專題28 銳角三角函數(shù)【有答案】

專題28銳角三角函數(shù)知識點一：銳角三角函數(shù)1．三角函數(shù)定義在Rt△ABC中，若∠C=90°2.同角三角函數(shù)的關(guān)系（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：（3）倒數(shù)關(guān)系：3.互為余角的三角函數(shù)關(guān)系，，或者：若∠A+∠B=90°，則sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB特殊角的三角函數(shù)值αsinαCosαtanαcotα0°010不存在30°45°1160°90°10不存在05.銳角三角函數(shù)的增減性(0°--90°)（1）銳角的正弦值（或正切值）隨著角度的增大而增大，隨著角度的減小而減小。（2）銳角的余弦值（或余切值）隨著角度的增大而減小，隨著角度的減小而增大。6.銳角三角函數(shù)的取值范圍0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.知識點二：解直角三角形1.直角三角形中邊角關(guān)系在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，那么（1）三邊之間的關(guān)系為（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系為∠A+∠B=90°（3）30°角所對直角邊等于斜邊的一半。（4）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（5）邊角之間的關(guān)系為：（三角函數(shù)定義）2.其他有關(guān)公式（1）==（2）Rt△面積公式：（3）直角三角形外接圓的半徑，內(nèi)切圓半徑結(jié)論：直角三角形斜邊上的高3.實際問題中術(shù)語的含義(1)仰角與俯角在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角。(2)坡度：如圖，我們通常把坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.（3）坡角：坡面與水平面的夾角；（4）坡度與坡角（用表示）的關(guān)系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。（5）方位角：指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°角的為方位角．每年中考的考查熱點，主要要求能夠正確地應(yīng)用sinA、cosA、tgA、cotA表示直角三角形兩邊的比，并且要熟記0°、30°、45°、60°、90°角的各個三角函數(shù)值．理解直角三角形中的邊、角之間的關(guān)系，會用勾股定理及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用相關(guān)的知識解決一些簡單的實際問題，尤其是在計算距離、高度和角度等方面．一、解直角三角形問題的依據(jù)與類型（1）解直角三角形的的定義：已知邊和角(其中必有一條邊)，求所有未知的邊和角.（2）解直角三角形的依據(jù)：角的關(guān)系：兩個銳角互余；邊的關(guān)系：勾股定理；邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)；（3）解直角三角形的常見類型及一般解法Rt△ABC中的已知條件一般解法兩邊兩直角邊a，b(1)；(2)由求出∠A；(3)∠B=90?∠A.一直角邊a，斜邊c(1)；(2)由求出∠A；(3)∠B=90?∠A.一邊一銳角一直角邊a，銳角A(1)∠B=90?∠A；(2)；(3).斜邊c，銳角A(1)∠B=90?∠A；(2)a=c·sinA；(3)b=c·cosA.二、解直角三角形需要注意的問題1.正確理解銳三角函數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達各三角函數(shù)，并能說出常用特殊角的三角函數(shù)值。2.在完成銳角三角函數(shù)的填空、選擇題時，要能根據(jù)題意畫出相關(guān)圖形，結(jié)合圖形解題更具直觀性。3.能將實際問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的直角三角形問題，即把實際問題抽象為幾何問題，研究圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等解決生活問題。4.注重基礎(chǔ)，不斷創(chuàng)新，掌握解直角三角形的基本技能，能靈活應(yīng)對在測量、航海、定位等現(xiàn)代生活中常見問題，這也是以后中考命題的趨勢。5.解決實際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型，要善于把實際問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．在解直角三角形的過程中，常會遇到近似計算，應(yīng)根據(jù)題目要求的精確度定答案．【例題1】（2020?南充）如圖，點A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點上，則sin∠BAC＝（）A．26 B．2626 C．2613 【答案】B【分析】作BD⊥AC于D，根據(jù)勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面積求出BD，最后在直角△ABD中根據(jù)三角函數(shù)的意義求解．【解析】如圖，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB=32+22=∵S△ABC=12AC?BD=12×32?BD∴BD=2∴sin∠BAC=BD【例題2】如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，則tan∠DBE的值是（）A．B．2C．D．【答案】B【解析】將∠A和∠DBE分別置身于Rt△AED和Rt△EDB中．∵DE⊥AB，∴∠AED=∠DEB=90°．在Rt△AED中，cosA=．設(shè)AE=3k，則AD=5k，由勾股定理，得DE=4k．∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD，即3k+2=5k．解得k=1，∴DE=4．在Rt△EDB中，tan∠DBE==2．即選B．【點撥】在將銳角三角函數(shù)表示成“比”的形式時，常借助參數(shù)法，即把“比”的每一份用一個字母來表示，從而建立方程，實現(xiàn)所求．【例題3】（2020?重慶）如圖，垂直于水平面的5G信號塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊B點處，某測量員從山腳C點出發(fā)沿水平方向前行78米到D點（點A，B，C在同一直線上），再沿斜坡DE方向前行78米到E點（點A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點E處測得5G信號塔頂端A的仰角為43°，懸崖BC的高為144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，則信號塔AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米【答案】D【分析】過點E作EF⊥DC交DC的延長線于點F，過點E作EM⊥AC于點M，根據(jù)斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可設(shè)EF＝x，則DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，進而可得出EF與DF的長，故可得出CF的長．