2021年新高考專用數(shù)學(xué)名校押題21 數(shù)列（解答題）（解析版）

精選21數(shù)列（解答題）

數(shù)列求和的方法技巧：

（1）倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和.

（2）錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和.

（3）分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和.

1.給出一下兩個(gè)條件：①數(shù)列｛勺｝為等比數(shù)列，且。用+4=3-2",②數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)

4=2,且am-4=2".從上面①②兩個(gè)條件中任選一個(gè)解答下面的問題（如果選擇多個(gè)

條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.

（1）求數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式;.

（2）設(shè)數(shù)列｛包｝滿足bn=log2an,求數(shù)列，—|的前〃項(xiàng)和Tn.

【答案】條件選擇見解析，（1）=2"；（2）T.=——.

1+〃

【解析】若選條件①.

,1+1

⑴由條件an+l+a“=3x2",得*+an+]=3x2,

3x2,,+1

則公比q=4日+4川

4+i+43x2"

令n=l,可得々+4=3x2,即2q+q=6,所以4=2,從而有%=2x2"T=2".

1111

⑵由⑴得，〃,=]og2a“=log22"=〃，則有誦二二而切=:一一7'

則其前〃項(xiàng)和為Z=L-L+L_L+...+L一_L=i一_L=/_

1223nn+\n+\l+〃

若選條件②.

2

（1）令”=1,可得。2一％=2,令〃=2,可得a3-a2=2,依次類推可得：an-=2"-'

將這一系列等式求和可得：氏一％=2+2?+…+2"T=2"-2.

其中4=2,故可得4=2".

1111

由得，則有(,八二-----

(2)(1)bn=log2an=log22"=n,［7-=y7.

〃'bnbH+i+nn+1

則其前"項(xiàng)和為工,------1--------1--—I------------=1---------=-------.

1223nn+1n+1l+n

2.設(shè)｛4｝是公比不為1的等比數(shù)列，%=4,再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)

作為已知，求：

(1)求｛4｝的公比；

(2)求數(shù)列｛2〃+4｝的前〃項(xiàng)和.

條件①：%為生，%的等差中項(xiàng)；條件②：設(shè)數(shù)列5“｝的前〃項(xiàng)和為S“，S3-S,=2.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】條件性選擇見解析，(1)-2；(2)〃(〃+1)+匕早1

【解析】選①(1)因?yàn)閝為生、色的等差中項(xiàng)，所以2q=a2+a3,

所以2%因?yàn)閝wO,所以2=q+/，所以q=-2,q=\(舍)，

選②(1)因?yàn)镾3-S1=2,所以q+%+%-弓=%+%=2，

因?yàn)?=4,所以%=-2,所以4=券=-2.

(2)由題得等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)q=烏=1=1,所以凡=(—2)i,

q4

設(shè)數(shù)列｛2〃+an］的前〃項(xiàng)和為S”，

因?yàn)閿?shù)列｛2〃｝是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

(2+2〃)〃1(1—(—2)")l-(-2)n

所以S“=——~——+-------------=〃(〃+1)+--—.

21-(-2)3

3.已知｛4｝是等差數(shù)列,也｝是等比數(shù)列，3=%，5=3,3=-81.

（1）求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為S“，在①=4,②4=打這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)

充在題干條件中，是否存在Z,使得&>SN且S*+2>Si?若問題中的左存在，求上的

值；若左不存在，說明理由.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）2=一（一3）1；（2）答案見解析.

【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛"｝首項(xiàng)為4,公比為9,則由8=3,瓦=一81可得4=T,g=-3,

所以等比數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式a=一（一3）"T.

（2）若選擇的條件是4+4=。2,由⑴2=—1X（—3）"T,所以。2=4+4=-10,

又見=乙=-1,所以=3〃-16,此時(shí)，由4+1<0,4+2>0,解得當(dāng)<左<￡,故攵=4，

若選擇的條件是%=%，%=仇=27,又％=4=一1，所以｛4｝的公差d=—28，

（磯=-28攵+111<0

故q=-28〃+139,由4+1<0,4+2>0,即<…”八，顯然無解.

