專題07 三角形綜合【有答案】

專題07三角形綜合一填空題（合肥168中一模）如圖，OA⊥OB，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是(????)A.20°B.40°C.50°D.60°

【解析】：∵OA⊥OB，∠1=40°，

∴∠2=90°-∠1=90°-40°=50°．

2.（合肥市天鵝湖教育集團一模）如圖，已知AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，EG平分∠BEF，若∠1＝48°，則∠2的度數(shù)是（）A.64° B.65° C.66° D.67°【解析】∵AB∥CD，∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣48°＝132°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝132°÷2＝66°，∴∠2＝∠BEG＝66°．故選C．3.(唐山市遵化市一模)如圖，將一塊三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，當∠1=35°時，∠2的度數(shù)為(????)A.35° B.45° C.55° D.65°【解析】解：∵直尺的兩邊互相平行，∠1=35°，

∴∠3=35°．

∵∠2+∠3=90°，

∴∠2=55°．

故選：C．4.（合肥168中一模）如圖，已知l1//l2//l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰△ABCA.13 B.617 C.5【解析】解：如圖，過點A作AD⊥l1于D，過點B作BE⊥l1于E，設(shè)l1，l2，l3間的距離為1，

∵∠CAD+∠ACD=90°，

∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

在等腰直角△ABC中，AC=BC，

在△ACD和△CBE中，

∠CAD=∠BCE∠ADC=∠BEC=90°AC=BC，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，A．36° B．45° C．60° D．90°【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，故選：C．6.(唐山市遵化市一模)如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．以點D為圓心，適當長為半徑畫弧，交DA于點G，交DC于點H.再分別以點G、H為圓心，大于12GH的長為半徑畫弧，兩弧在∠ADC內(nèi)部交于點Q，連接DQ并延長與A.等腰三角形 B.等邊三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角【解析】：根據(jù)畫圖過程可知：

DF平分∠ADC，

∴∠ADF=∠CDF，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵AM是△ABC外角∠CAE的平分線，

∴∠EAM=∠CAM，

∵∠EAC=∠B+∠ACB，

∴∠EAF=∠B，

∴AF//BC7.(江西省初中名校聯(lián)盟一模)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)θ角到△DEC的位置，這時點B恰好落在邊DEA.60° B.45° C.30° D.55【解析】：∵∠ABC=90°，B為DE的中點，

∴BC=BE=BD，

∵將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)θ角到△DEC的位置，

∴CB=CE，

∴CB=8.（廣東省北江實驗學校一模）.如圖，已知DE∥BC，CD和BE相交于點O，S△DOE∶S△COB=9∶16，則DE∶BC為（

）A.2∶3

B.3∶4

C.9∶16

D.1∶2【解析】.DE∥BC，∴△DOE∽△COB，

∴S△DOES△COB=(DEBC)2故答案為：B.9.(無錫市四席聯(lián)考一模)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D是AB的中點，點P是直線BC上一點，將△BDP沿DP所在的直線翻折后，點B落在B1處，若A.1B.54C.1或

3D.54或【解析】：如圖，若點B1在BC左側(cè)，

∵∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=32+42=5，

∵點D是AB的中點，

∴BD=12AB=52，

∵B1D⊥BC，∠C=90°

∴B1D/?/AC，

BDAB=BEBC=DEAC=12，

∴BE=EC=12BC=2，DE=二填空題10.（廣東省北江實驗學校一模）.如圖，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，則∠3=________°.【解析】如圖，∵m∥n，∠1=110°，∴∠4=70°.∵∠2=100°，∴∠5=80°，∴∠3=∠4+∠5=70°+80°=150°.故答案為：150.