由矩形的判定定理得出四邊形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長，進而可得出答案．【解析】過點E作EF⊥DC交DC的延長線于點F，過點E作EM⊥AC于點M，∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，∴設(shè)EF＝x，則DF＝2.4x．在Rt△DEF中，∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，解得x＝30，∴EF＝30米，DF＝72米，∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四邊形EFCM是矩形，∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝43°，∴AM＝EM?tan43°≈150×0.93＝139.5米，∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．《銳角三角函數(shù)》單元精品檢測試卷本套試卷滿分120分，答題時間90分鐘一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（2020?杭州）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進行判斷，就可以解決問題．∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，∴sinB=bc，即b＝csinB，故A選項不成立，tanB=ba，即b＝atanB，故C選項不成立，2．（2020?濟寧）一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北航行，2小時后到達海島B處．燈塔C在海島A的北偏西42°方向上，在海島B的北偏西84°方向上．則海島B到燈塔C的距離是（）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里【答案】C【解析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠C＝∠CAB＝42°，根據(jù)等角對等邊得出BC＝AB，求出AB即可．如圖．根據(jù)題意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，∴BC＝AB，∵AB＝15×2＝30，∴BC＝30，即海島B到燈塔C的距離是30海里．3．（2020?深圳）如圖，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距200米的P、Q兩點分別測定對岸一棵樹T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，則河寬（PT的長）可以表示為（）A．200tan70°米 B．200tan70°C．200sin70°米 D．200sin【答案】B【解析】在直角三角形PQT中，利用PQ的長，以及∠PQT的度數(shù)，進而得到∠PTQ的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)即可求得PT的長．在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，∴∠PTQ＝70°，∴tan70°=PQ∴PT=PQ即河寬200tan4．（2020?黔西南州）如圖，某停車場入口的欄桿AB，從水平位置繞點O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO的長為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α，則欄桿A端升高的高度為（）A．4sinα米 B．4sinα米 C．4cosα米 D．4cos【答案】B【解析】過點A′作A′C⊥AB于點C，由題意可知：A′O＝AO＝4，∴sinα=A∴A′C＝4sinα5.（2020?樂山）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯示意圖．自動扶梯AB的傾斜角為30°，在自動扶梯下方地面C處測得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為4m．則自動扶梯的垂直高度BD＝（）m．（結(jié)果保留根號）A.3．B.2C.23．D.2+3．【答案】C．【解析】據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到BC＝AC＝4，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BDC中，sin∠BCD=BD∴sin60°=BD∴BD＝23（m），自動扶梯的垂直高度BD＝23m6.已知△ABC中，三邊之比a：b：c=1：：2，則sinA+tanA的值為（）A./2B.+2C.2D.．【答案】D．【解析】根據(jù)題意，設(shè)a=k，b=k，c=2k（k＞0），∵a2+b2=c2，∴∠C=90°．∴sinA=，tanA=，∴sinA+tanA=．【點撥】在沒有明確三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明確三角形是直角三角形的條件下，再使用銳角三角函數(shù)定義進行解證，否則，通過分割或補形法轉(zhuǎn)換成直角三角形．7.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一點，若tan∠DBA=，則AD的長為（）A.2B.C.D.1【答案】A【解析】∠DBA沒有在直角三角形中，無法使用正切定義轉(zhuǎn)換成邊的比．現(xiàn)設(shè)法將其置身在一個直角三角形中．過點D作DE⊥AB，垂足為E．在Rt△BDE中，tan∠DBA=．∵tan∠DBA=，∴=．設(shè)DE=k，則BE=5k，在Rt△ADE中，∠A=45°，∴AE=DE=k，AB=6k．在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，∴AB=6，解得k=，即DE=．在Rt△ADE中，∠A=45°，∴AD=DE=2．【點撥】構(gòu)造直角三角形，將所考察的角置身在這個直角三角形中．8.如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，AC=4，BC=3．則cos∠BCD的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】求cos∠BCD的值，用定義法不能直接求出．根據(jù)同角或等角的三角函數(shù)值相等，考慮先用等角替換，再用定義去求．AB=5．∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD．∴cos∠BCD=cosA==．【點撥】依據(jù)同角或等角的三角函數(shù)值相等的性質(zhì)，將一個的三角函數(shù)值用另一個等角的三角函數(shù)值替換．9.（2019?湖南長沙）如圖所示，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是（）A．30nmile B．60nmile C．120nmile D．（30+30）nmile【答案】D【解析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．