4+2=-28攵+83>0

故不存在滿足條件的正整數(shù)上.

4.在①§3=12,②2g-q=3,③4=24這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中

并作答.

已知｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，且4、的、4成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列也｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且打=4，4=%，求數(shù)列｛4+■｝的前

〃項(xiàng)和

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.

【解析】⑴設(shè)數(shù)列｛叫的公差為d（dHO）.

因?yàn)閝,a2,%成等比數(shù)列，則a；=ata4,

故(q=q(q+3d),化簡得4?=.

因?yàn)橄?所以|岡一“,所以晌學(xué)

若選①$3=12,則I岡I，即［囚I，則H二|；

若選②2a2-q=3,則耳U，即內(nèi)I，則巨斗

若選③4=24,則|囚「T，即［岡：I，則|囚

(2)因?yàn)閿?shù)列｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a=q,d=4,

設(shè)數(shù)列也,｝的公比為母則由~

若選①，則|回故|國—舊一

所以國守由|百斗得反二B

又I岡J則?回守所以但爾

所以s

若選②，則|岡故|岡?I；叵

所以I夕』由|囚得|囚4

所以［區(qū)|，由|7］.|，得|可

在①，，，成等比數(shù)列；②—J,J,/等差數(shù)列；③］這:.個(gè)

條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問題.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

⑵若，記數(shù)列也｝前〃項(xiàng)和為T“，求白.

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）.

【解析】選①，（1）由「-5-得:,

所以數(shù)列｛4｝是以］］為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

由口口，?成等比數(shù)列可得1J即I解制

所以——

選②，⑴由匚一得匚］所以數(shù)列｛%｝是以為首項(xiàng)，2

為公差的等差數(shù)列.

由成等差數(shù)列，得

所以

選③，（1）同理，由，得

所以數(shù)列｛4｝是以仔］為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,

數(shù)列也｝前〃項(xiàng)和為

故為所求.

6.已知函。國一|（口為常數(shù)，可且可）.

（1）在下列條件中選擇一個(gè)使數(shù)列｛。,,｝是等比數(shù)列，說明理由;

①數(shù)列叵T”是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列;

②數(shù)列區(qū)■是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列;

③數(shù)列因?是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列的前即和構(gòu)成的數(shù)列.

⑵在（1）的條件下，當(dāng)[岡："|時(shí),設(shè)岡，求數(shù)列也｝的前項(xiàng)頁和

【答案】（I）答案見解析；（2）xl

【解析】⑴①③不能使｛q｝成等比數(shù)列，②可以,

選①，則0―；即|岡…],得|回

常數(shù)，此時(shí)數(shù)列｛q｝不是等比數(shù)列;

選②，貝U叵T,即岡

因f—I;

選③，則岡，即應(yīng)

得I區(qū)因常數(shù),此時(shí)數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列.

使得向三I成等比數(shù)列?若存在，求出口的值；若不存在，說明理由.

從①I網(wǎng)|T］I，③|回這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在

上面問題中并作答.

【答案】若選①，不存在正整數(shù)E（I臼I）,使得叵］成等比數(shù)列;

若選②，存在［岡4使得|岡7T成等比數(shù)列;

若選③，存在［岡凰使得"］成等比數(shù)列.

【解析】若選①，則數(shù)列巨|是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，

解得岡k------，均不符合題意,

故不存在正整數(shù)G（國二］）,使得|岡…［成等比數(shù)列;

若選②，則當(dāng)［岡「I時(shí),|岡一.一=|,

乂巨【符合上式，則回三I；531所以

解得I岡|,或后二ZI（舍去），故存在［岡」使得I岡|成等比數(shù)列;

若選③，則當(dāng)|~司司時(shí)，|國--因………”一~一，

又巨口符合上式，則叵三三］,歸；］,所以因，a

若I岡—］成等比數(shù)歹則［叵］…一［,則舊--…，即應(yīng)二

解得I岡］,或［/（舍去），故存在［岡使得|岡|成等比數(shù)列.

8.在①]…顧|③這三個(gè)條件中任選一個(gè),

補(bǔ)充在下面的橫線上，若問題中的同存在，求出!的值；若存!不存在，說明理由.

