾股定理得應用，關(guān)鍵是正確理解題意，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如圖，小巷左石兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7米，梯子頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離A′D為1.5米，求小巷有多寬．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，同理可得出BD的長，進而可得出結(jié)論．【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B′2，∴BD2+1.52＝6.25，∴BD2＝4．∵BD＞0，∴BD＝2米．∴CD＝BC+BD＝0.7+2＝2.7米．【小結(jié)】考查勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想應用．勾股定理的實際應用之九章算術(shù)《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學專著，它的出現(xiàn)標志中國古代數(shù)學形成了完整的體系．“折竹抵地”問題源自《九章算術(shù)》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的長．AC的長為（）A．3尺 B．4.2尺 C．5尺 D．4尺【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，利用勾股定理解題即可．【解析】設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2．解得：x＝4.2，∴折斷處離地面的高度為4.2尺，選B．【小結(jié)】此題考查了勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題．《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸【分析】畫出直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解析】如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r，DE＝10，OE=12CD＝1，AE＝rRt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，選C【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地四尺．引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木根部8尺處時繩索用盡，問繩索長是多少？根據(jù)題意求出繩索長為尺．【分析】設繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【解析】設繩索長為x尺，根據(jù)題意得：x2﹣（x﹣4）2＝82，解得：x＝10。答：繩索長為10尺．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2020?吉州區(qū)一模）《九章算術(shù)》第九章勾股篇中記載：“今有開門去閫（kun）一尺，不合二寸，問門廣幾何？”其大意是：今推開雙門，門框到門檻的距離（稱為“去閫”）DF為一尺，雙門之間的縫隙（稱為“不合”）EF即為2寸（注：一尺為10寸），則門寬AB為尺．【分析】解答此題的關(guān)鍵是弄清題意，體會古代語言和現(xiàn)代語言的區(qū)別，將問題轉(zhuǎn)化為勾股定理來解答．【解析】設單門的寬度是x米，根據(jù)勾股定理，得x2＝1+（x﹣0.1）2，解得：x＝5.05，則2x＝10.1尺，【小結(jié)】考查勾股定理的應用，此題的難點在于理解題意，能夠找到直角三角形，根據(jù)勾股定理進行計算．

勾股定理的實際應用之范圍影響如圖，公路MN和公路PQ在點P處交會，公路PQ上點A處有學校，點A到公路MN的距離為80m，現(xiàn)有一卡車在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行駛，卡車行駛時周圍100m以內(nèi)都會受到噪音的影響，請你算出該學校受影響的時間多長？【分析】設拖拉機開到C處剛好開始受到影響，行駛到D處時結(jié)束，在Rt△ACB中求出CB，繼而得出CD，再由拖拉機的速度可得出所需時間．【解析】設拖拉機開到C處剛好開始受到影響，行駛到D處時結(jié)束了噪聲的影響．則有CA＝DA＝100m，在Rt△ABC中，CB=1002?802=60（m），∴CD＝2【小結(jié)】考查勾股定理應用，解答本題關(guān)鍵是掌握勾股定理，畫出示意圖，另外需掌握時間＝路程÷速度．在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破．已知點C與公路上的停靠站A的距離為600米，與公路上另一?？空綛的距離為800米，且CA⊥CB，如圖，為了安全起見，爆破點C周圍半徑400米范圍內(nèi)不得進入．問在進行爆破時，公路AB段是否有危險，是否需要暫時封鎖？請通過計算進行說明．【分析】過C作CD⊥AB于D．根據(jù)CA⊥CB，得出∠ACB＝90°，利用根據(jù)勾股定理有AB＝1000米．利用S△ABC=12AB?CD=12BC?AC【解析】公路AB不需要暫時封鎖．理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于D．∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，因為BC＝800米，AC＝600米，所以AB=800因為S△ABC=12AB?CD=12BC?AC，所以由于400米＜480米，故沒有危險，因此AB段公路不需要暫時封鎖．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形的性質(zhì)求出CD的長．某條道路限速70km/h，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30m的C處，過了2s，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？【分析】求小汽車是否超速，其實就是求BC的距離，直角三角形ABC中，有斜邊AB的長，有直角邊AC的長，那么BC的長就很容易求得，根據(jù)小汽車用2s行駛的路程為BC，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了．【解析】在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；據(jù)勾股定理可得：BC=AB2?A∴小汽車的速度為v=402=20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/∵72（km/h）＞70（km/h）；∴這輛小汽車超速行駛．答：這輛小汽車超速了．【小結(jié)】本題是將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學問題，可把條件和問題放到直角三角形中，進行解決．要注意題目中單位的統(tǒng)一．為了積極響應國家新農(nóng)村建設，遂寧市某鎮(zhèn)政府采用了移動宣講的形式進行宣傳動員．如圖，筆直公路MN的一側(cè)點A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離為600米，假使宣講車P周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車P在公路MN上沿PN方向行駛時：（1）請問村莊能否聽到宣傳，請說明理由；（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是200米/分鐘，那么村莊總共能聽到多長時間的宣傳？【分析】（1）根據(jù)村莊A到公路MN的距離為600米＜1000米，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到結(jié)論．【解析】（1）村莊能否聽到宣傳，理由：∵村莊A到公路MN距離為600米＜1000米，∴村莊能聽到宣傳；（2）如圖：假設當宣講車行駛到P點開始影響村莊，行駛QD點結(jié)束對村莊的影響，則AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ=10002?600∴影響村莊的時間為：1600÷200＝8分鐘，∴村莊總共能聽到8分鐘的宣傳．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應用，解題時結(jié)合生活實際，便于更好的理