11.(江西省初中名校聯(lián)盟一模)如圖l1/?/l2/?/l3，若ABBC=32，DF=10，則DE=______．

【解析】：∵l1/?/l2/?/l3，12（蕪湖市一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，點D是邊AC上的一點，∠ABD＝45°，CD＝1，則AD的長為．【解析】：作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，BC＝3，CD＝1，∴BD＝＝＝，在Rt△BDE中，∠ABD＝45°，∴BE＝DE＝BD＝，∵∠EAD＝∠CAB，∠AED＝∠C＝90°，∴△AED∽△ACB，∴＝設(shè)AD＝x，AE＝y(tǒng)，∴＝，∴y＝（x+1），在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2∴（y+）2＝（x+1）2+9，∴（x+）2＝（x+1）2+9，整理得2x2﹣11x+5＝0，解得x＝5或x＝（舍去），∴AD＝5，故答案為5．13.（宿州市一模）把兩個同樣大小含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點A，且另外三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB＝2，則CD＝．【解答】解：如圖，過點A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝，∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，DF＝＝，∴CD＝BF+DF﹣BC＝+﹣2＝﹣，故答案為：﹣．三解答題14.(江西省初中名校聯(lián)盟一模)如圖，△EBD和△ABC都是等腰直角三角形，△BDE的斜邊BD落在△ABC的斜邊BC上，直角邊BE落在邊AB上．

(1)當BE=1時，求BD的長．

(2)如圖，將△FBD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使BD恰好平分∠ABC，DE交于點F，延長ED交BC于點M．

①當BE=1時，求EM長．

②【解析】(1)∵△EBD是等腰直角三角形，

∴∠BED=90°，

∵DE=BE=1，

∴BD=BE2+DE2=12+12=2．

(2)①∵△BDE，△ABC都是等腰直角三角形，

∴∠EBD=∠EDB=∠ABC=∠C=45°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBM=∠DBF=∠EBF=22.5°，

∵∠EBD=∠EDB=45°15.（合肥市天鵝湖教育集團一模）如圖，在中，AB<AC，點D、F分別為BC、AC的中點，E點在邊AC上，連接DE，過點B作DE的垂線交AC于點G，垂足為點H，且與四邊形ABDE的周長相等，設(shè)AC=b，AB=c．（1）求線段CE的長度；（2）求證：DF=EF；（3）若，求的值．【解析】（1）∵與四邊形ABDE的周長相等，點D為BC的中點，∴AE+AB=CE，∵AE+AB+CE=AB+AC=b+c，∴CE==；（2）∵點D、F分別為BC、AC的中點，∵DF是△CAB的中位線，∴DF=AB=c，AF=CF=AC=b，∵CE=，∴EF=CE-CF=?b=c，∴DF=EF；（3）連接BE、DG，設(shè)BG，DF交于點M，∵S△BDH=S△EGH，∴S△BDG=S△DEG，∴BE∥DG，∴∠EBC=∠GDC，∵DF是△CAB的中位線，∴DF∥AB，∴∠ABC=∠FDC，∠A=∠DFC，∴∠ABC-∠EBC=∠FDC-∠GDC，即：∠ABE=∠FDG，∴△ABE∽△FDG，∴，∵AE=AC-CE=b-=(b?c)∴FG=AE=×(b?c)=(b?c)，∵DF=EF，∴∠FED=∠FDE，∵BG⊥DE，∴∠FED+∠EGH=∠FDE+∠DMH=90°，∴∠EGH=∠DMH，又∵∠DMH=∠FMG，∴∠EGH=∠FMG，又∵∠FMG=∠ABG，∴∠EGH=∠ABG，∴AB=AG=c，∴CG=b?c，∴CF=b=FG+CG=(b?c)+(b?c)，∴3b=5c，∴=．16.（合肥168中一模）(1)如圖1，E是正方形ABCD邊AB上的一點，連接BD、DE，將∠BDE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G．

①線段DB和DG的數(shù)量關(guān)系是______；

②寫出線段BE，BF和DB之間的數(shù)量關(guān)系．

(2)當四邊形ABCD為菱形，∠ADC=60°，點E是菱形ABCD邊AB所在直線上的一點，連接BD、DE，將∠BDE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G．

①如圖2，點E在線段AB上時，請?zhí)骄烤€段BE、BF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并給出證明；