已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，11數(shù)列□的首項(xiàng)匚予前圈項(xiàng)和為

口,,是否存」|,使得對(duì)任意|「成立.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】條件性選擇見解析，存在匚j使得對(duì)任意廠5'恒成立.

所以故，①Q(mào)匚二

所以7]是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以

所以

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，數(shù)列單調(diào)遞增，沒有最大值,

③由「|可知也｝是以看為公差的等差數(shù)列,

乂n,所以「設(shè)

則

所以當(dāng)L時(shí),［二，當(dāng)時(shí),［

則］所以存在匚1使得對(duì)任意;……恒成立.

9.9知數(shù)列同和同滿足后I岡一”…

（1）證明：I岡I是等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛|岡|｝的前n項(xiàng)和國

【答案】（1）證明見解析（2）囚

［解析］（1）由岡------------------------------岡

可得g.......，即臼

則｛??+"｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列

填至橫線上，并完成解答.在數(shù)列回［中，|岡,其中|可

（1）求數(shù)列司的通項(xiàng)公式;

（2）若曷國，國成等比數(shù)列，其中機(jī)，|臼且問求機(jī)的最小值.

（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分）

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.

【解析】選擇①：（1）當(dāng)I臼J時(shí),山|岡”「得|囚.

當(dāng)時(shí)，由題意，得國二二］,所以國---------------------.

經(jīng)檢驗(yàn)，|回版?符合上式,所以g............

（2）由回國，國成等比數(shù)列，得［岡3］；

ill（1）得舊…………，:即舊…i.

化簡，得回

因?yàn)?，m〃是大于1的正整數(shù)，且與二I，所以當(dāng)反二I時(shí)，〃2有最小值5.

選擇②：（1）由|因「----------1,得|國-----------

所以數(shù)列回］是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列巨）的公差為d.

因?yàn)閨岡科,|岡.......所以［岡］;

所以舊

（2）因?yàn)榛貒?，回成等比?shù)列，所以回際葉,即國…….

化簡，得國

因?yàn)椤?，”是大于1的正整數(shù)，旦國二1，所以當(dāng)耳小寸，，〃有最小值5.

11.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列國和等比數(shù)列國］滿足|網(wǎng)］,且回

（1）求數(shù)列回團(tuán)的通項(xiàng)公式.

（2）若因‘，求|回

_______________________r-1JT；

【答案】（1）|岡財(cái);國二;（2）U

【解析】（1）因?yàn)橥瑸榈炔顢?shù)列,且|可|，所以可設(shè)公差為力

又等差數(shù)列亙I各項(xiàng)均為正數(shù),所以I因］不合題意,舍去，所以-1

f71~~

因?yàn)榛貫榈缺葦?shù)列，目?岡：：卜所以可設(shè)公比為［百m則巨三

因?yàn)椋?］所以［網(wǎng).，解得I4J,滿足各項(xiàng)均為正數(shù)，所以I團(tuán)…

rnsnMse

（2）由（1）知國-----------；所以01.............Sa

I—I一

所以同-sSs

12.已知數(shù)列巨|的前”項(xiàng)和為s“，滿足|岡

（1）求證：數(shù)列回為等比數(shù)列;

（2）由（1）知：區(qū)一

故國二

亙二目的前〃項(xiàng)和為國，回，則

分別記數(shù)列

71

相減得：區(qū)

所以岡....,,,岡

可

故

13.設(shè)數(shù)列｛。”｝的前〃項(xiàng)和為Sn，已知|岡N岡|，區(qū)廠!?

(1)證明：因?yàn)榈缺葦?shù)歹U,求出｛4｝的通項(xiàng)公式;

，求｛4｝的前

(2)若n項(xiàng)和Tn，并判斷是否存在正整數(shù)〃使得兇...........成立?

若存在求出所有n值;若不存在說明理由.

【答案】(1)證明見解析，回二；(2)不存在，理由見解析.

［解析］(1)?［岡…一?一」,/.|g］~..........|,國

因?yàn)榉矗荨?所以可推出［回

r--Ii.?:.

故岡，即叵1F為等比數(shù)列.

