重慶市田家炳中學2023-2024學年高一上學期期中 數(shù)學試題（含解析）

田家炳中學高2026級高一上期中試題（數(shù)學）時間120分鐘滿分150分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．已知集合M＝{－1，1，2}，集合N＝{y|y＝x2，x∈M}，則M∩N＝（

）A．{1，2，4} B．{1}C．{1，2} D．{4}2．下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（

）A．，B．，C．，D．，3．已知函數(shù)若，則實數(shù)（

）A．－5 B．5 C．－6 D．64．若，下列不等式中成立的是（

）A． B． C． D．5．若，是兩個實數(shù)，且，有如下三個式子：①，②，③.其中恒成立的有.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個6．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若對于任意不等實數(shù)，不等式恒成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．或8．已知函數(shù)，若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．下列關(guān)系中，正確的是（

）A． B．C． D．10．已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．a(chǎn)b的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為211．下列命題正確的是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．命題“，”的否定是“，”C．設，則“且”是“”的必要不充分條件D．設，則“”是“”的必要不充分條件12．設函數(shù)，（），則下列說法正確的有（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B．若函數(shù)為偶函數(shù)，則C．若函數(shù)定義域為，則D．，，使得，則三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上）13．已知，，則的取值范圍為，的取值范圍為.14．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．15．已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的最小值為.16．若對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題（本大題共6小題，共70分，其中17題10分，其余每題12分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知集合，．(1)若，求；(2)若是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．18．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，（1）求實數(shù)m，n的值（2）用定義證明在上是增函數(shù)．19．若不等式的解集是．(1)解不等式；(2)當?shù)慕饧癁闀r，求b的取值范圍．20．已知定義在上的函數(shù)滿足：.(1)求函數(shù)的表達式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上最小值為，求實數(shù)的值.21．今年前8個月，我國光伏新增裝機達到4447萬千瓦，同比增長2241萬千瓦．某公司生產(chǎn)光伏發(fā)電機的全年固定成本為1000萬元，每生產(chǎn)x（單位：百臺）發(fā)電機組需增加投入y（單位：萬元），其中，該光伏發(fā)電機年產(chǎn)量最大為10000臺．每臺發(fā)電機的售價為16000元，全年內(nèi)生產(chǎn)的發(fā)電機當年能全部售完．(1)將利潤P（單位：萬元）表示為年產(chǎn)量x（單位：百臺）的函數(shù)；(2)當年產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少萬元？（總收入=總成本+利潤）．22．已知(1)求函數(shù)的解析式；(2)若是定義在上的奇函數(shù)，且時，，求函數(shù)的解析式；(3)，若不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．1．B【分析】根據(jù)題意，求得集合，再求集合交集即可.【詳解】∵M＝{－1，1，2}，x∈M，∴x＝－1或1或2.由y＝x2得y＝1或4，∴N＝{1，4}．∴M∩N＝{1}．故選：.【點睛】本題考查集合交集得運算，屬簡單題.2．C【分析】根據(jù)相同函數(shù)的判斷原則進行定義域的判斷即可選出答案.【詳解】解：由題意得：對于選項A：的定義域為，的定義域為，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：的定義域為，的定義域為，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：的定義域為，的定義域為，這兩函數(shù)的定義域相同，且對應關(guān)系也相同，所以表示相同的函數(shù)，故C正確；對于選項D：的定義域為，的定義域為或，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故D錯誤.故選：C3．A【分析】先求，再由列方程求解即可.【詳解】由題意可得，因為，即，所以，得，故選：A4．C【解析】利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】若，對于A，，所以，故A不成立；對于B，，所以，故B不成立；對于C，因為，，，故C成立；對于D，由，所以，即，故D成立.故選：C.5．B【分析】利用作差法以及舉例的方法證明每個不等式是否恒成立.【詳解】①不恒成立；②恒成立；③當時，，所以不恒成立.故選B.【點睛】本題考查不等式的證明，難度一般.利用作差法證明不等式時，可通過因式分解的方式然后判斷與的大小關(guān)系得出結(jié)果.6．A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性排除兩個選項，再結(jié)合特殊的函數(shù)值排除一個選項后得正確結(jié)論．【詳解】由題可得函數(shù)定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，故排除BD，由，，故C錯誤，故選：A.7．C【分析】由已知判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性可得，再解不等式可得答案.【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，對于任意不等實數(shù)，不等式恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：C.8．D【分析】由函數(shù)解析式判斷的單調(diào)性、奇偶性，結(jié)合已知條件可得，進而有，應用基本不等式求最值即可.【詳解】由解析式易知在定義域上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)即，∵，∴，則，且，∴，當且僅當時等號成立.∴的最小值為.故選：D9．BCD【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系及集合與集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】解：對A：，故選項A錯誤；對B：，故選項B正確；對C：，故選項C正確；對D：，故選項D正確.故選：BCD.10．AB【分析】由利用基本不等式求ab的最大值，再求的最小值，由利用基本不等式求其最小值，再求的最小值.【詳解】∵

a，b為正實數(shù)，∴，當且僅當時等號成立，又，∴，當且僅當，時等號成立，∴ab的最大值為，A對，時取等號，因為,∴,其最小值不是2，D錯，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，又，∴，當且僅當，時等號成立，∴的最小值為，B對，∵，∴，當且僅當，時等號成立，∴