②如圖3，點E在線段AB的延長線上時，DE交射線BC于點M，若BE=1，AB=2【解析】(1)①DB=DG；

②BF+BE=2BD，理由如下：

由①知：∠FDG=∠EDB，∠G=∠DBE=45°，BD=DG，

∴△FDG≌△EDB(ASA)，

∴BE=FG，

∴BF+FG=BF+BE=BC+CG，

Rt△DCG中，∵∠G=∠CDG=45°，

∴CD=CG=CB，

∵DG=BD=2BC，

即BF+BE=2BC=2BD；

(2)①如圖2，BF+BE=3BD，

理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB=∠CDB=12∠ADC=12×60°=30°，

由旋轉(zhuǎn)120°得∠EDF=∠BDG=120°，∠EDB=∠FDG，

在△DBG中，∠G=180°-120°-30°=30°，

∴∠DBG=∠G=30°，

∴DB=DG，

∴△EDB≌△FDG(ASA)，

∴BE17.（淮北市名校聯(lián)考一模）(1)如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AP、BP分別平分∠CAB、∠CBA，過點P作DE//AB交AC于點D，交BC于點E．

①求證：點P是線段DE的中點；

②求證：BP2=BE?BA．

(2)如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，BP平分∠【解析】(1)①證明：∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP=∠CBP，

∵DE//AB，

∴∠ABP=∠EPB，

∴∠CBP=∠EPB，

∴BE=PE，

同理可證：DP=DA，

∵DE//AB，

∴CECB=CDCA，

∵CA=CB，

∴CE=CD，

∴BE=AD，

∴PE=PD，

∴點P是DE的中點．

②證明：由①得∠ABP=∠EBP=∠EPB=12∠CBA，

∵AP平分∠CAB，

∴∠PAB=12∠CAB，

∵CA=CB，

∴∠CBA=∠CAB，

∴∠ABP=∠EBP=∠EPB=∠PAB，

∴△ABP∽△PBE，

∴BPBA=BEBP，

∴BP2=BA?BE．

(2)過點P作FG//AC交18.（南通市崇川區(qū)啟秀中學一模）(1)如圖1，已知△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，求證：DE//BC，DE=12BC．

(2)利用第(1)題的結(jié)論，解決下列問題：

①如圖2，在四邊形ABCD中，AD//BC，E、F分別是AB、CD的中點，

求證：EF//BC，F(xiàn)E=12(AD+BC)

②如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3【解析】(1)證明：如圖1中，延長DE到點F，使得EF=DE，連接CF，

在△ADE和△CFE中，

AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，

∴△ADE≌△CFE(SAS)，

∴∠A=∠ECF，AD=CF，

∴CF//AB，

又∵AD=BD，

∴CF=BD，

∴四邊形BCFD是平行四邊形，

∴DF=BC，

∵EF=DE，

∴DE=12DF=12BC．

(2)①證明：如圖2中，連接AF并延長，交BC延長線于點M．

∵AD//BC，

∴∠D=∠FCM，

∵F是CD中點，

∴DF=CF，

在△ADF和△MCF中，

∠D=∠FCMDF=CF∠AFD=∠19.(江西省初中名校聯(lián)盟一模)(1)方法導引：

問題：

如圖1，等邊三角形ABC的邊長為6，點O是∠ABC和∠ACB的角平分線交點，∠FOG=120°，繞點O任意旋轉(zhuǎn)∠FOG，分別交△ABC的兩邊于D，E兩點求四邊形ODBE的面積．

討論：

①小明：在∠FOG旋轉(zhuǎn)過程中，當OF經(jīng)過點B時，OG一定經(jīng)過點C．

②小穎：小明的分析有道理，這樣，我們就可以利用“ASA”證出△ODB≌△OEC．

③小飛：因為△ODB≌△OEC，所以只要算出△OBC的面積就得出了四邊形ODBE的面積．

老師：同學們的思路很清晰，也很正確，在分析和解決問題時，我們經(jīng)常會借用特例作輔助線來解決一般問題請你按照討論的思路，直接寫出四邊形ODBE的面積：______．

(2)應(yīng)用方法：

①特例：如圖2，∠FOG的頂點O在等邊三角形ABC的邊BC上，OB=2，OC=4，邊OG⊥AC于點E，OF⊥AB于點D，求△BOD面積．

②探究：如圖3，已知∠FOG=60°，頂點O在等邊三角形ABC的邊BC上，OB=2，OC=4，記△BOD的面積為x，△COE的面積為y，求xy的值．

③應(yīng)用：如圖4，已知∠【解析】：(1)方法引導：

如圖1，連接OB，OC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵點O是∠ABC和∠ACB的角平分線交點，

∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，