國二寸，公比為2,國3~,即g—

a二I，當(dāng)IF］耳時(shí),g］……-，回:也滿足此式,

?*?國II

f—I：：L7"

a囚

(2)因?yàn)?/p>

而區(qū)二,所以不存在正整數(shù)〃使得國'成立.

14.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為,一的通項(xiàng)公式為

(1)求｛q｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和

【答案］(1)［_______|,||;(2),||.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,同可得|①

由［3可得［］.②，聯(lián)立①②，解重［，二二］,

等差數(shù)列&｝的通項(xiàng)公式為匚］,匚口.

(2)由i，有一一，

⑼勺等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式及國

(2)記岡,求數(shù)列司的前申和利.

----------------qunr：-

【答案】(1)過二；國?一?：(2)岡

【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為0

由題意得而，因?yàn)閨岡咻所以向國或［五亙1(舍去),

又因?yàn)閲▏椎炔钪许?xiàng),

(2)由題意,a

.............

所以0a

16.已知等差數(shù)列團(tuán)的前〃項(xiàng)和為S“，等比數(shù)列國的前〃項(xiàng)和為目若回

(1)求數(shù)列百|(zhì)與目的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列目］的前〃項(xiàng)和.

［答案］(1)國------------(2)

【解析】(1)由|岡I辛岡二

則|因卜

設(shè)等差數(shù)列叵1的公差為吩則|岡--

所以［岡；］,所以|國------------］,

設(shè)等比數(shù)列巨|的公比為［J山晌.......卜回

解得［百百,所以|國.…-='|,

(2)

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式;

Ir-1.:m：.：=.：：..十

二求數(shù)列"的前［酒和刀,.

(2)設(shè)岡

II

xl

【答案】（1）0:(2)

【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛叫的公比為垃因?yàn)閷宰远?/p>

因?yàn)閨岡葉是曷口隔勺等差中項(xiàng),所以回

,化簡得7]?竹,?J.因?yàn)楣葇因小所以[區(qū)|.4

所以S

（2）因?yàn)椤?=2",所以岡-…

所以

S

則

18.已知數(shù)列|中,,且

（1）

(2)

(3)設(shè)

【答案】（1）；(3)

【解析】（1）?.?數(shù)列II'中，,且

.1"：：.

(2)當(dāng)時(shí),

(3)

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）求證：數(shù)列區(qū)’是等比數(shù)列;

（3）設(shè)數(shù)列回滿足1,其前用頁和為T“，證明：舊_

【答案】（1）國:（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】（1）當(dāng)"=1時(shí)，?叵］當(dāng)r^~~i時(shí)，回

檢驗(yàn)，'與〃=i時(shí)辰j(luò)-合.所以叵

（2）當(dāng)耳3時(shí),岡,而回二

所以數(shù)列國”是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為3,公比為3.

（3）由（1）（2）得回----S

所以岡

S

1；

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)|岡數(shù)列司的前”項(xiàng)和為篦,若耳工則回，回回是否成等

差數(shù)列？并說明理由.

【答案】(1)因*?；(2)不能,理由見解析.

【解析】(1)設(shè)公比為拉(直口)，則兇……|，|岡……

代入岡............，得岡，

因?yàn)橥琓，得響”......結(jié)為岡昌解得［岡4

又［回小所以數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為：回........「

(2)|岡...........則數(shù)列也,｝是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，

所以網(wǎng)

—國1"-,卜若?>.I|囚赫)則rI［旦'1——?'卜?'

即I岡，……一書,所以，若I岡晶則回，回，囪不能組成等差數(shù)列.

21.已知數(shù)列旬的前〃項(xiàng)和區(qū)二二I；在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列也｝中，|岡

且口@回觸等比數(shù)列，

（1）求數(shù)列也｝、回的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)|臼.........求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S,.

【答案】（1）㈤國三|；（2）5“岡

【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛勿｝的公差為Q則|岡向…一|,

?.日回廊等比數(shù)列,二巨三|，即叵1

整理得回…［，解得向口（舍去）或|岡"""［’

-|B

當(dāng)［目』時(shí),|/I,

當(dāng)耳目時(shí)，|區(qū)—……….