的最小值為8，C錯，故選：AB.11．ABD【解析】對于ACD項，根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合集合的包含關(guān)系進行判斷即可．對于B項，根據(jù)存在量詞命題的否定形式可判斷.【詳解】A.若“”，則或“”是“”的充分不必要條件.B.根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可知，B正確.C.設，若“且”，則“”若，不一定有且，比如也可“且”是“”的充分不必要條件.D.若，不一定有若，則一定有“”是“”的必要不充分條件.【點睛】判斷充分條件與必要條件應注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試，12．BCD【分析】對A求得定義域，根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”判斷即可；對B，的多項式為偶函數(shù)，奇此項為0；對C，在上恒成立，計算；對D，計算，然后使用分離參數(shù)計算即可.【詳解】對A，令或，所以函數(shù)的定義域為，且在單調(diào)遞減所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故A錯；對B，，由該函數(shù)為偶函數(shù)，故，故B正確；對C，等價于在上恒成立，所以，所以，故C正確；對D，，，依題意等價于，即，，即所以，故D正確；故選：BCD13．【分析】先由得，再由同向不等式的可加性可得的取值范圍，再由的范圍，求得的范圍，再利用同向不等式的可乘性，即可求得的取值范圍.【詳解】解：由得.又因為，所以.由得.又因為，所以.【點睛】本題考查了同向不等式的可加性及可乘性，屬基礎(chǔ)題.14．【分析】根據(jù)函數(shù)有意義及抽象函數(shù)定義域的求法求解即可.【詳解】由題意，得，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.15．【分析】根據(jù)基本不等式，求出的最小值，根據(jù)題意，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為關(guān)于的不等式在上恒成立，即，所以，即的最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查由基本不等式研究不等式恒成立的問題，熟記基本不等式即可，屬于?？碱}型.16．【分析】由可得函數(shù)為增函數(shù)，再由分段函數(shù)遞增，則各段遞增、整體遞增即可求解.【詳解】依題意，得函數(shù)是上的增函數(shù)，則有，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）先求得集合，然后求得.（2）根據(jù)是的真子集求得的取值范圍.【詳解】（1）或，所以，，當時，，所以.（2）若是的充分不必要條件，則是的真子集，所以，所以的取值范圍是.18．（1），（2）證明見解析【分析】(1)奇函數(shù)在原點有定義時，，從而可求得，而由可求出m；(2)根據(jù)增函數(shù)的定義，設，，且，通過作差的方法證明即可．【詳解】(1)為上的奇函數(shù)，，，，；(2)；設，，且，則：，，且；，；，即；在上是增函數(shù)．【點睛】本題考查奇函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明函數(shù)為增函數(shù)的方法與過程．屬于一般題．19．(1)(2)【分析】（1）由題意可得和1是方程的兩個根，從而求得的值，進而解不等式即可，（2）由（1）可知的解集為，從而分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因為的解集是，所以和1是方程的兩個根，且，即，所以，解得，所以不等式化為，即，解得或，所以不等式的解集為.（2）因為的解集為，由（1）可知的解集為，當，即時，若，不等式可化為，顯然滿足題意；若，不等式可化為，顯然解集不為，不滿足題意；當時，則有，解得；綜上：，所以的取值范圍為.20．(1)；(2).【分析】（1）由題可知函數(shù)滿足①，將①式中換成可得②式，聯(lián)立①②，即可求出函數(shù)的表達式；（2）由（1）可求出，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)易知開口向上且關(guān)于對稱，結(jié)合題目條件，分類討論當，，三種情況下的函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進而求得的最小值，從而可得實數(shù)的值.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可知函數(shù)滿足：①，將①式中換成可得②式：即：②，聯(lián)立①②得，解得：，所以函數(shù)的表達式為.（2）解：由（1）可得，而在區(qū)間上最小值為，，易知二次函數(shù)開口向上且關(guān)于對稱，當，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得：，滿足題意，當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，解得：或（舍去），當，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得：（舍去），所以綜上得：.21．(1)(2)當年產(chǎn)量為3000臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤為800萬元【分析】（1）根據(jù)利潤、成本、收入之間的關(guān)系分類討論即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進行求解即可.【詳解】（1）當時，；當時，，所以.（2）當時，，所以當時，；當時，，當且僅當，即時，等號成立，即.因為，所以當年產(chǎn)量為3000臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤為800萬元.22．(1)(2)(3)【分