過點C作CD⊥AB，則在Rt△ACD中易得AD的長，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的長．過C作CD⊥AB于D點，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC?cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此時輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile．10．（2020?蘇州）如圖，小明想要測量學(xué)校操場上旗桿AB的高度，他作了如下操作：（1）在點C處放置測角儀，測得旗桿頂?shù)难鼋恰螦CE＝α；（2）量得測角儀的高度CD＝a；（3）量得測角儀到旗桿的水平距離DB＝b．利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識，旗桿的高度可表示為（）A．a(chǎn)+btanα B．a(chǎn)+bsinα C．a(chǎn)+btanα D．【答案】A【解析】過C作CF⊥AB于F，則四邊形BFCD是矩形，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．過C作CF⊥AB于F，則四邊形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，∵∠ACF＝α，∴tanα=AF∴AF＝b?tanα，∴AB＝AF+BF＝a+btanα，二、填空題（每空3分，共30分）11.（2019?湖北省鄂州市）如圖，已知線段AB＝4，O是AB的中點，直線l經(jīng)過點O，∠1＝60°，P點是直線l上一點，當(dāng)△APB為直角三角形時，則BP＝．【答案】2或2或2．【解析】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可．∵AO＝OB＝2，∴當(dāng)BP＝2時，∠APB＝90°，當(dāng)∠PAB＝90°時，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA?tan∠AOP＝2，∴BP＝＝2，當(dāng)∠PBA＝90°時，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB?tan∠1＝2，故答案為：2或2或2．12.（2019貴州省畢節(jié)市）三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手．將一對直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，點B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，則CD的長度是．【答案】15﹣5．【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理．過點B作BM⊥FD于點M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．故答案是：15﹣5．13.(2019海南)如圖,將Rt△ABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到AE,直角邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到AF,連接EF,若AB＝3,AC＝2,且+＝∠B,則EF＝________.【答案】【解析】∵+＝∠B,∴∠EAF＝∠BAC+∠B＝90°,∴△AEF是直角三角形,且AE＝AB＝3,AF＝AC＝2,∴EF＝＝14.（2019山東東營）已知等腰三角形的底角是30°，腰長為2，則它的周長是____________．【答案】【解析】如圖，過A作AD⊥BC于D，則∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠B＝30°，∴AD＝AB＝，由勾股定理得：BD＝＝3，同理CD＝3，∴BC＝6，∴△ABC的周長為BC+AB+AC＝6+2+2＝6+4．15.（2019?海南?。┤鐖D，將Rt△ABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到AE，直角邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°）得到AF，連結(jié)EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，則EF＝．【答案】【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求EF的長．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，∴∠BAC+α+β＝90°∴∠EAF＝90°∴EF＝＝16．（2019?山東臨沂）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則△ABC的面積是．【答案】8．【解析】根據(jù)垂直的定義得到∠BCD＝90°，得到長CD到H使DH＝CD，由線段中點的定義得到AD＝BD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，求得CD＝2，于是得到結(jié)論．∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延長CD到H使DH＝CD，∵D為AB的中點，∴AD＝BD，在△ADH與△BCD中，，∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH＝AH＝4，∴CD＝2，∴△ABC的面積＝2S△BCD＝2××4×2＝8，故答案為：8．17．（2020?自貢）如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD，DC∥AB．BC長6米，坡角β為45°，AD的坡角α為30°，則AD長為米（結(jié)果保留根號）．【答案】62．【分析】過點D作DE⊥AB于E，過點C作CF⊥AB于F．首先證明DE＝CF，解直角三角形求出CF，再根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)即可解決問題．【解析】過點D作DE⊥AB于E，過點C作CF⊥AB于F．∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE＝CF，在Rt△CFB中，CF＝BC?sin45°＝32（米），∴DE＝CF＝32（米），在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE＝62（米）18．（2020?濟寧）如圖，小明在距離地面30米的P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°．若斜面坡度為1：3，則斜坡AB的長是米．【答案】203．【分析】如圖所示：過點A作AF⊥BC于點F，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠ABF＝30°，根據(jù)已知條件得到∠HPB＝30°，∠APB＝45°，求得∠HBP＝60°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解析】如圖所示：過點A作AF⊥BC于點F，∵斜面坡度為1：3，∴tan∠ABF=AF∴∠ABF＝30°，∵在P處進行觀測，測得山坡上A處的俯角為15°，山腳B處的俯角為60°，∴∠HPB＝30°，∠APB＝45°，∴∠HBP＝60°，∴∠PBA＝90°，∠BAP＝45°，∴PB＝AB，∵PH＝30m，sin60°=PH解得：PB＝203，故AB＝203（m），答：斜坡AB的長是203m19．