驗(yàn)證：當(dāng)國1寸，|可|滿足上式,

???數(shù)列回|的通項(xiàng)公式為巨三］：

（2）由（1）得,|國---------

*,?岡

0……

0

22.已知等比數(shù)列叵｝滿足回回［百|(zhì)成等差數(shù)列,且響|；等差數(shù)列同的前

3頁和岡?求：

⑴回,回

（2）數(shù)列|-|的前項(xiàng)和T..

【答案】（1）??=2",|岡/（2）回———"

【解析】（1）兩百）fi勺公比為R

因?yàn)榍鷩蘅诔傻炔顢?shù)列，所以,即[回士

兩式相減得

ZI.所以I岡二

23.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為國，|I，|T]|,|I，|可J,且當(dāng)|習(xí)時(shí),

岡-

(1)求號(hào)J值;

(2)證明:S為等比數(shù)列.

【答案】(1)；(2)證明見解析.

國,巴,力,

【解析】(1)因?yàn)閷?/p>

當(dāng)〃=2時(shí)，|岡

即0，解得巴J

(2)證明：由岡…，得

囚,即回----

當(dāng)〃=1時(shí)，有s，所以I岡一

a

所以

為首項(xiàng)，目為公比的等比數(shù)列.

所以數(shù)列a是以岡

24.已知數(shù)列｛風(fēng)｝滿足|岡］g

（1）證明:為等差數(shù)列;

(2)i1）,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和s“.

【答案】（1）證明見解析；（2）a

國I

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式;

(2)求

叵1

【答案】（1）向二：（2）

【解析】（1）a2,%的等差中項(xiàng)為岡

0

,解得|岡!?m/

；：二，且巧,

%,國成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝和｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列｛%+"｝的前〃項(xiàng)和S..

----------------:--m

［答案］（1）因一一’―‘曰"………：（2）產(chǎn)?

【解析】⑴設(shè)目為｛《,｝公差，型也J公比,

由題意得回.一|,即|岡

???【百曷-IB...

又困‘，國."‘…"-…-……;

（2）由⑴得:回.---------|，

所以岡i

0............因

所以s“岡

27.在公差不為0等差數(shù)列｛/｝中，|區(qū)",且回國即等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)|臼J求數(shù)列也｝的前［藜和國

【答案］（1）|回一］,⑵岡

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為反二

因?yàn)閲菟詜岡—口,得舊……

因?yàn)锧Q目戌等比數(shù)列，所以|國二

所以|岡,

將|岡—1代入上式化簡得,|g-'.~|,

因?yàn)镮目］，所以［岡I，得|囚;J所以|岡―

（2）由（1）得區(qū)二Z

所以因

囚

0一

28.設(shè)數(shù)列｛〃〃｝前n項(xiàng)和為S”且2tz1=672=2,等差數(shù)列｛與｝滿足b\-\,歷+優(yōu)二%且

b2Sfl+1+b5Sn-1=bsSn（n>2,.

（1）求｛斯｝和｛包｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛〃,瓦｝的前n項(xiàng)和Tn.

-------IX---------

【答案】（1）囪二J,兇；（2）|日……一

【解析】（1）等差數(shù)列｛兒｝滿足6=1,b2+b5=hs,令公差為d,

,.,.仍“｝的通項(xiàng)公式為：岡，

又,.,/?25"+|+匕55”-|=加5"（M>2,nGAT）,即S”+I+2S"-I=3S”（n>2,neM）,

又?jǐn)?shù)列｛““｝前〃項(xiàng)和為S“

可知在--晅-----二----上Iqui翻都成立,

...數(shù)列巨快公比為2的等比數(shù)列，即國

（2）由（1）知數(shù)列他“兒｝的通項(xiàng)公式為岡，若令一

即時(shí)勺前〃項(xiàng)和：I區(qū)-----------I①,

...I園②，

①-②有：g-.....I,即舊

而|因：.S

29.已知數(shù)列｛4｝中，|岡卜,臼I岡

（1）若響求耶值;

（2）是否存在目使｛4｝為等比數(shù)列？若存在，求｛4｝的前或頁和S,；若不存在，請說

明理由.

【答案】⑴臼⑵存在I囚I使為等比數(shù)列,舊

【解析】（1）因?yàn)榛谽…=|,|田二木所以回」?］,|囚「?岡?岡］

由于?岡；|,所以叵三｝,巨三|；巨三?岡］,因?yàn)?岡可,所以|臼；J

（2）因?yàn)橹比齀，|國g------1,巨回，所以因

1I.,;..---

假設(shè)存在電使｛4｝為等比數(shù)列，所以有叵］,即：兇，解喉j~~

此時(shí)等比數(shù)列公比山，所以國一…~~…一，叵］國E------滿足

題意，故存在|囚|，｛4｝為等比數(shù)列，且舊

［71

此時(shí)前［J■頁和

30.已知等差數(shù)列｛q｝與等比數(shù)列｛々J滿足|岡岡，且囪

（1）求數(shù)列｛%｝,｛d｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)|岡是否存在正整數(shù)攵，使|岡悔成立?若存在，求出七

的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）臼卜可.（2）存在正整數(shù)k,I囚「證明見解析

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝與等比數(shù)列｛〃,｝的公差與公比分別為Rq,

因

,②

①得:

從而得S.令

S，顯然I岡運(yùn)球S

所以數(shù)列巨］是遞減數(shù)列，于是，對(duì)于數(shù)列國,當(dāng)即奇數(shù)時(shí)，即u回回…為遞

減數(shù)列，最大項(xiàng)為回）,最小項(xiàng)大于件

:最大項(xiàng)大于零且小丁仔

當(dāng)目為偶數(shù)時(shí)，即回回回…為遞增數(shù)列，最小項(xiàng)為V|

那么數(shù)列回|的最小項(xiàng)為@故存在正整數(shù)W」,闋囚三］恒成立.

31.已知數(shù)列｛?！埃枪畈粸榱愕牡炔顢?shù)列，且巨【，回回目械等比數(shù)列，數(shù)歹M。,,｝

滿足S

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）求證：數(shù)列也,｝是等比數(shù)列;

回滿足K，且叵

a：ixa.svi-*-

（3）若數(shù)列為整數(shù)，求，〃的值.

【答案】（1）|岡）（2）證明見解析；（3）［T］域I7I

II———

【解析】（1）因?yàn)閨岡］回國回龍等比數(shù)列，所以S

即0……，解得：目二I或與U（舍去），所以|因

（2）因?yàn)樨?

所以g，①

0T]I?

①c9得：a

又向三小所以同叵］-----1，

當(dāng)耳3時(shí)，回三］；即I岡啾也適合［亙0葉;所以|國一——~…

由網(wǎng)知數(shù)列｛2｝是公比為2的等比數(shù)列.

⑶區(qū),當(dāng)［臼包時(shí),I區(qū)卦IV:1時(shí),岡嘴：

當(dāng)面二）時(shí)，由向三］知向3不是整數(shù)，所以|國,'為整數(shù)則目"I或可

32.設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，巨|是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，旦|岡|岡，

岡……I，且數(shù)列目的前n項(xiàng)和為國

（1）求他“｝、向1的通項(xiàng)公式;

（2）數(shù)列同中,［岡且|岡］,求向1的通項(xiàng)公式.

［答案］（1）|岡……|,亙?nèi)冢?）|岡…叫.

【解析】（1）設(shè)巨|的公差為口回的公比為母則依題意有臼~~

以上各式相加得口

當(dāng)耳J時(shí)，回!蔭足上式,故|岡.

33.已知數(shù)列｛4｝的前即和為國，|岡.且滿足岡

（1）求證數(shù)列尸是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)叵1，求數(shù)列也“｝的前或頁和T.

【答案】（1）證明見解析，g^ztes.:xsin.

同

【解析】（1）由題得,I:k

整理得a，II-

riiSShisaH.'"