（2020?金華）如圖是小明畫的卡通圖形，每個正六邊形的邊長都相等，相鄰兩正六邊形的邊重合，點A，B，C均為正六邊形的頂點，AB與地面BC所成的銳角為β．則tanβ的值是．【答案】193【分析】如圖，作AT∥BC，過點B作BH⊥AT于H，設(shè)正六邊形的邊長為a，則正六邊形的半徑為a，邊心距=32a．求出BH，【解析】如圖，作AT∥BC，過點B作BH⊥AT于H，設(shè)正六邊形的邊長為a，則正六邊形的半徑為a，邊心距=32觀察圖象可知：BH=192a，AH=∵AT∥BC，∴∠BAH＝β，∴tanβ=BH20．（2020?黔東南州）cos60°＝．【答案】12【解析】根據(jù)記憶的內(nèi)容，cos60°=1cos60°=1三、解答題（8個小題，共60分）21.（5分）（2020貴州黔西南）計算：(－2)2－||－2cos45°＋(2020－π)0；【答案】5－【解析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案。

原式＝4－－2×＋1＝＝4－－＋1＝5－．【點撥】此題主要考查了實數(shù)運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．22．（5分）（2020?鹽城）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，tanA=33，∠ABC的平分線BD交AC于點D，CD=3【答案】見解析?！痉治觥扛鶕?jù)∠C＝90°，tanA=33，可求出∠A＝30°，∠ABC＝60°，再根據(jù)BD是∠ABC的平分線，求出∠CBD＝∠ABD＝【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=3∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，又∵CD=3∴BC=CDtan在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB=BCsin答：AB的長為6．23．（8分）（2020?株洲）某高速公路管理部門工作人員在對某段高速公路進行安全巡檢過程中，發(fā)現(xiàn)該高速公路旁的一斜坡存在落石隱患．該斜坡橫斷面示意圖如圖所示，水平線l1∥l2，點A、B分別在l1、l2上，斜坡AB的長為18米，過點B作BC⊥l1于點C，且線段AC的長為26米．（1）求該斜坡的坡高BC；（結(jié)果用最簡根式表示）（2）為降低落石風(fēng)險，該管理部門計劃對該斜坡進行改造，改造后的斜坡坡角α為60°，過點M作MN⊥l1于點N，求改造后的斜坡長度比改造前的斜坡長度增加了多少米？【答案】見解析。【分析】（1）運用勾股定理解題即可；（2）根據(jù)勾股定理列出方程，求出AM，問題得解．【解析】（1）在Rt△ABC中，BC=（2）∵∠α＝60°，∴∠AMN＝30°，∴AM＝2MN，∵在Rt△ABC中，AN2+MN2＝AM2，∴AN2+300＝4AN2,∴AN＝10，∴AM＝20，∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．綜上所述，長度增加了2米．24．（8分）（2020?陜西）如圖所示，小明家與小華家住在同一棟樓的同一單元，他倆想測算所住樓對面商業(yè)大廈的高MN．他倆在小明家的窗臺B處，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角∠1的度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù)．于是，他倆上樓來到小華家，在窗臺C處測得大廈底部M的俯角∠2的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)∠1與∠2恰好相等．已知A，B，C三點共線，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，試求商業(yè)大廈的高MN．【答案】見解析。【分析】過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F，可得四邊形AMEC和四邊形AMFB均為矩形，可以證明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，進而可得商業(yè)大廈的高MN．【解析】如圖，過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F，∴∠CEF＝∠BFE＝90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，∴四邊形AMEC和四邊形AMFB均為矩形，∴CE＝BF，ME＝AC，∠1＝∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF＝EM＝31+18＝49，由矩形性質(zhì)可知：EF＝CB＝18，∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．答：商業(yè)大廈的高MN為80m．25．（8分）（2020?內(nèi)江）為了維護我國海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實行了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時60海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時到達B處，此時測得燈塔P在北偏東30°方向上．（1）求B處到燈塔P的距離；（2）已知燈塔P的周圍50海里內(nèi)有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？【答案】見解析?！痉治觥浚?）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度數(shù)即可解決問題，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定．【解析】（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴PB＝AB＝60海里；（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝60，在Rt△PBH中，PH＝PB?sin60°＝60×32=∵303＞50∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．26．（8分）（2020?鄂州）鄂州市某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度CD．如圖所示，一架水平飛行的無人機在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為α，無人機沿水平線AF方向繼續(xù)飛行50米至B處，測得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線段AM的長為無人機距地面的鉛直高度，點M、C、D在同一條直線上．其中tanα＝2，MC＝503米．（1）求無人機的飛行高度AM；（結(jié)果保留根號）（2）求河流的寬度CD．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：2