因?yàn)閷鵶tx^.rsniR,,可"J,所以當(dāng)〃=2時(shí)，回

當(dāng)I囚W寸，,所以當(dāng)If-1時(shí),有a

因此H是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

，所以g

（2）由（1）知國-----------,則因，①

①X2,得晅-----,②

②-①，得0

S

囚岡

34.已知數(shù)列回為正項(xiàng)等比數(shù)歹U,岡I，數(shù)列巨I滿足I岡，且

S

（1）求數(shù)列巨|和巨|的通項(xiàng)公式;

若弧二I的前腳和回

(2)求邪取值范圍.

｝（2）巴：

［答案］（1）?國岸叫;?岡?；

【解析】（1）令閆~1,則同--------所以|岡.

令I(lǐng)臼：|,則|岡一-…所以回；因?yàn)槿~,所以岡巴

——I.一C

S

設(shè)數(shù)列巨|的公比為母則,所以國：”.

因?yàn)镮區(qū)------------①

當(dāng)［臼:疝寸,|國一I,②

由①-②得區(qū)一

所以I岡…j當(dāng)?目」時(shí)也成立,所以?岡」…

（2）由（1）可知

所以s0….......,

因?yàn)橛芍_）增大而增大，當(dāng)耳3時(shí)，［岡］|＞當(dāng)?㈤，、；…I時(shí)，|岡一］

所以域J取值范圍是|日灑不

35.已知正項(xiàng)數(shù)列巨］的前即和為回，且滿足：||,叵

（1）求數(shù)列回|的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)岡，求數(shù)列回的前印和目］

【答案】（1）岡克呻（2）

【解析】（1）由0"~

又有團(tuán)……,區(qū)1內(nèi)二兩式相減得問

因?yàn)閷?,所以□

又?岡部?回---］,解得?回再，滿足回二

因此數(shù)列回?是等差數(shù)列,首項(xiàng)團(tuán)。公差學(xué)|j

所以回----------一

(2)岡

0,所以

a

a

36.在①岡，②岡，③為+|=%+〃-8這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在

下面的問題中，若問題中的S“存在最大值，則求出最大值；若問題中的S.不存在最大值，

請說明理由.

問題：設(shè)S,是數(shù)列｛?。那?項(xiàng)和，且0=4,,求｛小｝的通項(xiàng)公式，并判斷S,

是否存在最大值.

【答案】答案不唯一，具體見解析

rusKJX'jaxr.--――1

【解析】選①因?yàn)?“1=4,所以｛雨）是首項(xiàng)為4,公比為1J的等比數(shù)列，所以

--------------------0......................

岡.當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)閷S著

n的增加而減少，所以此時(shí)S“的最大值為$=4.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，回....…，且

0.綜上，S,存在最大值，且最大值為4.選②因?yàn)?，Cl\

=4,所以｛m｝是首項(xiàng)為4,公差為眄卜等差數(shù)列，所以同

?由岡‘，得心25,所以S,存在最大值，且最大值為S25（或S24）,因?yàn)?/p>

岡，所以S”的最大值為50.選③因?yàn)樾?|=斯+〃-8,所以an+\-a?

=〃-8，所以a2-a\=-7,〃3-s=-6，…，ChrCln-1=77-9,貝！J

又?i=4,所以岡

a當(dāng)n>16

時(shí)，?。?,故S”不存在最大值.

37.在①|(zhì)囚1成等差數(shù)列;②|岡|；③|岡］三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在

下面的問題中，并作答.（注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

已知國是數(shù)列回］的岬頁和.若|區(qū)|岡卜且滿足

（1）求數(shù)列巨|的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)互［，|岡求數(shù)列回|的通項(xiàng)公式.

［答案］（1）國0鐘;（2）區(qū)一t

【解析】（1）因?yàn)閷?.....,所以岡一

所以國-------------------------------.化簡得巨

若選擇①：因?yàn)閲齧成等差數(shù)列，所以?區(qū)1國

解得巨m，所以數(shù)列屈是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以舊工

若選擇②：因?yàn)?岡—…所以閆目,

所以數(shù)列回I是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以國三｝：

若選擇③：因?yàn)镮區(qū)-----------1,所以同］，

所以數(shù)列巨I?星以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以|岡卡

（3）由（1）得）五:），則區(qū):

所以當(dāng)國畫時(shí)，|岡.